Aufgaben:Aufgabe 5.1Z: cos² -Rauschbegrenzung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID491__Sto_Z_5_1.png|right|]]
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[[Datei:P_ID491__Sto_Z_5_1.png|right|frame|oben:&nbsp; Eingangs&ndash;LDS&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$, <br>unten:&nbsp; Filterfrequenzgang $H(f)$]]
:Wir betrachten ein bandbegrenztes weißes Rauschsignal <i>x</i>(<i>t</i>) mit dem oben skizzierten Leistungsdichtespektrum <i>&Phi;<sub>x</sub></i>(<i>f</i>). Dieses ist im Bereich |<i>f</i>| &#8804; <i>B<sub>x</sub></i> konstant gleich <i>N</i><sub>0</sub>/2 und außerhalb gleich Null. <br>
+
Wir betrachten bandbegrenztes weißes Rauschen&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem oben skizzierten Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$.&nbsp; Dieses ist im Bereich&nbsp; $|f| \le B_x$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $N_0/2$&nbsp; und außerhalb gleich Null.  
:Gehen Sie von folgenden Zahlenwerten aus:
 
  
:* <i>N</i><sub>0</sub> = 10<sup>&ndash;16</sup> V&sup2;/Hz, <i>B<sub>x</sub></i> = 10 kHz.
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Gehen Sie von folgenden Zahlenwerten aus:
  
:Dieses Signal wird an den Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang
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*Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{-16} \ \rm V^2/Hz$,
$$H(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}  {\cos ^2 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)} & {\rm{f\ddot{u}r}\quad \left| \it f \right| \le \it f_{\rm 0} ,}  \\  0 & {{\rm{sonst}}}  \\\end{array}} \right.$$
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*(einseitige)&nbsp; Rauschbandbreite&nbsp; $B_x = 10 \ \rm kHz$.
  
:angelegt. Hierbei bezeichnet <i>f</i><sub>0</sub> die absolute Filterbandbreite, die zwischen <i>B<sub>x</sub></i>/2 und 2<i>B<sub>x</sub></i> variieren kann.
 
  
:Das Filterausgangssignal wird mit <i>y</i>(<i>t</i>) bezeichnet.
+
Dieses Signal wird an den Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang
 +
:$$H(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}  {\cos ^2 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)} & {\rm{f\ddot{u}r}\quad \left| \it f \right| \le \it f_{\rm 0} ,}  \\  0 & {{\rm{sonst}}}  \\\end{array}} \right.$$
  
''Hinweise:''
+
angelegt.&nbsp; Hierbei bezeichnet&nbsp; $f_0$&nbsp; die absolute Filterbandbreite,&nbsp; die zwischen&nbsp; $B_x/2$&nbsp; und&nbsp; $2B_x$&nbsp; variieren kann.&nbsp; Das Filterausgangssignal wird mit&nbsp; $y(t)$&nbsp; bezeichnet.
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
 
*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|ZAutokorrelationsfunktion]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
 
:$${\rm e}^{-  \pi (f/{\rm \Delta} f)^2}
 
\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\hspace{0.03cm}\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot
 
{\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$
 
  
  
:<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.5, Kapitel 4.5 und Kapitel 5.1. Benutzen Sie, falls nötig, die nachfolgenden Gleichungen:
+
 
:$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}}  \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \quad {\rm{(f\ddot{u}r }}\;{\rm{grösse }}\;x{\rm{)}}{\rm{,}}$$
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
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*Bezug genommen wird auch auf die Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].  
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*Benutzen Sie,&nbsp; falls nötig,&nbsp; die nachfolgenden Gleichungen:
 +
:$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}}  \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \hspace{0.15cm}(
 +
\text{für großes }x),$$
 
:$$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$
 
:$$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$
 
:$$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$
 
:$$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß ist der Effektivwert des Eingangssignals <i>x</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie groß ist der Effektivwert des Eingangssignals&nbsp; $x(t)$?
 
|type="{}"}
 
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$\sigma_x$ = { 1 3% } $\mu V$
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$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; V$
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein momentaner Spannungswert des Eingangssignals betragsmäßig größer als 5 &mu;V ist?
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass ein momentaner Spannungswert des Eingangssignals betragsmäßig größer als&nbsp; $5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V$&nbsp; ist?
 
