Aufgaben:Aufgabe 5.1Z: Abtastung harmonischer Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(2 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID1129__Sig_Z_5_1.png|right|frame|Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz $f_0$ und gleicher Amplitude $A$]]
+
[[Datei:P_ID1129__Sig_Z_5_1.png|right|frame|Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz  $f_0$  und gleicher Amplitude  $A$]]
 
Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:
 
Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:
 
:$$x_1(t)  =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$x_1(t)  =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$ x_2(t)  =  A \cdot \sin (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$ x_2(t)  =  A \cdot \sin (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$ x_3(t)  =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ x_3(t)  =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$
Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.
+
Die Schwingungsparameter  $f_0$  und  $A$  können Sie der Grafik entnehnen.
  
Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$ analysiert werden sollen.
+
Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T_{\rm A}$  abgetastet werden, wobei die Parameterwerte  $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$  und  $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$  analysiert werden sollen.
  
Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:
+
Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das Signal  $y(t)$  formt. Es gelte:
 
:$$H(f)  = \left\{ \begin{array}{c} 1  \\ 0.5 \\
 
:$$H(f)  = \left\{ \begin{array}{c} 1  \\ 0.5 \\
 
  0  \\  \end{array} \right.\quad
 
  0  \\  \end{array} \right.\quad
Zeile 22: Zeile 22:
 
|f| > f_{\rm G}  \hspace{0.05cm}, \\
 
|f| > f_{\rm G}  \hspace{0.05cm}, \\
 
\end{array}$$
 
\end{array}$$
Hierbei gibt $f_{\rm G}$ die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:
+
Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:
 
:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm  A}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm  A}}\hspace{0.05cm}.$$
Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn $y(t) = x(t)$ gilt.
+
Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn  $y(t) = x(t)$  gilt.
  
  
Zeile 32: Zeile 32:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
 
   
 
   
 
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]
 
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]
Zeile 40: Zeile 40:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$?
+
{Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale&nbsp; $x_1(t)$,&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_3(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$A \hspace{0.25cm} = \ $  { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$A \hspace{0.25cm} = \ $  { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
Zeile 46: Zeile 46:
  
  
{Bei welchen Eingangssignalen ist das Abtasttheorem erfüllt  &nbsp; &rArr;  &nbsp;  $y(t) = x(t)$, wenn $\underline{T_{\rm A} = 80 \ {\rm &micro;} \text{s}}$ beträgt?
+
{Bei welchen Eingangssignalen ist das Abtasttheorem erfüllt  &nbsp; &rArr;  &nbsp;  $y(t) = x(t)$, wenn&nbsp; $\underline{T_{\rm A} = 80 \ {\rm &micro;} \text{s}}$&nbsp; beträgt?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
+ $x_1(t)$,
 
+ $x_1(t)$,
Zeile 53: Zeile 53:
  
  
{Wie lautet das rekonstruierte Signal $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$ mit dem Abtastabstand $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
+
{Wie lautet das rekonstruierte Signal&nbsp; $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$&nbsp; mit dem Abtastabstand&nbsp; $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$A_1\hspace{0.2cm} = \ ${ 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$A_1\hspace{0.2cm} = \ ${ 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
Zeile 59: Zeile 59:
  
  
{Welche Amplitude $A_2$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_2(t)$, wenn das Sinussignal $x_2(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}}$.
+
{Welche Amplitude&nbsp; $A_2$&nbsp; besitzt das rekonstruierte Signal&nbsp; $y_2(t)$, wenn das Sinussignal&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; anliegt? Es gelte weiterhin&nbsp; $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}}$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$A_2\hspace{0.2cm} = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
 
$A_2\hspace{0.2cm} = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
  
  
{Welche Amplitude $A_3$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_3(t)$, wenn das Sinussignal $x_3(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}}$.
+
{Welche Amplitude&nbsp; $A_3$&nbsp; besitzt das rekonstruierte Signal&nbsp; $y_3(t)$, wenn das Signal&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; anliegt? Es gelte weiterhin&nbsp; $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}}$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$A_3\hspace{0.2cm} = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$A_3\hspace{0.2cm} = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
Zeile 74: Zeile 74:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$. Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.
+
'''(1)'''&nbsp;  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude&nbsp; $\underline{A = 2\ \text{V}}$&nbsp; sowie die Periodendauer&nbsp; $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$.  
 +
*Daraus ergibt sich die Signalfrequenz&nbsp; $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.
  
