Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet wird der skizzierte Dreieckimpuls
 
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:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \cdot \left( 1 - {|t|}/{T} \right ) \\  
 
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Die Signalparameter haben folgende Werte:
 
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:* Amplitude $A = 4 V$,
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:* Amplitude $A = 4 \{\text{V}$,
  
:* äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \text{ms}$:
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Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung der herkömmlichen Fouriertransformation:
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Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]:
 
:$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
Die Spektralfunktion soll nun durch eine Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich, also $d(0), ... , d(7)$, der Grafik entnommen werden können.
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Die Spektralfunktion soll nun durch eine ''Diskrete Fouriertransformation'' (DFT) mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich  ⇒  $d(0), ... , d(7)$, der Grafik entnommen werden können.
  
 
Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0), ... , D(7)$ sind in dieser Aufgabe zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0, ... , N–1$ gilt:
 
Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0), ... , D(7)$ sind in dieser Aufgabe zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0, ... , N–1$ gilt:
 
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 
   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 
   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_A$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_A$, so gilt folgender Zusammenhang:
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Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:
 
:$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT) Kapitel 5.2]. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:<br>
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Diskrete Fouriertransformation
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:  
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:[[Diskrete Fouriertransformation]]
  
  
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{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind $d(0)$, $d(3)$ und $d(6)$?
 
{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind $d(0)$, $d(3)$ und $d(6)$?
 
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$d(0)$ = { 4 3% } $V$
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$d(6)$ = { 2 3% } $V$
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{Wie groß ist der Abstand $T_A$ zweier Zeitabtastwerte?
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{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis.
 
{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis.
 
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{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten $D(4)$ und $D(6)$.
 
{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten $D(4)$ und $D(6)$.
 
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$|D(2)|$ = { 0 3% } $V$
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{Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten $D(7)$.
 
{Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten $D(7)$.
 
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$|D(7)|$ = { 0.854 3% } $V$
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$|D(7)|$ &nbsp;= { 0.854 3% } &nbsp;$\text{V}$
  
  

Version vom 24. Januar 2017, 12:18 Uhr

DFT eines Dreieckimpulses

Betrachtet wird der skizzierte Dreieckimpuls

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \cdot \left( 1 - {|t|}/{T} \right ) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le T,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T.} \\ \end{array}$$

Die Signalparameter haben folgende Werte:

  • Amplitude $A = 4 \{\text{V}$,
  • äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$:

Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des ersten Fourierintegrals:

$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$

Die Spektralfunktion soll nun durch eine Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich  ⇒  $d(0), ... , d(7)$, der Grafik entnommen werden können.

Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0), ... , D(7)$ sind in dieser Aufgabe zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0, ... , N–1$ gilt:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:

$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Diskrete Fouriertransformation (DFT).
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:
Diskrete Fouriertransformation


Fragebogen

1

Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind $d(0)$, $d(3)$ und $d(6)$?

$d(0)$  =

 $\text{V}$
$d(3)$  =

 $\text{V}$
$d(6)$  =

 $\text{V}$

2

Wie groß ist der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Zeitabtastwerte?

$T_{\rm A}$  =

 $\text{ms}$

3

Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ zweier DFT–Frequenzabtastwerte?

$f_{\rm A}$  =

 $\text{kHz}$

4

Berechnen Sie den Koeffizienten $D(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis.

$|D(0)|$  =

 $\text{V}$

5

Berechnen Sie den Koeffizienten $D(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten $D(4)$ und $D(6)$.

$|D(2)|$  =

 $\text{V}$

6

Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten $D(7)$.

$|D(7)|$  =

 $\text{V}$


Musterlösung

1. Aus der Grafik ergeben sich mit $A = 4V$ folgende Werte:

$$\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(3) = d(5) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm}d(4) = 0}\hspace{0.05cm}. $$

2. Entsprechend der Grafik gilt $T_A = T/4$. Mit $T = 1 \text{ms}$ erhält man somit $\underline{T_A = 0.25 \text{ms}}$.

3. Für die Abständen der Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich gilt:

$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A}= \frac{1}{ 8 \cdot 0.25\, {\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\, {\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

4. Mit $N = 8$ und $\mu = 0$ folgt aus der DFT–Gleichung

$$D(0) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:

$$X(f=0) = \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert $A \cdot T$ überein.

5. Mit $N = 8$ und $\mu = 2$ erhält man:

$$D(2) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot (-{\rm j})^{\nu} = \\ = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können. Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_P = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet. Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten gleich $0$. Das heißt: Auch $\underline{D(4)}$ und $\underline{D(6)}$ sind hier $0$.

6. Der Koeffizient $D(7)$ beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz $f = 7 \cdot f_A$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:

$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$

Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:

$$D(1) = \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7} d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot \\ \cdot \left(4 +3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-2\cdot {\rm j}+ \frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)= \\ = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Da $D(1)$ rein reell ist, gilt $\underline{D(7) = D(1) = 0.854 V}$. Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion:

$$X(f=-f_{\rm A}) = X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}= 1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert $4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz}$ nicht exakt überein. Der relative Fehler beträgt somit ca. $5.3%$.