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$Pr(|x(t)| > 5 μV)$ = { 6 3% } $\cdot 10^{-7}$
+
${\rm Pr}(|x(t)| > 5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V) \ =  \ $ { 0.6 3% } $\ \cdot 10^{-6}$
  
  
{Wie groß ist der Mittelwert (Gleichanteil) des Ausgangssignals <i>y</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie groß ist der Mittelwert (Gleichanteil) des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$m_y$ = { 0 3% } $\mu V$
+
$m_y\  \ =  \ $ { 0. } $\ \rm &micro; V$
  
  
{Berechnen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals <i>y</i>(<i>t</i>) für   
+
{Berechnen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$&nbsp; für&nbsp; $f_0 = B_x/2$.
<i>f</i><sub>0</sub> = <i>B<sub>x</sub></i>/2.
 
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$f_0 = B_x/2:\ \ \sigma_y$ = { 0.433 3% } $\mu V$
+
$\sigma_y \ \ $ { 0.433 3% } $\ \rm &micro; V$
  
  
{Berechnen Sie den Effektivwert von <i>y</i>(<i>t</i>) unter der Bedingung <i>f</i><sub>0</sub> = 2<i>B<sub>x</sub></i>.
+
{Berechnen Sie den Effektivwert von&nbsp; $y(t)$&nbsp; unter der Bedingung&nbsp; $f_0 = 2 \cdot B_x$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$f_0 = 2B_x:\ \ \sigma_y$ = { 0.731 3% } $\mu V$
+
$\sigma_y \ \ $ { 0.731 3% } $\ \rm &micro; V$
  
  
{Es gelte weiter <i>f</i><sub>0</sub> = 2<i>B<sub>x</sub></i>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ausgangssignal <i>y</i>(<i>t</i>) betragsmäßig größer als 5 &mu;V ist?
+
{Es gelte weiter&nbsp; $f_0 = 2 \cdot B_x$. &nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; betragsmäßig größer als&nbsp; $5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V$&nbsp; ist?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Pr(|y(t)| > 5 \mu V)$ = { 8 3% } $\cdot 10^{-12}$
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${\rm Pr}(|y(t)| > 5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V) \ =  \ $ { 8 3% } $\ \cdot 10^{-12}$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die Varianz (Leistung) &nbsp;&#8658;&nbsp; Effektivwert zum Quadrat des Signals <i>x</i>(<i>t</i>) beträgt
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'''(1)'''&nbsp; Die Varianz&nbsp; (Leistung) &nbsp; &#8658; &nbsp; Effektivwert zum Quadrat des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; beträgt
 
:$$\sigma _x ^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot 2B_x  = N_0  \cdot B_x  = 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2
 
:$$\sigma _x ^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot 2B_x  = N_0  \cdot B_x  = 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
\sigma _x  \hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,\,{\rm \mu}{\rm V}}.$$
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\sigma _x  \hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,\,{\rm &micro;}{\rm V}}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem Kapitel&nbsp; &bdquo;Gaußverteilte Zufallsgrößen&rdquo;&nbsp; und der hier angegebenen Näherung&nbsp; $($für große&nbsp; $x)$&nbsp; erhält man:
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:$$\Pr \left( {\left| {x(t)} \right| > 5\;{\rm{&micro; V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}(5) = \frac{2}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}}  \cdot 5}} \cdot {\rm{e}}^{ - 12.5}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.6 \cdot 10^{ - 6}} .$$
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'''(3)'''&nbsp; Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist mittelwertfrei &nbsp; &rArr; &nbsp; $m_x = 0$.  
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*Sonst müsste&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; noch eine Diracfunktion bei&nbsp; $f= 0$&nbsp; beinhalten.
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*Der Mittelwert wird durch das lineare Filter nicht verändert &nbsp; &#8658; &nbsp; $m_y\hspace{0.05cm}\underline{ = 0}$.
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend dem Kapitel 3.5 und der hier angegebenen Näherung erhält man:
 
