Aufgaben:Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID492__Sto_A_5_2.png|right|frame|Zur Bestimmung des Frequenzgangs  $H(f)$]]
:Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs <i>H</i>(<i>f</i>). Das Eingangssignal <i>x</i>(<i>t</i>) ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte <i>N</i><sub>0</sub> = 10<sup>&ndash;10</sup> W/Hz. Somit gilt für die AKF:
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Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs&nbsp; $H(f)$.  
:$$\varphi _x ( \tau ) = \frac{N_0 }{2} \cdot \delta ( \tau  ).$$
+
*Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp;  ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{-10} \hspace{0.05cm} \rm W/Hz$.  
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*Somit gilt für die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$:
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:$$\varphi _x ( \tau ) = {N_0 }/{2} \cdot \delta ( \tau  ).$$
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*Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (KKF)$&nbsp; zwischen den Signalen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; kann wie folgt angenähert werden <br>$($nur gültig für positive Zeiten&nbsp; $t)$:
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:$$\varphi _{xy} \left( \tau  \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 },\hspace{0.5cm}\text{mit } \ K = 0.628 \cdot 10^{-12} \hspace{0.05cm} {\rm W}, \  T_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms.$$
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*Gemessen wird außerdem die AKF&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$.
  
:Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen den Signalen <i>x</i>(<i>t</i>) und <i>y</i>(<i>t</i>) kann mit <i>K</i> = 0.628 &middot; 10<sup>&ndash;12</sup> W und <i>T</i><sub>0</sub> = 1 ms wie folgt angenähert werden (nur gültig für positive Zeiten):
 
:$$\varphi _{xy} \left( \tau  \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 } .$$
 
  
:Gemessen wird außerdem die AKF <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>&tau;</i>) des Ausgangssignals.
 
  
  
''Hinweise:''
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Hinweise:  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
*Bezug genommen wird auch auf die Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].  
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Beachten Sie bitte auch die folgende Fouriertransformation&nbsp; $($in&nbsp; $\omega)$:
*Benutzen Sie, falls nötig, die nachfolgenden Gleichungen:
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:$$H( \omega  ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm}h(t) = \omega _0  \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$
:$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \quad {\rm{(f\ddot{u}r }}\;{\rm{grösse }}\;x{\rm{)}}{\rm{,}}$$
+
:Für negative&nbsp; $t$&ndash;Werte ist dagegen stets&nbsp;  $h(t) =0$.
:$$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$
+
 
:$$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$
 
  
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.6 und Kapitel 5.1. Beachten Sie bitte auch die folgende Fouriertransformation (in <i>&omega;</i>):
 
:$$H( \omega  ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,h(t) = \omega _0  \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$
 
:Für negative <i>t</i>-Werte ist dagegen <i>h</i>(<i>t</i>) stets 0.
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Man kann den Frequenzgang <i>H</i>(<i>f</i>) nach Betrag und Phase vollständig bestimmen, wenn:
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{Welche der folgenden Aussagen treffen zu?&nbsp; Man kann den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; nach Betrag und Phase vollständig bestimmen,&nbsp; wenn
 
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- die Funktionen <i>&phi;<sub>x</sub></i>(<i>&tau;</i>) und <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>&tau;</i>) bekannt sind,
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- die Funktionen&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; bekannt sind,
+ die Funktionen <i>&phi;<sub>x</sub></i>(<i>&tau;</i>) und <i>&phi;<sub>xy</sub></i>(<i>&tau;</i>) bekannt sind,
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+ die Funktionen&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp; bekannt sind,
+ die Funktionen <i>&phi;<sub>xy</sub></i>(<i>&tau;</i>) und <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>&tau;</i>) bekannt sind.
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+ die Funktionen&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; bekannt sind.
  
  
{Berechnen Sie die Impulsantwort <i>h</i>(<i>t</i>). Welcher Wert ergibt sich für <i>t</i> = <i>T</i><sub>0</sub>?
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{Berechnen Sie die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t=T_0$?
 
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$h(t = T_0)$ = { 4.62 3% } $\cdot 10^{-3} 1/s$
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$h(t = T_0) \ = \ $ { 4.62 3% } $\ \cdot 10^{-3} \ \rm 1/s$
  
  
{Wie lautet der Frequenzgang <i>H</i>(<i>f</i>)? Welcher Wert ergibt sich für <i>f</i> = 0?
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{Wie lautet der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für $f= 0$?
 
