Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Signalparameter haben folgende Werte:
 
Die Signalparameter haben folgende Werte:
  
* Amplitude $A = 4 \ \text{V}$,
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* Amplitude  $A = 4 \ \text{V}$,
  
* äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$.
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* äquivalente Impulsdauer  $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$.
  
  
Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]:
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Das Spektrum  $X(f)$  erhält man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]:
 
:$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
  
Die Spektralfunktion soll nun durch eine ''Diskrete Fouriertransformation'' (DFT) mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich   ⇒   $d(0)$, ... , $d(7)$, der Grafik entnommen werden können.
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Die Spektralfunktion soll nun durch eine ''Diskrete Fouriertransformation''  (DFT) mit  $N = 8$  angenähert werden, wobei die  $N$  Koeffizienten für den Zeitbereich   ⇒   $d(0)$, ... , $d(7)$  der Grafik entnommen werden können.
  
Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0)$, ... , $D(7)$ sind in dieser Aufgabe zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0$, ... , $N–1$ gilt:
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Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten  $D(0)$, ... ,  $D(7)$  sind zu ermitteln, wobei für die Indizes  $\mu = 0$, ... , $N–1$  gilt:
 
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 
   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 
   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
  
Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:
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Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit  $T_{\rm A}$  und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit  $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:
 
:$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
 
   
 
   
*Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überrprüfen.
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*Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]  überrprüfen.
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<quiz display=simple>
 
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{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind $d(0)$, $d(3)$ und $d(6)$?
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{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind&nbsp; $d(0)$,&nbsp; $d(3)$&nbsp; und&nbsp; $d(6)$?
 
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$d(0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$d(0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
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{Wie groß ist der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Zeitabtastwerte?
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{Wie groß ist der Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zweier Zeitabtastwerte?
 
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$T_{\rm A}\ = \ ${ 0.25 3% } &nbsp;$\text{ms}$
 
$T_{\rm A}\ = \ ${ 0.25 3% } &nbsp;$\text{ms}$
  
  
{Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ zweier DFT–Frequenzabtastwerte?
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{Wie groß ist der Abstand&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; zweier DFT–Frequenzabtastwerte?
 
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$f_{\rm A}\ = \ ${ 0.5 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
 
$f_{\rm A}\ = \ ${ 0.5 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
  
  
{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis.
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{Berechnen Sie den Koeffizienten&nbsp; $D(0)$&nbsp; und interpretieren Sie das Ergebnis.
 
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$D(0)\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$D(0)\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
  
  
{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten $D(4)$ und $D(6)$.
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{Berechnen Sie den Koeffizienten&nbsp; $D(2)$&nbsp; und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten&nbsp; $D(4)$&nbsp; und&nbsp; $D(6)$.
 
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$D(2)\ = \ ${ 0. } &nbsp;$\text{V}$
 
$D(2)\ = \ ${ 0. } &nbsp;$\text{V}$
  
  
{Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten $D(7)$.
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{Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(7)$.
 
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$D(7)\ = \ $ { 0.854 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$D(7)\ = \ $ { 0.854 3% } &nbsp;$\text{V}$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp;  Aus der Grafik ergeben sich mit $A = 4 \ {\rm V}$ folgende Werte:
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'''(1)'''&nbsp;  Aus der Grafik ergeben sich mit&nbsp; $A = 4 \ {\rm V}$&nbsp; folgende Werte:
 
:$${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}
 
:$${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}
 
  \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}
 
  \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der Grafik gilt $T_{\rm A} = T/4$. Mit $T = 1 \ \text{ms}$ erhält man somit $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$.
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der Grafik gilt&nbsp; $T_{\rm A} = T/4$.  
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*Mit&nbsp; $T = 1 \ \text{ms}$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$.
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'''(4)'''&nbsp; Mit $N = 8$ und $\mu = 0$ folgt aus der DFT–Gleichung
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'''(4)'''&nbsp; Mit&nbsp; $N = 8$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0$&nbsp; folgt aus der DFT–Gleichung:
 
:$$D(0) =  \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7}
 
:$$D(0) =  \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7}
 
  d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:
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*Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:
 
:$$X(f=0) =  \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$X(f=0) =  \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert &nbsp; &rArr; &nbsp;  $A \cdot T$ überein.
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*Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert &nbsp;   $(A \cdot T)$&nbsp; überein.
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit $N = 8$ und $\mu = 2$ erhält man:
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'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $N = 8$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 2$&nbsp; erhält man:
 
:$$D(2)  =  \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7}
 
:$$D(2)  =  \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7}
 
  d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} =
 
  d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} =
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\Rightarrow \hspace{0.3cm} =  \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} =  \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$
 
Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können:  
 
Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können:  
*Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_{\rm P} = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
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*Die DFT-Koeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand&nbsp; $T_{\rm P} = 2T$&nbsp; periodifizierten Funktion&nbsp; $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
*Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion $x_{\rm Per}(t)$ gleich Null: &nbsp; &rArr; &nbsp; $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ &nbsp;  $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.
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*Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion&nbsp; $x_{\rm Per}(t)$&nbsp; gleich Null: &nbsp; &rArr; &nbsp; $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ &nbsp;  $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.
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'''(6)'''&nbsp; Der Koeffizient $D(7)$ beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:
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'''(6)'''&nbsp; Der Koeffizient&nbsp; $D(7)$&nbsp; beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:
 
:$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$
 
Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:
 
Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:
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   \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$
 
   \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$
 
:$$\Rightarrow \; \; D(1)  =  \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\Rightarrow \; \; D(1)  =  \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
Da $D(1)$ rein reell ist, gilt $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$.  
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Da&nbsp; $D(1)$&nbsp; rein reell ist, gilt&nbsp; $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$.  
  
