Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: AWGN-Kanal: Unterschied zwischen den Versionen

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<br>Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?
 
<br>Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?
 
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$10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$: &nbsp; $\rho_\text{sr} \ = $ { 0.9995 0.1% }
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$10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$: &nbsp; $\rho_{sr} \ = $ { 0.9995 0.1% }
  
  
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Es gilt <i>r</i>(<i>t</i>) = <i>s</i>(<i>t</i>) + <i>n</i>(<i>t</i>). Somit kann <i>f<sub>r</sub></i>(<i>r</i>) aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen <i>f<sub>s</sub></i>(<i>s</i>) und <i>f<sub>n</sub></i>(<i>n</i>) berechnet werden. Da beide Signale gau&szlig;verteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gau&szlig;funktion:
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'''(1)'''&nbsp; Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden. Da beide Signale gau&szlig;verteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gau&szlig;funktion:
 
:$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
 
:$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
  
:Die Varianzen von <i>s</i>(<i>t</i>) und <i>n</i>(<i>t</i>) addieren sich. Deshalb erh&auml;lt man mit <i>&sigma;<sub>s</sub></i> = 1 V und <i>&sigma;<sub>n</sub></i> = 0.75 V:
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Die Varianzen von $s(t)$ und $n(t)$ addieren sich. Deshalb erh&auml;lt man mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
 
:$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
 
:$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment <i>m<sub>sr</sub></i>:
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'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$:
 
:$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$
 
:$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$
  
:Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass <i>s</i>(<i>t</i>) und auch <i>r</i>(<i>t</i>) mittelwertfrei sind, so dass <i>&mu;<sub>sr</sub></i> = <i>m<sub>sr</sub></i> gilt. Da <i>s</i>(<i>t</i>) und <i>n</i>(<i>t</i>) als statistisch unabhängig voneinander &ndash; und damit unkorreliert &ndash; vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
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Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt. Da $s(t)$ und $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
 
:$$m_{sr} = {\rm E}[s(t) \cdot r(t)] = {\rm E}[s^2(t)] +  {\rm E}[s(t) \cdot n(t)] ={\rm E}[s^2(t)] = \sigma_s^2.$$
 
:$$m_{sr} = {\rm E}[s(t) \cdot r(t)] = {\rm E}[s^2(t)] +  {\rm E}[s(t) \cdot n(t)] ={\rm E}[s^2(t)] = \sigma_s^2.$$
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:$$\rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{  \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ \frac{\sigma_n^2}{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$
  
:Daraus folgt:
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Mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$, $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ erhält man $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}.$.
:$$\rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{  \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ \frac{\sigma_n^2}{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$
 
  
:Mit <i>&sigma;<sub>s</sub></i> = 1 V, <i>&sigma;<sub>n</sub></i> = 0.75 V und <i>&sigma;<sub>r</sub></i> = 1.25 V erhält man <u><i>&rho;<sub>sr</sub></i> = 0.8</u>.
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'''(3)'''&nbsp; Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR}</i> =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden:
 
 
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Der in b) berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung <i>SNR</i> = <i>&sigma;<sub>s</sub></i><sup>2</sup>/<i>&sigma;<sub>n</sub></i><sup>2</sup> wie folgt dargestellt werden:
 
 
:$$\rho_{sr } = \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
 
:$$\rho_{sr } = \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
  
:Der Signal-zu-Stör-Abstand 10 &middot; lg(<i>SNR</i>) = 30&nbsp;dB führt zum absoluten Wert <i>SNR</i> = 1000. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies n&auml;herungsweise einen Korrelationskoeffizienten von <u>0.9995</u>.
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Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies n&auml;herungsweise einen Korrelationskoeffizienten von <u>0.9995</u>.
 
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Version vom 22. März 2017, 17:34 Uhr

Modell für den AWGN-Kanal

Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind. Der Effektivwert $\sigma_s$ dieses mittelwertfreien Signals beträgt $1 \hspace{0.05cm} \rm V$. Diese Größe bezeichnet man auch als die Streuung.

Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann. Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein $\sigma_n$. Es kann angenommen werden, dass zwischen Nutzsignal $s(t)$ und Störsignal $n(t)$ keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.

Man bezeichnet eine solche Konstellation als Additive White Gaussian Noise (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal $r(t)$ das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis (Signal-to-Noise-Ratio):

$${\rm SNR} = {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$

Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie die WDF $f_r(r)$ des Empfangssignals $r(t)$ allgemein an. Wie groß ist der Effektivwert $\sigma_r$, wenn $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ beträgt?

$\sigma_r \ = $

$ \ \rm V$

2

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$, der zwischen den beiden Signalen $s(t)$) und $r(t)$ besteht. Welcher Wert ergibt sich für $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?

$\rho_{sr} \ = $

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$ abhängig vom SNR des AWGN-Kanals. Leiten Sie eine Näherung für großes SNR ab.
Welcher Koeffizient ergibt sich für $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?

$10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$:   $\rho_{sr} \ = $


Musterlösung

(1)  Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden. Da beide Signale gaußverteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gaußfunktion:

$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$

Die Varianzen von $s(t)$ und $n(t)$ addieren sich. Deshalb erhält man mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:

$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$

(2)  Für den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$:

$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt. Da $s(t)$ und $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert vorausgesetzt wurden, gilt weiter:

$$m_{sr} = {\rm E}[s(t) \cdot r(t)] = {\rm E}[s^2(t)] + {\rm E}[s(t) \cdot n(t)] ={\rm E}[s^2(t)] = \sigma_s^2.$$
$$\rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{ \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ \frac{\sigma_n^2}{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$

Mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$, $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ erhält man $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}.$.

(3)  Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR}</i> =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden:

$$\rho_{sr } = \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$

Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies näherungsweise einen Korrelationskoeffizienten von 0.9995.