Aufgabe 4.8Z: Was sagt die AWGN-Kanalkapazitätskurve aus?

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AWGN–Kanalkapazität als Funktion von 10 · lg (EB/N0)

Wir betrachten wie in Aufgabe 4.8 die Kanalkapazität des AWGN–Kanals:

$$C_{\rm Gauß}( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) . $$
  • Die Kurve ist rechts bei logarithmischer Abszisse zwischen –2 dB und +6 dB dargestellt.
  • Der Zusatz „Gauß” weist darauf hin, dass für diese Kurve am AWGN–Eingang eine Gaußverteilung vorausgesetzt wurde.


Eingezeichnet sind in obiger Grafik durch Punkte drei Systemvarianten:

  • System $X$:    mit 10 · lg (EB/N0) = 4 dB und R = 1,
  • System $Y$:    mit 10 · lg (EB/N0) = 0 dB und R = 2,
  • System $Z$:    mit 10 · lg (EB/N0) = 6 dB und R = 1.5.


In den Fragen zu dieser Aufgabe verwenden wir noch folgende Begriffe:

  • Digitalsystem:   Symbolumfang MX = |X| beliebig,
  • Binärsystem:   Symbolumfang MX = 2,
  • Quaternärsystem:   Symbolumfang MX = 4.


Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Aussage liefert der Punkt X für die Digitalsignalübertragung?

Für 10 · lg (EB/N0) = 4 dB ist ein Digitalsystem mit der Rate <nobr>R = 1</nobr> und der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 vorstellbar.
Ein solches System kommt ohne Kanalcodierung aus.
Ein solches System verwendet einen unendlich langen Code.
Auch ein Binärsystem kann die Voraussetzungen erfüllen.

2

Welche Aussage liefert der Punkt Y für die Digitalsignalübertragung?

Für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB ist ein Digitalsystem mit der Rate <nobr>R = 2</nobr> und der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 vorstellbar.
Für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB wäre R = 0.5 ausreichend.
Für die Rate R = 2 würde 10 · lg (EB/N0) = 5 dB genügen.

3

Welche Aussage liefert der Punkt Z für die Binärübertragung?

Ein Binärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
Die Kurve CGauß(EB/N0) reicht für diese Bewertung nicht aus.

4

Welche Aussage liefert der Punkt Z für die Quaternärübertragung?

Ein Quaternärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
Die Kurve CGauß(EB/N0) reicht für diese Bewertung nicht aus.


Musterlösung

(1)  Da der Punkt X rechts von der Kanalkapazitätskurve CGauß(EB/N0) liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate R = 1, das mit 10 · lg (EB/N0) = 4 dB eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht. Trotz der Coderate R = 1 beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist. Ein Binärsystem der Rate R = 1 erlaubt allerdings keine Kanalcodierung. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.

(2)  Hier gelten folgende Aussagen:

  • Das erforderliche EB/N0 für die Rate R = 2 ergibt sich zu

$$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{2^4 - 1} { 4 } = 3.75 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = 15.74\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $$

  • Die maximale Coderate Rmax für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB  ⇒  EB/N0 = 1 berechnet sich wie folgt:

$$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$ Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt Y mit den Kenngrößen 10 · lg (EB/N0) = 0 dB und R = 1 das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt. Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2.

(3)  Mit einem Binärsystem ist die Rate R = 1.5 niemals realisierbar ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(4)  Der Punkt Z liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt R ≤ 2. Die Rate R = 1.5 wäre also mit MX = 4 durchaus zu realisieren. Das heißt: Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der zweite Lösungsvorschlag.

  • Die vorgegebene Kurve CGauß(EB/N0) geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus.
  • Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich CBPSK(EB/N0) mit der Eigenschaft CBPSK ≤ 1 bit/Kanalzugriff. CBPSK und CGauß unterscheiden sich signifikant.
  • Für das Quaternärsystem (M = 4) müsste man eine entsprechende Kurve CM=4 berechnen und analysieren. Auch hier gilt CM=4CGauß. Für kleines EB/N0 gilt CM=4CGauß, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei CM=4 = 2 bit/Kanalzugriff.

Der Punkt Z ⇒ 10 · lg EB/N0 = 6 dB, R = 1.5 liegt unterhalb von CM=4. Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in Aufgabe A4.10 noch gezeigt wird. Aber allein aus Kenntnis von CGauß kann die Frage nicht beantwortet werden.