 
Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion:
 
Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion:
 
:$$X(f=-f_{\rm A}) =  X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}=  1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$X(f=-f_{\rm A}) =  X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}=  1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
*Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert $4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz}$ nicht exakt überein.  
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*Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert&nbsp; $(4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz})$ nicht exakt überein.  
*Der relative Fehler beträgt somit ca. $5.3\%$.
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*Der relative Fehler beträgt ca.&nbsp; $5.3\%$.
 
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Aktuelle Version vom 10. Oktober 2019, 15:44 Uhr

Diskretisierung eines Dreieckimpulses

Betrachtet wird der skizzierte Dreieckimpuls

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \cdot \left( 1 - {|t|}/{T} \right ) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le T,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T.} \\ \end{array}$$

Die Signalparameter haben folgende Werte:

  • Amplitude  $A = 4 \ \text{V}$,
  • äquivalente Impulsdauer  $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$.


Das Spektrum  $X(f)$  erhält man durch Anwendung des  ersten Fourierintegrals:

$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$

Die Spektralfunktion soll nun durch eine Diskrete Fouriertransformation  (DFT) mit  $N = 8$  angenähert werden, wobei die  $N$  Koeffizienten für den Zeitbereich   ⇒   $d(0)$, ... , $d(7)$  der Grafik entnommen werden können.

Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten  $D(0)$, ... ,  $D(7)$  sind zu ermitteln, wobei für die Indizes  $\mu = 0$, ... , $N–1$  gilt:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit  $T_{\rm A}$  und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit  $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:

$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$




Hinweise:




Fragebogen

1

Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind  $d(0)$,  $d(3)$  und  $d(6)$?

$d(0)\ = \ $

 $\text{V}$
$d(3)\ = \ $

 $\text{V}$
$d(6)\ = \ $

 $\text{V}$

2

Wie groß ist der Abstand  $T_{\rm A}$  zweier Zeitabtastwerte?

$T_{\rm A}\ = \ $

 $\text{ms}$

3

Wie groß ist der Abstand  $f_{\rm A}$  zweier DFT–Frequenzabtastwerte?

$f_{\rm A}\ = \ $

 $\text{kHz}$

4

Berechnen Sie den Koeffizienten  $D(0)$  und interpretieren Sie das Ergebnis.

$D(0)\ = \ $

 $\text{V}$

5

Berechnen Sie den Koeffizienten  $D(2)$  und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten  $D(4)$  und  $D(6)$.

$D(2)\ = \ $

 $\text{V}$

6

Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten  $D(7)$.

$D(7)\ = \ $

 $\text{V}$


Musterlösung

(1)  Aus der Grafik ergeben sich mit  $A = 4 \ {\rm V}$  folgende Werte:

$${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(3) = d(5) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(4) = 0}\hspace{0.05cm}. $$
$$\Rightarrow \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(3) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(6) = 2\,{\rm V}. \hspace{0.1cm}} \hspace{0.05cm} $$


(2)  Entsprechend der Grafik gilt  $T_{\rm A} = T/4$.

  • Mit  $T = 1 \ \text{ms}$  erhält man somit  $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$.


(3)  Für die Abstände der Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich gilt:

$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A}= \frac{1}{ 8 \cdot 0.25\, {\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\, {\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Mit  $N = 8$  und  $\mu = 0$  folgt aus der DFT–Gleichung:

$$D(0) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei  $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:
$$X(f=0) = \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
  • Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert   $(A \cdot T)$  überein.


(5)  Mit  $N = 8$  und  $\mu = 2$  erhält man:

$$D(2) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot (-{\rm j})^{\nu} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können:

  • Die DFT-Koeffizienten  $D(\mu)$  sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand  $T_{\rm P} = 2T$  periodifizierten Funktion  $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
  • Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion  $x_{\rm Per}(t)$  gleich Null:   ⇒   $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$   $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.


(6)  Der Koeffizient  $D(7)$  beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz  $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:

$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$

Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:

$$D(1) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot \left(4 +3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-2\cdot {\rm j}+ \frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$
$$\Rightarrow \; \; D(1) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Da  $D(1)$  rein reell ist, gilt  $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$.

Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion:

$$X(f=-f_{\rm A}) = X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}= 1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
  • Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert  $(4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz})$ nicht exakt überein.
  • Der relative Fehler beträgt ca.  $5.3\%$.