Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem

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Gegeben ist ein Analogsignal x(t) entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate fA) erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal xA(t). Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen f1 und f2 > f1 ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant. Die Eckfrequenzen f1 und f2 sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal y(t) des Tiefpasses mit dem Signal x(t) exakt übereinstimmt. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion

Fragebogen

1

Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate.

$f_A=$ kHz

2

Bei welchen Frequenzen besitzt XA(f) mit Sicherheit keine Anteile?

	$f= $ { 2.5 } kHz
	$f= $ { 5.5 } kHz
	$f= $ { 6.5 } kHz
	$f= $ { 34.5 } kHz

3

Bis zu welcher Eckfrequenz f1 wird das Signal perfekt rekonstruiert?

$f_{1,\text{min}}=$ kHz

4

Bis zu welcher Eckfrequenz f2 wird das Signal perfekt rekonstruiert?

$f_{2,\text{min}}=$ kHz

Musterlösung

Musterlösung

1. a) Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt TA = 0.1 ms. Somit erhält man für die Abtastrate fA = 1/TA = 10 kHz. b) Das Spektrum XA(f) des abgetasteten Signals erhält man aus X(f) durch periodische Fortsetzung im Abstand fA = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass XA(f) durchaus Anteile bei f = 2.5 kHz und f = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei f = 5.5 kHz. Auch bei f = 34.5 kHz wird XA(f) = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.

c) Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit H(f) = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): f1, min = BNF = 4 kHz. d) Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von XA(f), die in X(f) nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt f2, max = fA – BNF = 6 kHz.