Aufgaben:Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Gegeben ist ein Analogsignal x(t) entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate | + | Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate $f_A$) erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal $x_A(t)$. |
Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang | Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang | ||
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| − | eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen | + | eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant. |
| − | Die Eckfrequenzen | + | Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt. |
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: | Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: | ||
Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion | Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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$f_A=$ { 10 } kHz | $f_A=$ { 10 } kHz | ||
| − | {Bei welchen Frequenzen besitzt | + | {Bei welchen Frequenzen besitzt $X_A(f)$ mit Sicherheit keine Anteile? |
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- $f= $ 2.5 kHz | - $f= $ 2.5 kHz | ||
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+ $f= $ 34.5 kHz | + $f= $ 34.5 kHz | ||
| − | {Bis zu welcher Eckfrequenz | + | {Bis zu welcher Eckfrequenz $f_1$ wird das Signal perfekt rekonstruiert? |
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$f_{1,\text{min}}=$ { 4 } kHz | $f_{1,\text{min}}=$ { 4 } kHz | ||
| − | {Bis zu welcher Eckfrequenz | + | {Bis zu welcher Eckfrequenz $f_2$ wird das Signal perfekt rekonstruiert? |
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$f_{2,\text{min}}=$ { 6 } kHz | $f_{2,\text{min}}=$ { 6 } kHz | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1.''' | + | '''1.''' Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_A$ = 0.1 ms. Somit erhält man für die Abtastrate $f_A$ = 1/ $T_A$ = 10 kHz. |
| − | + | ||
| + | '''2.''' Das Spektrum $X_A(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_A$ = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass $X_A(f)$ durchaus Anteile bei $f$ = 2.5 kHz und $f$ = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei $f$ = 5.5 kHz. Auch bei $f$ = 34.5 kHz wird $X_A(f)$ = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4. | ||
[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png|250px|right|Zum Abtasttheorem (ML zu Aufgabe A5.1)]] | [[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png|250px|right|Zum Abtasttheorem (ML zu Aufgabe A5.1)]] | ||
| − | + | '''3.''' Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f)$ = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): $f_{1, \text{min}}$ = BNF = 4 kHz. | |
| − | + | ||
| + | '''4.''' Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_A(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt $f_{2, \text{max}}$ = $f_A$ – BNF = 6 kHz. | ||
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Version vom 20. April 2016, 14:34 Uhr
Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate $f_A$) erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal $x_A(t)$. Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant. Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion
Fragebogen
Musterlösung
2. Das Spektrum $X_A(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_A$ = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass $X_A(f)$ durchaus Anteile bei $f$ = 2.5 kHz und $f$ = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei $f$ = 5.5 kHz. Auch bei $f$ = 34.5 kHz wird $X_A(f)$ = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.
3. Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f)$ = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): $f_{1, \text{min}}$ = BNF = 4 kHz.
4. Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_A(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt $f_{2, \text{max}}$ = $f_A$ – BNF = 6 kHz.