  
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>alle Löungsvorschläge</u>:
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>alle Löungsvorschläge</u>:
*Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.  
+
*Die Abtastrate beträgt hier&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.  
*Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.  
+
*Dieser Wert ist größer als&nbsp; $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.  
*Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$.   
+
*Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets&nbsp; $y(t) = x(t)$.   
  
  
[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png|right|frame|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals &ndash; Realteil und Imaginärteil]]
+
[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png|right|frame|Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des abgetasteten Signals &ndash; Realteil und Imaginärteil]]
'''(3)'''&nbsp; Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.  
+
'''(3)'''&nbsp; Die Abtastrate beträgt nun&nbsp; $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.  
*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
+
*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist jetzt das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
:$$y_1(t) = x_1(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$
+
:$$y_1(t) = x_1(t) &nbsp; &rArr; &nbsp; A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$
  
Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
+
 
 +
Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase&nbsp; $\varphi$&nbsp; im Eingangssignal berücksichtigt wird:
 
:$$x(t) =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)
 
:$$x(t) =  A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
+
*Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
 
:$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}
 
:$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}
 
  \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot  \delta
 
  \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot  \delta
Zeile 97: Zeile 99:
 
  \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot  \delta
 
  \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot  \delta
 
  (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
 
  (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
Mit den Abkürzungen
+
*Mit den Abkürzungen
 
:$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
 
:$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
 
\cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und}  \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot
 
\cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und}  \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$
 
\hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$
kann hierfür auch geschrieben werden:
+
:kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot  \delta
 
:$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot  \delta
 
  (f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot  \delta
 
  (f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot  \delta
 
  (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
 
  (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
Das Spektrum des mit $f_{\rm A} = 2f_0$ abgetasteten Signals $x_{\rm A}(t)$ lautet somit:
+
*Das Spektrum des mit&nbsp; $f_{\rm A} = 2f_0$&nbsp; abgetasteten Signals&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; lautet somit:
 
:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 
:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 
  )= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}
 
  )= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}
 
  )\hspace{0.05cm}.$$
 
  )\hspace{0.05cm}.$$
*Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht.  
+
:*Die untere Grafik zeigt, dass&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; aus Diracfunktionen bei&nbsp; $\pm f_0$,&nbsp; $\pm 3f_0$,&nbsp; $\pm 5f_0$,&nbsp; usw. besteht.  
*Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$.  
+
:*Alle Gewichte sind rein reell und gleich&nbsp; $2 \cdot R$.  
*Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.
+
:*Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.
 
 
  
Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
+
*Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei&nbsp; $f_{\rm G} = f_0$&nbsp; liegt, sowie&nbsp; $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
 
:$$Y(f) = R \cdot  \delta
 
:$$Y(f) = R \cdot  \delta
 
  (f+ f_{\rm 0} ) + R  \cdot  \delta
 
  (f+ f_{\rm 0} ) + R  \cdot  \delta
 
  (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
 
  (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
 
\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$
 
\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$
Die Fourierrücktransformation führt auf
+
 
 +
*Die Fourierrücktransformation führt auf
 +
[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png|right|frame|Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals]]
 
:$$y(t) =  A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
 
:$$y(t) =  A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.
 
*Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.
 
  
 +
*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase&nbsp; $\varphi$&nbsp; ein cosinusförmiger Verlauf.
 +
*Ist&nbsp; $\varphi = 0$&nbsp; wie beim Signal&nbsp; $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich&nbsp; $A$.
  
