Aufgaben:Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID1126__Sig_A_5_1.png|right|frame|Zur Abtastung eines analogen Signals $x(t)$]]
+
[[Datei:P_ID1126__Sig_A_5_1.png|right|frame|Zur Abtastung eines analogen Signals  $x(t)$]]
  
Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze.
+
Gegeben ist ein Analogsignal  $x(t)$  entsprechend der Skizze:
*Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$ beinhaltet.  
+
*Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als  $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$  beinhaltet.  
*Durch Abtastung mit der Abtastrate $f_{\rm A}$ erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal $x_{\rm A}(t)$.
+
*Durch Abtastung mit der Abtastrate  $f_{\rm A}$  erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal  $x_{\rm A}(t)$.
 
*Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:
 
*Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:
 
   
 
   
Zeile 18: Zeile 18:
 
\end{array}$$
 
\end{array}$$
  
Der Bereich zwischen den Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
+
Der Bereich zwischen den Frequenzen  $f_1$  und  $f_2 > f_1$  ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
 +
 
 +
Die Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2$  sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  des Tiefpasses mit dem Signal  $x(t)$  exakt übereinstimmt.
 +
 
 +
 
  
Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt.
 
  
  
Zeile 28: Zeile 31:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
 
   
 
   
 
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]
 
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]
Zeile 40: Zeile 43:
 
$f_{\rm A}\ = \ $  { 10 3% }  $\text{kHz}$
 
$f_{\rm A}\ = \ $  { 10 3% }  $\text{kHz}$
  
{Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion  $X_{\rm A}(f)$ mit Sicherheit <u>keine Anteile</u>?
+
{Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; mit Sicherheit <u>keine Anteile</u>?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
- $f =  2.5 \ \text{kHz},$
 
- $f =  2.5 \ \text{kHz},$
+ $f=  5.5 \text{kHz},$
+
+ $f=  5.5 \ \text{kHz},$
- $f=  6.5 \text{kHz},$
+
- $f=  6.5 \ \text{kHz},$
+ $f=  34.5 \text{kHz}.$
+
+ $f=  34.5 \ \text{kHz}.$
  
{Wie groß muss die untere Eckfrequenz $f_1$ mindestens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?
+
{Wie groß muss die untere Eckfrequenz&nbsp; $f_1$&nbsp; mindestens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$f_{1,\ \text{min}}\ = \ ${ 4 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
 
$f_{1,\ \text{min}}\ = \ ${ 4 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
  
{Wie groß darf die obere Eckfrequenz $f_2$ höchstens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?
+
{Wie groß darf die obere Eckfrequenz&nbsp; $f_2$&nbsp; höchstens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$f_{2,\ \text{max}}\ = \ ${ 6 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
 
$f_{2,\ \text{max}}\ = \ ${ 6 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
Zeile 60: Zeile 63:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.
+
'''(1)'''&nbsp;  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt&nbsp; $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.
  
  
[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png|450px|right|frame|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals (schematisch)]]
+
[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png|450px|right|frame|Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des abgetasteten Signals (schematische Darstellung)]]
 
'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
 
'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
*Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} =  10 \ \text{kHz}$.  
+
*Das Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des abgetasteten Signals erhält man aus&nbsp; $X(f)$&nbsp; durch periodische Fortsetzung im Abstand&nbsp; $f_{\rm A} =  10 \ \text{kHz}$.  
*Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f =  2.5 \ \text{kHz}$ und  $f =  6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.
+
*Aus der Skizze erkennt man, dass&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; durchaus Anteile bei&nbsp; $f =  2.5 \ \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f =  6.5 \ \text{kHz}$&nbsp; besitzen kann.
* Dagegen gibt es  bei  $f =  5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.  
+
* Dagegen gibt es  bei&nbsp; $f =  5.5 \ \text{kHz}$&nbsp; keine Anteile.  
*Auch bei  $f =  34.5 \ \text{kHz}$ wird  auf jeden Fall $X_{\rm A}(f) = 0$ gelten.  
+
*Auch bei&nbsp; $f =  34.5 \ \text{kHz}$&nbsp; wird  auf jeden Fall&nbsp; $X_{\rm A}(f) = 0$&nbsp; gelten.  
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
'''(3)'''&nbsp; Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der Skizze:  
+
'''(3)'''&nbsp; Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit&nbsp; $H(f) = 1$&nbsp; bewertet werden.  
 +
*Daraus folgt entsprechend der Skizze:  
  
 
:$$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$
 
:$$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze muss also gelten:
+
'''(4)'''&nbsp; Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von&nbsp; $X_{\rm A}(f)$, die in&nbsp; $X(f)$&nbsp; nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden.  
 +
*Entsprechend der Skizze muss also gelten:
  
 
:$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$
 
:$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$

Aktuelle Version vom 10. Oktober 2019, 12:11 Uhr

Zur Abtastung eines analogen Signals  $x(t)$

Gegeben ist ein Analogsignal  $x(t)$  entsprechend der Skizze:

  • Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als  $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$  beinhaltet.
  • Durch Abtastung mit der Abtastrate  $f_{\rm A}$  erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal  $x_{\rm A}(t)$.
  • Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

Der Bereich zwischen den Frequenzen  $f_1$  und  $f_2 > f_1$  ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.

Die Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2$  sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  des Tiefpasses mit dem Signal  $x(t)$  exakt übereinstimmt.





Hinweise:


Fragebogen

1

Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate.

$f_{\rm A}\ = \ $

 $\text{kHz}$

2

Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion  $X_{\rm A}(f)$  mit Sicherheit keine Anteile?

$f = 2.5 \ \text{kHz},$
$f= 5.5 \ \text{kHz},$
$f= 6.5 \ \text{kHz},$
$f= 34.5 \ \text{kHz}.$

3

Wie groß muss die untere Eckfrequenz  $f_1$  mindestens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?

$f_{1,\ \text{min}}\ = \ $

 $\text{kHz}$

4

Wie groß darf die obere Eckfrequenz  $f_2$  höchstens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?

$f_{2,\ \text{max}}\ = \ $

 $\text{kHz}$


Musterlösung

(1)  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt  $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate  $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.


Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals (schematische Darstellung)

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

  • Das Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals erhält man aus  $X(f)$  durch periodische Fortsetzung im Abstand  $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.
  • Aus der Skizze erkennt man, dass  $X_{\rm A}(f)$  durchaus Anteile bei  $f = 2.5 \ \text{kHz}$  und  $f = 6.5 \ \text{kHz}$  besitzen kann.
  • Dagegen gibt es bei  $f = 5.5 \ \text{kHz}$  keine Anteile.
  • Auch bei  $f = 34.5 \ \text{kHz}$  wird auf jeden Fall  $X_{\rm A}(f) = 0$  gelten.


(3)  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit  $H(f) = 1$  bewertet werden.

  • Daraus folgt entsprechend der Skizze:
$$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$


(4)  Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von  $X_{\rm A}(f)$, die in  $X(f)$  nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden.

  • Entsprechend der Skizze muss also gelten:
$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$