:$$\Pr \left( {\left| {x(t)} \right| > 5\;{\rm{\mu V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}(5) = \frac{2}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}}  \cdot 5}} \cdot {\rm{e}}^{ - 12.5}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 6 \cdot 10^{ - 7}} .$$
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Das Eingangssignal <i>x</i>(<i>t</i>) ist mittelwertfrei (<i>m<sub>x</sub></i> = 0), da sonst <i>&Phi;<sub>x</sub></i>(<i>f</i>) noch eine Diracfunktion bei <i>f</i> = 0 beinhalten müsste. Der Mittelwert wird durch das lineare Filter nicht verändert &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>m<sub>y</sub></i> <u>= 0</u>.
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals gilt allgemein:
+
'''(4)'''&nbsp; Für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals gilt allgemein:
:$${\it \Phi}_y (f) = \frac{N_0 }{2} \cdot \left| {H( f )} \right|^2 .$$
+
:$${\it \Phi}_y (f) = {N_0 }/{2} \cdot \left| {H( f )} \right|^2 .$$
  
:Damit kann die Varianz <i>&sigma;<sub>y</sub></i><sup>2</sup> berechnet werden. Unter Ausnützung der Symmetrie erhält man:
+
*Damit kann die Varianz&nbsp; $\sigma _y^2$&nbsp; berechnet werden.&nbsp; Unter Ausnützung der Symmetrie erhält man:
:$$\sigma _y ^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H( f )} \right|^2 \left( f \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} =  N_0  \cdot \int_0^{f_0 } {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f .$$
+
:$$\sigma _y ^2  = {N_0 }/{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H( f )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} =  N_0  \cdot \int_0^{f_0 } {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f .$$
  
:Das bestimmte Integral ist vorgegeben. Bei jedem der drei Lösungsterme ergibt sich für die untere Grenze der Wert 0. Daraus folgt:
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*Das bestimmte Integral ist vorgegeben.&nbsp; Bei jedem der drei Lösungsterme ergibt sich für die untere Grenze der Wert Null.&nbsp; Daraus folgt:
:$$\sigma _y ^2  = \frac{N_0}{2} \cdot \left( {\frac{3}{8} \cdot f_0  + \frac{f_0 }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) + \frac{f_0 }{{16{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}} )} \right) = \frac{3}{8} \cdot N_0  \cdot f_0 .$$
+
:$$\sigma _y ^2  = {N_0}/{2} \cdot \left( {\frac{3}{8} \cdot f_0  + \frac{f_0 }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) + \frac{f_0 }{{16{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}} )} \right) = \frac{3}{8} \cdot N_0  \cdot f_0 $$
:$$f_0 = B_x/2:\hspace{0.2cm}\sigma _y ^2  = \frac{3}{16} \cdot N_0  \cdot B_x  = \frac{3}{16} \cdot \sigma _x ^2  = 0.1875 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2  \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.433\;{\rm{\mu V}}}{\rm{.}}$$
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:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_0 = B_x/2\text{:}\hspace{0.2cm}\sigma _y ^2  = \frac{3}{16} \cdot N_0  \cdot B_x  = \frac{3}{16} \cdot \sigma _x ^2  = 0.1875 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2  \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.433\;{\rm{&micro; V}}}{\rm{.}}$$
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Nun besitzt das Eingangs-LDS für |<i>f</i>| > <i>B<sub>x</sub></i> keine Anteile. Deshalb gilt:
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'''(5)'''&nbsp; Nun besitzt das Eingangs-Leistungsdichtespektrum für&nbsp; $|f| > B_x$&nbsp; keine Anteile.  
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*Deshalb gilt:
 
:$$\sigma _y ^2  = N_0\cdot \int_0^{B_x } {\cos ^4 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = N_0  \cdot \int_0^{f_0 /2} {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f.}$$
 