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$H(f = 0)$ = { 0.5 3% }
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$H(f = 0) \ =  \ $ { 0.5 3% }
  
  
{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals <i>y</i>(<i>t</i>). Welcher Wert ergibt sich bei <i>f</i> = 1/(2&pi;<i>T</i><sub>0</sub>)?
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{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$?
 
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$\phi_y(f = 1/(2\pi T_0))$ = { 6.25 3% } $\cdot 10^{-12}\ W/Hz$
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${\it \Phi}_y(f = 1/(2\pi T_0)) \ =  \ $ { 6.25 3% } $\ \cdot 10^{-12}\ \rm W/Hz$
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Bei der AKF-Berechnung gehen Phasenbeziehungen verloren. Die zugehörigen Funktionen <i>&Phi;<sub>x</sub></i>(<i>f</i>) und <i>&Phi;</i><i><sub>y</sub></i>(<i>f</i>) im Spektralbereich sind rein reell, so dass nur der Betrag |<i>H</i>(<i>f</i>)| angegeben werden kann.
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'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>Aussagen 2 und 3</u>&nbsp; sind zutreffend.
 
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*Es gelten folgende Gleichungen:
:Die <u>Aussagen 2 und 3</u> sind zutreffend, da folgende Gleichungen gelten:
 
 
:$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad  \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$
 
:$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad  \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$
 
:$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad  \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$
 
:$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad  \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$
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*Dagegen ist die erste Aussage falsch: &nbsp; Bei der AKF-Berechnung gehen die Phasenbeziehungen verloren.
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*Die zugehörigen Spektralfunktionen zu&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; &ndash; nämlich&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; und&nbsp;  ${\it \Phi}_y(f)$&nbsp; &ndash; sind reell,&nbsp; so dass nur der Betrag&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; angegeben werden kann.
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'''(2)'''&nbsp; Bei diracförmiger Eingangs-AKF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; ist die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; formgleich mit der KKF:
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:$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t = T_0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.62 \cdot 10^{-3}\ \rm 1/s}.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Bei diracförmiger Eingangs-AKF <i>&phi;<sub>x</sub></i>(<i>&tau;</i>) ist die Impulsantwort <i>h</i>(<i>t</i>) formgleich mit der KKF:
 
:$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } .$$
 
  
:Für <i>t</i> = <i>T</i><sub>0</sub> ergibt sich der Wert <u>4.62 &middot; 10<sup>&ndash;3</sup> 1/s</u>.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit <i>T</i><sub>0</sub> = 1/<i>&omega;</i><sub>0</sub> und <i>C</i> = <i>N</i><sub>0</sub>/2 &middot; <i>T</i><sub>0</sub>/<i>K</i>:
+
'''(3)'''&nbsp; Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit&nbsp; $T_0 = 1/\omega_0$&nbsp; und der Konstanten&nbsp; $C= N_0/2 \cdot T_0/K$:
:$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, H( \omega  ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\omega T_0 }}.$$
+
:$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} H( \omega  ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega \cdot T_0 }}.$$
  
:Die Konstante ergibt sich zu <i>C</i> = 0.08. Mit <i>H</i>(<i>f</i>) = 2&pi; &middot; <i>H</i>(<i>&omega;</i>) folgt daraus:
+
*Die Konstante ergibt sich zu&nbsp; $C = 0.08$.&nbsp; Mit&nbsp; $H(f) = 2 \pi \cdot  H(\omega)$&nbsp; folgt daraus:
:$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 }.$$
+
:$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f\cdot T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= 0) \hspace{0.15cm}\underline{=0.5}.$$
  
:Damit ergibt sich der Gleichsignalübertragungsfaktor <u>zu 0.5</u>.
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:
 
:$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)}}.$$
 
  
:Dies führt zum Ergebnis:
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'''(4)'''&nbsp; Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:
:$${\it \Phi}_y (f) = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}fT_0 } \right)^2 }.$$
+
:$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j\cdot  2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)}} = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)^2 }.$$
  