[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png|right|frame|Rekonstruktion eines abgetasteten Sinussignals]]
+
 
'''(4)'''&nbsp; Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$  &nbsp; &rArr; &nbsp;    Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.  
+
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Das Sinussignal hat die Phase&nbsp; $90^\circ$.  
 +
*Daraus folgt direkt&nbsp; $y_2(t) = 0$  &nbsp; &rArr; &nbsp;    Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.  
  
 
*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.  
 
*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.  
*Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
+
*Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind Null, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
<br clear=all>
+
 
[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png|right|frame|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase]]
+
 
'''(5)'''&nbsp; Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; auch das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
+
[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png|right|frame|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit&nbsp; $60^\circ$ Phase]]
 +
'''(5)'''&nbsp; Trotz&nbsp; $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; auch das rekonstruierte Signal&nbsp; $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
 
:$$A_3 =  A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}
 
:$$A_3 =  A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$

Aktuelle Version vom 10. Oktober 2019, 13:45 Uhr

Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz  $f_0$  und gleicher Amplitude  $A$

Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:

$$x_1(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
$$ x_2(t) = A \cdot \sin (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Schwingungsparameter  $f_0$  und  $A$  können Sie der Grafik entnehnen.

Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T_{\rm A}$  abgetastet werden, wobei die Parameterwerte  $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$  und  $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$  analysiert werden sollen.

Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das Signal  $y(t)$  formt. Es gelte:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ |f| = f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:

$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn  $y(t) = x(t)$  gilt.




Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$?

$A \hspace{0.25cm} = \ $

 $\text{V}$
$f_0\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{kHz}$

2

Bei welchen Eingangssignalen ist das Abtasttheorem erfüllt   ⇒   $y(t) = x(t)$, wenn  $\underline{T_{\rm A} = 80 \ {\rm µ} \text{s}}$  beträgt?

$x_1(t)$,
$x_2(t)$,
$x_3(t)$.

3

Wie lautet das rekonstruierte Signal  $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$  mit dem Abtastabstand  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.

$A_1\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{V}$
$\varphi_1\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{Grad}$

4

Welche Amplitude  $A_2$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_2(t)$, wenn das Sinussignal  $x_2(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.

$A_2\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{V}$

5

Welche Amplitude  $A_3$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$, wenn das Signal  $x_3(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.

$A_3\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{V}$


Musterlösung

(1)  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude  $\underline{A = 2\ \text{V}}$  sowie die Periodendauer  $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$.

  • Daraus ergibt sich die Signalfrequenz  $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.


(2)  Richtig sind alle Löungsvorschläge:

  • Die Abtastrate beträgt hier  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.
  • Dieser Wert ist größer als  $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
  • Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets  $y(t) = x(t)$.


Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil

(3)  Die Abtastrate beträgt nun  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.

  • Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist jetzt das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
$$y_1(t) = x_1(t)   ⇒   A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$


Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase  $\varphi$  im Eingangssignal berücksichtigt wird:

$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi) \hspace{0.05cm}.$$
  • Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta (f+ f_{\rm 0} ) + {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit den Abkürzungen
$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und} \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$
kann hierfür auch geschrieben werden:
$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot \delta (f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
  • Das Spektrum des mit  $f_{\rm A} = 2f_0$  abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  lautet somit:
$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A} )= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
  • Die untere Grafik zeigt, dass  $X_{\rm A}(f)$  aus Diracfunktionen bei  $\pm f_0$,  $\pm 3f_0$,  $\pm 5f_0$,  usw. besteht.
  • Alle Gewichte sind rein reell und gleich  $2 \cdot R$.
  • Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.
  • Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei  $f_{\rm G} = f_0$  liegt, sowie  $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
$$Y(f) = R \cdot \delta (f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta (f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Fourierrücktransformation führt auf
Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals
$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase  $\varphi$  ein cosinusförmiger Verlauf.
  • Ist  $\varphi = 0$  wie beim Signal  $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich  $A$.


(4)  Das Sinussignal hat die Phase  $90^\circ$.

  • Daraus folgt direkt  $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.
  • Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.
  • Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind Null, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.


Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit  $60^\circ$ Phase

(5)  Trotz  $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich

$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
  • Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.