Aufgaben:Aufgabe 5.2: Inverse Diskrete Fouriertransformation: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|frame|Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten $D(\mu)$]]
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[[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|frame|Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$]]
  
Bei der ''Diskreten Fouriertransformation'' (DFT) werden  
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Bei der ''Diskreten Fouriertransformation''  (DFT) werden  
*aus den $N$ Zeitkoeffizienten $d(\nu)$   ⇒    Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$ –  
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*aus den  $N$  Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$   ⇒    Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$ –  
*die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$  
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*die  $N$  Spektralbereichskoeffizienten  $D(\mu)$  
  
  
berechnet. Mit $\nu = 0$, ... , $N – 1$ und $\mu = 0$, ... , $N – 1$ gilt:
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berechnet. Mit  $\nu = 0$, ... , $N – 1$  und  $\mu = 0$, ... , $N – 1$  gilt:
 
   
 
   
 
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 
   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 
   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
  
Hierbei bezeichnet $w$ den komplexen Drehfaktor:
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Hierbei bezeichnet  $w$  den komplexen Drehfaktor:
 
   
 
   
 
:$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
 
:$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
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  \hspace{0.05cm}.$$
 
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Für die ''Inverse Diskrete Fouriertransformation'' (IDFT)    ⇒    „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
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Für die ''Inverse Diskrete Fouriertransformation''  (IDFT)    ⇒    „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
 
   
 
   
 
:$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
 
:$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
 
  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 
  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
  
In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ (die in der obigen Tabelle mit $\rm A$, ... , $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.
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In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen  $D(\mu)$  (die in der obigen Tabelle mit  $\rm A$, ... ,  $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  ermittelt werden. Es gilt somit stets  $N = 8$.
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
 
   
 
   
*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] behandelt.
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*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]] behandelt.
  
  
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm A$?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm A$?
 
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$d(0)\ = \ $  { 1 3% }
 
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$d(1)\ = \ $ { 1 3% }
 
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm B$?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm B$?
 
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$d(0)\ = \ $ { 1 3% }
 
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$d(1)\ = \ $ { 0.707 3% }
 
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$ –Werte von Spalte $\rm C$?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm C$?
 
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$d(0)\ = \ $ { 1 3% }
 
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$d(1)\ = \ $ { 0. }
 
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm D$?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm D$?
 
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$d(0)\ = \ ${ 1 3% }
 
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$d(1)\ = \ $ { -1.03--0.97 }
 
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm E$?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm E$?
 
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$d(0)\ = \ $ { 2 3% }
 
$d(0)\ = \ $ { 2 3% }
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \ne 0$:
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'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit&nbsp; $D(\mu) = 0$&nbsp; für&nbsp; $\mu \ne 0$:
 
    
 
    
 
:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)\ \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$
 
:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)\ \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$
  
Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
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*Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
 
   
 
   
 
:$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
:$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
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'''(2)'''&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von $D_1 = D_7 = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ ν ≤ 7$:
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'''(2)'''&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = D_7 = 0.5$. Daraus folgt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
 
   
 
   
 
:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
 
:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
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Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
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*Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
 
   
 
   
 
:$$d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)  \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707}
 
:$$d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)  \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
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*Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
 
   
 
   
 
:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
  X(f) =  {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) +  {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
 
  X(f) =  {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) +  {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
  
wobei $f_{\rm A}$ die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
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:wobei&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
  
  
'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
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'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ist nun die Schwingungsfrequenz doppelt so groß, nämlich&nbsp; $2 f_{\rm A}$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{\rm A}$:
 
   
 
   
 
:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
  X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
 
  X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
  
Damit beschreibt die Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ ν ≤ 7$:
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*Damit beschreibt die Folge&nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $&nbsp; zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
 
   
 
   
 
:$$ d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
 
:$$ d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
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'''(4)'''&nbsp; Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf $4 f_{\rm A}$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
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'''(4)'''&nbsp; Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf&nbsp; $4 f_{\rm A}$&nbsp; kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
 
