Aufgaben:Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs $H(f)$.  
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Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs  $H(f)$.  
*Das Eingangssignal $x(t)$  ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-10} \hspace{0.05cm} \rm W/Hz$.  
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*Das Eingangssignal  $x(t)$  ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0 = 10^{-10} \hspace{0.05cm} \rm W/Hz$.  
*Somit gilt für die Autokorrelationsfunktion (AKF):
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*Somit gilt für die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:
 
:$$\varphi _x ( \tau ) = {N_0 }/{2} \cdot \delta ( \tau  ).$$
 
:$$\varphi _x ( \tau ) = {N_0 }/{2} \cdot \delta ( \tau  ).$$
*Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ kann wie folgt angenähert werden <br>(nur gültig für positive Zeiten $t$):
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*Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (KKF)$&nbsp; zwischen den Signalen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; kann wie folgt angenähert werden <br>$($nur gültig für positive Zeiten&nbsp; $t)$:
 
:$$\varphi _{xy} \left( \tau  \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 },\hspace{0.5cm}\text{mit } \ K = 0.628 \cdot 10^{-12} \hspace{0.05cm} {\rm W}, \  T_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms.$$
 
:$$\varphi _{xy} \left( \tau  \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 },\hspace{0.5cm}\text{mit } \ K = 0.628 \cdot 10^{-12} \hspace{0.05cm} {\rm W}, \  T_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms.$$
*Gemessen wird außerdem die AKF $\varphi_y(\tau)$ des Ausgangssignals $y(t)$.
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*Gemessen wird außerdem die AKF&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$.
  
  
  
  
 
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
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*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].   
*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].  
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*Beachten Sie bitte auch die folgende Fouriertransformation&nbsp; $($in&nbsp; $\omega)$:
   
 
*Beachten Sie bitte auch die folgende Fouriertransformation (in $\omega$):
 
 
:$$H( \omega  ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm}h(t) = \omega _0  \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$
 
:$$H( \omega  ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm}h(t) = \omega _0  \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$
:Für negative <i>t</i>-Werte ist dagegen stets  $h(t) =0$.
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:Für negative&nbsp; $t$&ndash;Werte ist dagegen stets&nbsp; $h(t) =0$.
  
  
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{Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Man kann den Frequenzgang $H(f)$ nach Betrag und Phase vollständig bestimmen, wenn
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{Welche der folgenden Aussagen treffen zu?&nbsp; Man kann den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; nach Betrag und Phase vollständig bestimmen,&nbsp; wenn
 
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- die Funktionen $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_y(\tau)$ bekannt sind,
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- die Funktionen&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; bekannt sind,
+ die Funktionen $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_{xy}(\tau)$ bekannt sind,
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+ die Funktionen&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp; bekannt sind,
+ die Funktionen $\varphi_{xy}(\tau)$ und $\varphi_y(\tau)$ bekannt sind.
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+ die Funktionen&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; bekannt sind.
  
  
{Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$. Welcher Wert ergibt sich für $t=T_0$?
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{Berechnen Sie die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t=T_0$?
 
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$h(t = T_0) \ = \ $  { 4.62 3% } $\ \cdot 10^{-3} \ \rm 1/s$
 
$h(t = T_0) \ = \ $  { 4.62 3% } $\ \cdot 10^{-3} \ \rm 1/s$
  
  
{Wie lautet der Frequenzgang $H(f)$? Welcher Wert ergibt sich für $f= 0$?
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{Wie lautet der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für $f= 0$?
 
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$H(f = 0) \ =  \ $ { 0.5 3% }
 
$H(f = 0) \ =  \ $ { 0.5 3% }
  
  
{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals $y(t)$. <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$?
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{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$?
 
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${\it \Phi}_y(f = 1/(2\pi T_0)) \ =  \ $ { 6.25 3% } $\ \cdot 10^{-12}\  \rm W/Hz$
 
${\it \Phi}_y(f = 1/(2\pi T_0)) \ =  \ $ { 6.25 3% } $\ \cdot 10^{-12}\  \rm W/Hz$
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Die <u>Aussagen 2 und 3</u> sind zutreffend.  
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'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>Aussagen 2 und 3</u>&nbsp; sind zutreffend.  
 
*Es gelten folgende Gleichungen:
 
*Es gelten folgende Gleichungen:
 
:$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad  \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$
 
:$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad  \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$
 
:$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad  \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$
 
:$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad  \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$
 
*Dagegen ist die erste Aussage falsch: &nbsp; Bei der AKF-Berechnung gehen die Phasenbeziehungen verloren.  
 
*Dagegen ist die erste Aussage falsch: &nbsp; Bei der AKF-Berechnung gehen die Phasenbeziehungen verloren.  
*Die zugehörigen Funktionen zu $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_x(\tau)$ im Spektralbereich &ndash; nämlich ${\it \Phi}_x$ und  ${\it \Phi}_y$ &ndash; sind rein reell, so dass nur der Betrag $|H(f)|$ angegeben werden kann.
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*Die zugehörigen Spektralfunktionen zu&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; &ndash; nämlich&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$&nbsp; &ndash; sind reell,&nbsp; so dass nur der Betrag&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; angegeben werden kann.
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'''(2)'''&nbsp; Bei diracförmiger Eingangs-AKF $\varphi_x(\tau)$ ist die Impulsantwort $h(t)$ formgleich mit der KKF:
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'''(2)'''&nbsp; Bei diracförmiger Eingangs-AKF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; ist die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; formgleich mit der KKF:
 