:Bei der angegebenen Frequenz ist <i>&Phi;<sub>y</sub></i>(<i>f</i>) gegenüber seinem Maximum um die Hälfte abgefallen:
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*Bei der angegebenen Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$&nbsp; ist&nbsp; ${\it \Phi}_y (f)$&nbsp;  gegenüber seinem Maximum bei $f=0$&nbsp; um die Hälfte abgefallen:
:$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$
+
:$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi \cdot T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$
  
 
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Aktuelle Version vom 10. Februar 2022, 16:28 Uhr

Zur Bestimmung des Frequenzgangs  $H(f)$

Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs  $H(f)$.

  • Das Eingangssignal  $x(t)$  ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0 = 10^{-10} \hspace{0.05cm} \rm W/Hz$.
  • Somit gilt für die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:
$$\varphi _x ( \tau ) = {N_0 }/{2} \cdot \delta ( \tau ).$$
  • Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion  $\rm (KKF)$  zwischen den Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$  kann wie folgt angenähert werden
    $($nur gültig für positive Zeiten  $t)$:
$$\varphi _{xy} \left( \tau \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 },\hspace{0.5cm}\text{mit } \ K = 0.628 \cdot 10^{-12} \hspace{0.05cm} {\rm W}, \ T_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms.$$
  • Gemessen wird außerdem die AKF  $\varphi_y(\tau)$  des Ausgangssignals  $y(t)$.



Hinweise:

$$H( \omega ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm}h(t) = \omega _0 \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$
Für negative  $t$–Werte ist dagegen stets  $h(t) =0$.


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?  Man kann den Frequenzgang  $H(f)$  nach Betrag und Phase vollständig bestimmen,  wenn

die Funktionen  $\varphi_x(\tau)$  und  $\varphi_y(\tau)$  bekannt sind,
die Funktionen  $\varphi_x(\tau)$  und  $\varphi_{xy}(\tau)$  bekannt sind,
die Funktionen  $\varphi_{xy}(\tau)$  und  $\varphi_y(\tau)$  bekannt sind.

2

Berechnen Sie die Impulsantwort  $h(t)$.  Welcher Wert ergibt sich für  $t=T_0$?

$h(t = T_0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3} \ \rm 1/s$

3

Wie lautet der Frequenzgang  $H(f)$?  Welcher Wert ergibt sich für $f= 0$?

$H(f = 0) \ = \ $

4

Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals  $y(t)$.  Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$?

${\it \Phi}_y(f = 1/(2\pi T_0)) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-12}\ \rm W/Hz$


Musterlösung

(1)  Die  Aussagen 2 und 3  sind zutreffend.

  • Es gelten folgende Gleichungen:
$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$
$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$
  • Dagegen ist die erste Aussage falsch:   Bei der AKF-Berechnung gehen die Phasenbeziehungen verloren.
  • Die zugehörigen Spektralfunktionen zu  $\varphi_x(\tau)$  und  $\varphi_x(\tau)$  – nämlich  ${\it \Phi}_x(f)$  und  ${\it \Phi}_y(f)$  – sind reell,  so dass nur der Betrag  $|H(f)|$  angegeben werden kann.


(2)  Bei diracförmiger Eingangs-AKF  $\varphi_x(\tau)$  ist die Impulsantwort  $h(t)$  formgleich mit der KKF:

$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t = T_0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.62 \cdot 10^{-3}\ \rm 1/s}.$$


(3)  Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit  $T_0 = 1/\omega_0$  und der Konstanten  $C= N_0/2 \cdot T_0/K$:

$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} H( \omega ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega \cdot T_0 }}.$$
  • Die Konstante ergibt sich zu  $C = 0.08$.  Mit  $H(f) = 2 \pi \cdot H(\omega)$  folgt daraus:
$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f\cdot T_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= 0) \hspace{0.15cm}\underline{=0.5}.$$


(4)  Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:

$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j\cdot 2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)}} = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}\cdot f \cdot T_0 } \right)^2 }.$$
  • Bei der angegebenen Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$  ist  ${\it \Phi}_y (f)$  gegenüber seinem Maximum bei $f=0$  um die Hälfte abgefallen:
$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi \cdot T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$