:$$\sigma _y ^2  = N_0\cdot \int_0^{B_x } {\cos ^4 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = N_0  \cdot \int_0^{f_0 /2} {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f.}$$
  
:Die numerische Auswertung liefert hierfür:
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*Die numerische Auswertung liefert hierfür:
:$$\sigma _y ^2  = N_0 \left( {\frac{3}{8} \cdot B_x  + \frac{B_x }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) + \frac{B_x }{{{\rm{16\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} )} \right)$$
+
:$$\sigma _y ^2  = N_0 \left( {\frac{3}{8} \cdot B_x  + \frac{B_x }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) + \frac{B_x }{{{\rm{16\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} )} \right) = N_0  \cdot B_x \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}} \right) = 0.534\cdot \sigma _x ^2  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{  = 0.731\;{\rm{&micro; V}}}{\rm{.}}$$
:$$ \Rightarrow \sigma _y ^2  = N_0  \cdot B_x \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}} \right) = 0.534\cdot \sigma _x ^2  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{  = 0.731\;{\rm{\mu V}}}{\rm{.}}$$
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:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (b) gilt:
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'''(6)'''&nbsp; Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
:$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{\mu V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}\left( {\frac{{5\;{\rm{\mu V}}}}{{0.731\;{\rm{\mu V}}}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}( {6.84} ).$$
+
:$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{&micro; V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}\left( {\frac{{5\;{\rm{&micro; V}}}}{{0.731\;{\rm{&micro; V}}}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}( {6.84} ).$$
  
:Mit der angegebenen Näherung hat diese Wahrscheinlichkeit den Wert <u>8 &middot; 10<sup>&ndash;12</sup></u>.
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*Mit der angegebenen Näherung hat diese Wahrscheinlichkeit den folgenden Wert:
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:$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{&micro; V}}} \right) \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 8 \cdot 10^{ - 12}}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 9. Februar 2022, 18:29 Uhr

oben:  Eingangs–LDS  ${\it Φ}_x(f)$,
unten:  Filterfrequenzgang $H(f)$

Wir betrachten bandbegrenztes weißes Rauschen  $x(t)$  mit dem oben skizzierten Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$.  Dieses ist im Bereich  $|f| \le B_x$  konstant gleich  $N_0/2$  und außerhalb gleich Null.

Gehen Sie von folgenden Zahlenwerten aus:

  • Rauschleistungsdichte  $N_0 = 10^{-16} \ \rm V^2/Hz$,
  • (einseitige)  Rauschbandbreite  $B_x = 10 \ \rm kHz$.


Dieses Signal wird an den Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang

$$H(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\cos ^2 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)} & {\rm{f\ddot{u}r}\quad \left| \it f \right| \le \it f_{\rm 0} ,} \\ 0 & {{\rm{sonst}}} \\\end{array}} \right.$$

angelegt.  Hierbei bezeichnet  $f_0$  die absolute Filterbandbreite,  die zwischen  $B_x/2$  und  $2B_x$  variieren kann.  Das Filterausgangssignal wird mit  $y(t)$  bezeichnet.



Hinweise:

  • Benutzen Sie,  falls nötig,  die nachfolgenden Gleichungen:
$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \hspace{0.15cm}( \text{für großes }x),$$
$$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$
$$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$



Fragebogen

1

Wie groß ist der Effektivwert des Eingangssignals  $x(t)$?

$\sigma_x \ = \ $

$\ \rm µ V$

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass ein momentaner Spannungswert des Eingangssignals betragsmäßig größer als  $5 \hspace{0.05cm} \rm µ V$  ist?

${\rm Pr}(|x(t)| > 5 \hspace{0.05cm} \rm µ V) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}$

3

Wie groß ist der Mittelwert (Gleichanteil) des Ausgangssignals  $y(t)$?

$m_y\ \ = \ $

$\ \rm µ V$

4

Berechnen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals  $y(t)$  für  $f_0 = B_x/2$.