   
 
   
 
:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)
 
:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)
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  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
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*Zu beachten ist, dass hier die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
*Die Koeffizienten $D (+4) = 0.5$ und $D (-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D (4) = 1$.
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*Die Koeffizienten&nbsp; $D (+4) = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $D (-4) = 0.5$&nbsp; ergeben zusammen&nbsp; $D (4) = 1$.
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'''(5)'''&nbsp; Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:  
 
'''(5)'''&nbsp; Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:  
*Die Koeffizienten $D(\mu )$ aus Spalte $\rm E$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\rm A$ und $\rm D$.  
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*Die Koeffizienten&nbsp; $D(\mu )$&nbsp; aus Spalte&nbsp; $\rm E$&nbsp; ergeben sich als die Summen der Spalten&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm D$.  
*Deshalb wird aus der alternierenden Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' die um $1$ nach oben verschobene Folge:
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*Deshalb wird aus der alternierenden Folge&nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; die um&nbsp; $1$&nbsp; nach oben verschobene Folge:
 
   
 
   
 
:$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}
 
:$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}

Aktuelle Version vom 10. Oktober 2019, 15:27 Uhr

Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$

Bei der Diskreten Fouriertransformation  (DFT) werden

  • aus den  $N$  Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$   ⇒   Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$ –
  • die  $N$  Spektralbereichskoeffizienten  $D(\mu)$


berechnet. Mit  $\nu = 0$, ... , $N – 1$  und  $\mu = 0$, ... , $N – 1$  gilt:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $w$  den komplexen Drehfaktor:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Für die Inverse Diskrete Fouriertransformation  (IDFT)   ⇒   „Umkehrfunktion” der DFT gilt entsprechend:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen  $D(\mu)$  (die in der obigen Tabelle mit  $\rm A$, ... ,  $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  ermittelt werden. Es gilt somit stets  $N = 8$.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  für die  $D(\mu)$–Werte von Spalte  $\rm A$?

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

2

Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(ν)$  für die  $D(\mu)$–Werte von Spalte  $\rm B$?

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

3

Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(ν)$  für die  $D(\mu)$–Werte von Spalte  $\rm C$?

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

4

Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(ν)$  für die  $D(\mu)$–Werte von Spalte  $\rm D$?

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

5

Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(ν)$  für die  $D(\mu)$–Werte von Spalte  $\rm E$?

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Aus der IDFT–Gleichung wird mit  $D(\mu) = 0$  für  $\mu \ne 0$:

$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)\ \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$
  • Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von  $D_1 = D_7 = 0.5$. Daraus folgt für  $0 ≤ ν ≤ 7$:

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$
  • Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707} \hspace{0.05cm}.$$
  • Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
wobei  $f_{\rm A}$  die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.


(3)  Gegenüber der Teilaufgabe  (2)  ist nun die Schwingungsfrequenz doppelt so groß, nämlich  $2 f_{\rm A}$  anstelle von  $f_{\rm A}$:

$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
  • Damit beschreibt die Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $  zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für  $0 ≤ ν ≤ 7$:
$$ d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf  $4 f_{\rm A}$  kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
und damit zu den Zeitkoeffizienten
$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.15 cm}\underline{= -1} \hspace{0.05cm}.$$
  • Zu beachten ist, dass hier die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
  • Die Koeffizienten  $D (+4) = 0.5$  und  $D (-4) = 0.5$  ergeben zusammen  $D (4) = 1$.


(5)  Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:

  • Die Koeffizienten  $D(\mu )$  aus Spalte  $\rm E$  ergeben sich als die Summen der Spalten  $\rm A$  und  $\rm D$.
  • Deshalb wird aus der alternierenden Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $  entsprechend Teilaufgabe  (4)  die um  $1$  nach oben verschobene Folge:
$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0} \hspace{0.05cm}.$$