Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: Zur PN–Modulation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der | + | Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der $\rm PN$–Modulation $($englisch: "Direct-Sequence Spread Spectrum", abgekürzt $\rm DS–SS)$ im äquivalenten Tiefpassbereich, wobei AWGN–Rauschen $n(t)$ zugrunde liegt. |
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| − | Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit | + | Darunter dargestellt ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation $\rm (BPSK)$. Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist hier aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt. |
| − | $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { | + | |
| − | auch für die PN–Modulation gültig ist, bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist. | + | Die Funktion des Integrators kann wie folgt beschrieben werden: |
| + | :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist. | ||
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| + | Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit | ||
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/PN–Modulation|PN–Modulation]]. | ||
| + | *Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge $($M–Sequenz oder Walsh–Funktion$)$ nicht von Bedeutung. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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| − | {Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK | + | {Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK (im rauschfreien Fall) möglich? |
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| − | - $d(νT)$ | + | - $d(νT)$ kann gaußverteilt sein. |
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| − | + Das Rauschen n(t) muss durch $n'(t) = n(t) · c(t)$ ersetzt werden. | + | + Das Rauschen $n(t)$ muss durch $n'(t) = n(t) · c(t)$ ersetzt werden. |
| − | - Die Integration muss nun über J · T erfolgen. | + | - Die Integration muss nun über $J · T$ erfolgen. |
| − | - Die Rauschleistung $σ_n^2$ muss um den Faktor J vermindert werden. | + | - Die Rauschleistung $σ_n^2$ muss um den Faktor $J$ vermindert werden. |
| − | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $ | + | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich für $10 \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 6\ \rm dB$ bei PN–Modulation? <br>Hinweis: Bei BPSK gilt in diesem Fall: $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$. |
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| − | - Je größer J gewählt wird, desto kleiner ist $ | + | - Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$. |
| − | - Je größer J gewählt wird, desto größer ist $ | + | - Je größer $J$ gewählt wird, desto größer ist $p_{\rm B}$. |
| − | + Es ergibt sich unabhängig von J stets der Wert $2.3 · 10^{–3}$. | + | + Es ergibt sich unabhängig von $J$ stets der Wert $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>: |
| − | $$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$ | + | *Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger. |
| − | folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte +1 und | + | *Ohne Rauschen ist das Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$. |
| + | *Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator | ||
| + | :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$ | ||
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| + | '''(2)''' Richtig ist wieder der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>: | ||
| + | * Im rausch– und störungsfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ verzichtet werden, | ||
| + | *so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist. | ||
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| − | ''' | + | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: |
| + | *Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) · c(t)$. | ||
| + | *Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend: | ||
| + | *Die Integration muss weiterhin über $T = J · T_c$ erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht. | ||
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| + | '''(4)''' Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>: | ||
| + | *Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten $±1$–Signal $c(t)$, so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß. | ||
| + | * Wegen ${\rm E}\big[c^2(t)\big] = 1$ wird auch die Rauschvarianz nicht verändert. | ||
| + | *Die BPSK–Gleichung $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$ ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar, unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und der spezifischen Spreizfolge. | ||
| + | *Ergo: Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 8. Dezember 2021, 16:41 Uhr
Modelle von PN–Modulation (oben) und BPSK (unten)
Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der $\rm PN$–Modulation $($englisch: "Direct-Sequence Spread Spectrum", abgekürzt $\rm DS–SS)$ im äquivalenten Tiefpassbereich, wobei AWGN–Rauschen $n(t)$ zugrunde liegt.
Darunter dargestellt ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation $\rm (BPSK)$. Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist hier aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt.
Die Funktion des Integrators kann wie folgt beschrieben werden:
- $$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist.
Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit
- $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
auch für die PN–Modulation gültig ist, bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel PN–Modulation.
- Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge $($M–Sequenz oder Walsh–Funktion$)$ nicht von Bedeutung.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:
- Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
- Ohne Rauschen ist das Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$.
- Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator
- $$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$
- folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte $+1$ und $-1$ annehmen kann.
(2) Richtig ist wieder der letzte Lösungsvorschlag:
- Im rausch– und störungsfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ verzichtet werden,
- so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) · c(t)$.
- Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend:
- Die Integration muss weiterhin über $T = J · T_c$ erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.
(4) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:
- Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten $±1$–Signal $c(t)$, so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß.
- Wegen ${\rm E}\big[c^2(t)\big] = 1$ wird auch die Rauschvarianz nicht verändert.
- Die BPSK–Gleichung $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$ ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar, unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und der spezifischen Spreizfolge.
- Ergo: Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.