$\sigma_y \ = \ $

$\ \rm µ V$

5

Berechnen Sie den Effektivwert von  $y(t)$  unter der Bedingung  $f_0 = 2 \cdot B_x$.

$\sigma_y \ = \ $

$\ \rm µ V$

6

Es gelte weiter  $f_0 = 2 \cdot B_x$.   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass das Ausgangssignal  $y(t)$  betragsmäßig größer als  $5 \hspace{0.05cm} \rm µ V$  ist?

${\rm Pr}(|y(t)| > 5 \hspace{0.05cm} \rm µ V) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-12}$


Musterlösung

(1)  Die Varianz  (Leistung)   ⇒   Effektivwert zum Quadrat des Signals  $x(t)$  beträgt

$$\sigma _x ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot 2B_x = N_0 \cdot B_x = 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma _x \hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,\,{\rm µ}{\rm V}}.$$


(2)  Entsprechend dem Kapitel  „Gaußverteilte Zufallsgrößen”  und der hier angegebenen Näherung  $($für große  $x)$  erhält man:

$$\Pr \left( {\left| {x(t)} \right| > 5\;{\rm{µ V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}(5) = \frac{2}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot 5}} \cdot {\rm{e}}^{ - 12.5}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.6 \cdot 10^{ - 6}} .$$


(3)  Das Eingangssignal  $x(t)$  ist mittelwertfrei   ⇒   $m_x = 0$.

  • Sonst müsste  ${\it Φ}_x(f)$  noch eine Diracfunktion bei  $f= 0$  beinhalten.
  • Der Mittelwert wird durch das lineare Filter nicht verändert   ⇒   $m_y\hspace{0.05cm}\underline{ = 0}$.


(4)  Für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals gilt allgemein:

$${\it \Phi}_y (f) = {N_0 }/{2} \cdot \left| {H( f )} \right|^2 .$$
  • Damit kann die Varianz  $\sigma _y^2$  berechnet werden.  Unter Ausnützung der Symmetrie erhält man:
$$\sigma _y ^2 = {N_0 }/{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H( f )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = N_0 \cdot \int_0^{f_0 } {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f .$$
  • Das bestimmte Integral ist vorgegeben.  Bei jedem der drei Lösungsterme ergibt sich für die untere Grenze der Wert Null.  Daraus folgt:
$$\sigma _y ^2 = {N_0}/{2} \cdot \left( {\frac{3}{8} \cdot f_0 + \frac{f_0 }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) + \frac{f_0 }{{16{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}} )} \right) = \frac{3}{8} \cdot N_0 \cdot f_0 $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_0 = B_x/2\text{:}\hspace{0.2cm}\sigma _y ^2 = \frac{3}{16} \cdot N_0 \cdot B_x = \frac{3}{16} \cdot \sigma _x ^2 = 0.1875 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.433\;{\rm{µ V}}}{\rm{.}}$$


(5)  Nun besitzt das Eingangs-Leistungsdichtespektrum für  $|f| > B_x$  keine Anteile.

  • Deshalb gilt:
$$\sigma _y ^2 = N_0\cdot \int_0^{B_x } {\cos ^4 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = N_0 \cdot \int_0^{f_0 /2} {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f.}$$
  • Die numerische Auswertung liefert hierfür:
$$\sigma _y ^2 = N_0 \left( {\frac{3}{8} \cdot B_x + \frac{B_x }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) + \frac{B_x }{{{\rm{16\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} )} \right) = N_0 \cdot B_x \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}} \right) = 0.534\cdot \sigma _x ^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.731\;{\rm{µ V}}}{\rm{.}}$$


(6)  Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe  (2)  gilt:

$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{µ V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}\left( {\frac{{5\;{\rm{µ V}}}}{{0.731\;{\rm{µ V}}}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}( {6.84} ).$$
  • Mit der angegebenen Näherung hat diese Wahrscheinlichkeit den folgenden Wert:
$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{µ V}}} \right) \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 8 \cdot 10^{ - 12}}.$$