:$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t = T_0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.62 \cdot 10^{-3}\ \rm 1/s}.$$
 
:$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t = T_0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.62 \cdot 10^{-3}\ \rm 1/s}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit $T_0 = 1/\omega_0$ und der Konstanten $C= N_0/2 \cdot T_0/K$:
 
:$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} H( \omega  ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\omega T_0 }}.$$
 
  
*Die Konstante ergibt sich zu $C = 0.08$.  
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'''(3)'''&nbsp; Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit&nbsp; $T_0 = 1/\omega_0$&nbsp; und der Konstanten&nbsp; $C= N_0/2 \cdot T_0/K$:
*Mit $H(f) = 2 \pi \cdot  H(\omega)$ folgt daraus:
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:$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} H( \omega  ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega \cdot T_0 }}.$$
:$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= 0) \hspace{0.15cm}\underline{=2}.$$
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*Die Konstante ergibt sich zu&nbsp; $C = 0.08$.&nbsp; Mit&nbsp; $H(f) = 2 \pi \cdot  H(\omega)$&nbsp; folgt daraus:
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:$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f\cdot T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= 0) \hspace{0.15cm}\underline{=0.5}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:
 
'''(4)'''&nbsp; Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:
:$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)}} = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}fT_0 } \right)^2 }.$$
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:$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j\cdot  2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)}} = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)^2 }.$$
  
*Bei der angegebenen Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$ ist ${\it \Phi}_y (f)$  gegenüber seinem Maximum bei $f=0$ um die Hälfte abgefallen:
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*Bei der angegebenen Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$&nbsp; ist&nbsp; ${\it \Phi}_y (f)$&nbsp; gegenüber seinem Maximum bei $f=0$&nbsp; um die Hälfte abgefallen:
:$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$
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:$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi \cdot T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$
  
 
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Aktuelle Version vom 10. Februar 2022, 17:28 Uhr

Zur Bestimmung des Frequenzgangs  $H(f)$

Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs  $H(f)$.

  • Das Eingangssignal  $x(t)$  ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0 = 10^{-10} \hspace{0.05cm} \rm W/Hz$.
  • Somit gilt für die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:
$$\varphi _x ( \tau ) = {N_0 }/{2} \cdot \delta ( \tau ).$$
  • Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion  $\rm (KKF)$  zwischen den Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$  kann wie folgt angenähert werden
    $($nur gültig für positive Zeiten  $t)$:
$$\varphi _{xy} \left( \tau \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 },\hspace{0.5cm}\text{mit } \ K = 0.628 \cdot 10^{-12} \hspace{0.05cm} {\rm W}, \ T_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms.$$
  • Gemessen wird außerdem die AKF  $\varphi_y(\tau)$  des Ausgangssignals  $y(t)$.



Hinweise:

$$H( \omega ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm}h(t) = \omega _0 \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$
Für negative  $t$–Werte ist dagegen stets  $h(t) =0$.


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?  Man kann den Frequenzgang  $H(f)$  nach Betrag und Phase vollständig bestimmen,  wenn

die Funktionen  $\varphi_x(\tau)$  und  $\varphi_y(\tau)$  bekannt sind,
die Funktionen  $\varphi_x(\tau)$  und  $\varphi_{xy}(\tau)$  bekannt sind,
die Funktionen  $\varphi_{xy}(\tau)$  und  $\varphi_y(\tau)$  bekannt sind.

2

Berechnen Sie die Impulsantwort  $h(t)$.  Welcher Wert ergibt sich für  $t=T_0$?

$h(t = T_0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3} \ \rm 1/s$

3

Wie lautet der Frequenzgang  $H(f)$?  Welcher Wert ergibt sich für $f= 0$?

$H(f = 0) \ = \ $

4

Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals  $y(t)$.  Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$?

${\it \Phi}_y(f = 1/(2\pi T_0)) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-12}\ \rm W/Hz$


Musterlösung

(1)  Die  Aussagen 2 und 3  sind zutreffend.

  • Es gelten folgende Gleichungen:
$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$
$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$
  • Dagegen ist die erste Aussage falsch:   Bei der AKF-Berechnung gehen die Phasenbeziehungen verloren.
  • Die zugehörigen Spektralfunktionen zu  $\varphi_x(\tau)$  und  $\varphi_x(\tau)$  – nämlich  ${\it \Phi}_x(f)$  und  ${\it \Phi}_y(f)$  – sind reell,  so dass nur der Betrag  $|H(f)|$  angegeben werden kann.


(2)  Bei diracförmiger Eingangs-AKF  $\varphi_x(\tau)$  ist die Impulsantwort  $h(t)$  formgleich mit der KKF:

$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t = T_0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.62 \cdot 10^{-3}\ \rm 1/s}.$$


(3)  Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit  $T_0 = 1/\omega_0$  und der Konstanten  $C= N_0/2 \cdot T_0/K$:

$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} H( \omega ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega \cdot T_0 }}.$$
  • Die Konstante ergibt sich zu  $C = 0.08$.  Mit  $H(f) = 2 \pi \cdot H(\omega)$  folgt daraus:
$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f\cdot T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= 0) \hspace{0.15cm}\underline{=0.5}.$$


(4)  Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:

$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)}} = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)^2 }.$$
  • Bei der angegebenen Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$  ist  ${\it \Phi}_y (f)$  gegenüber seinem Maximum bei $f=0$  um die Hälfte abgefallen:
$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi \cdot T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$