Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation

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Einige Kanalkapazitätskurven

Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:

  • $C_\text{Gauß}$:   Shannonsche Grenzkurve,
  • $C_\text{BPSK}$:   gültig für Binary Phase Shift Keying.


Die beiden weiteren Kurvenverläufe  $C_\text{Rot}$  und  $C_\text{Braun}$  sollen in den Teilaufgaben (3) und (4) analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.


Hinweise:


Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen

Anmerkungen zur Nomenklatur:

  • In der Literatur wird manchmal die BPSK auch mit 2–ASK bezeichnet
$$x ∈ X = \{+1, -1\}.$$
  • Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ als ASK den unipolaren Fall
$$x ∈ X = \{0, 1 \}.$$
  • Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:
$$C_\text{AK} < C_\text{BPSK}$$

Dieser Sachverhalt hat aber keinen Einfluss auf die Lösung der vorliegenden Aufgabe.


Fragebogen

1

Welche Gleichung liegt der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$  zugrunde?

Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_1= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ ,
Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_2= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$ ,
Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_3= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ .

2

Welche Aussagen treffen für die grüne Kurve  $C_{\rm BPSK}$  zu?

$C_{\rm BPSK}$  kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.
$C_{\rm BPSK}$  ist größer als Null, wenn  $E_{\rm S}/{N_0} > 0$  vorausgesetzt wird.
Für  $E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$  ist  $C_{\rm BPSK} ≡ 0$.
Im gesamten Bereich gilt  $C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.

3

Welche Aussagen treffen für die rote Kurve  $C_{\rm Rot}$  zu?

Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = |X| = 2$.
Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = |X| = 4$.
$C_{\rm Rot}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–ASK.
$C_{\rm Rot}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–QAM.
Für alle  $E_{\rm S}/{N_0} > 0$  liegt  $C_{\rm Rot}$  zwischen „grün” und „braun”.

4

Welche Aussagen treffen für die braune Kurve  $C_{\rm Braun}$  zu?

Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = |X| = 8$.
$C_{\rm Braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK.
$C_{\rm Braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK.
$p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.
$p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Vorschlag 2, wie die Rechnung für 10 · lg (ES/N0) = 15 dB ⇒ ES/N0 = 31.62 zeigt:

$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$

Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:

$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$

Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall Zweier unabhängiger Gaußkanäle mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Würde man ES durch EB ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
  • Für EB/N0 < ln 2 gilt nämlich CGauß ≡ 0 und damit auch CBPSK ≡ 0.


(3)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 5:

  • Der rote Kurvenzug (Crot) liegt stets oberhalb von CBPSK, aber unterhalb von Cbraun und der Shannon–Grenzkurve CGauß.
  • Diese Aussagen gelten auch, wenn für gewisse ES/N0–Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
  • Aus dem Grenzwert Crot = 2 bit/Kanalzugriff für ES/N0 → ∞ kann auf den Symbolumfang MX = 4 geschlossen werden.
  • Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. MX = 2 würde für die BPSK gelten.
  • Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert „2 bit/Kanalzugriff”. Für kleine ES/N0–Werte liegt aber die Kanalkapazität C4–QAM oberhalb der roten Kurve, da Crot von der Gauß–Grenzkurve C2 begrenzt wird, C4–QAM aber von C3.


Die Bezeichnungen C2 und C3 beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe (1).


Kanalkapazitätsgrenzen für
BPSK, 4–ASK und 8–ASK

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5:

  • Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
  • Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit K = 2 Dimensionen – wird für kleine ES/N0–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve liegen   die Antwort 3 ist falsch.


In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.

  • Der violette Punkt liegt über der Kurve C8–ASK. Das heißt: 10 · lg (ES/N0) = 10 dB und R = 2.5 reichen nicht aus, um die 8–ASK fehlerfrei decodieren zu können   ⇒   R > C   ⇒   das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt   ⇒   die Antwort 4 ist falsch.
  • Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem 10 · lg (ES/N0) = 10 dB auf R = 2 < C8–ASK, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   ⇒   Antwort 5 ist richtig.