Aufgabe 4.8: Numerische Auswertung der AWGN-Kanalkapazität

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$C$  als Funktion von  $E_{\rm S}/{N_0}$

Für die Kanalkapazität  $C$  des AWGN–Kanals als obere Schranke für die Coderate  $R$  bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen:


$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Symbol}$:

$$C( E_{\rm S}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$

Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

  • $E_{\rm S}$  bezeichnet die (mittlere) Energie pro Symbol des Digitalsignals,
  • $N_0$  gibt die AWGN–Rauschleistungsdichte an.


$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Bit}$:

$$C( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
  • Zu berücksichtigen ist der Zusammenhang  $E_{\rm S} = R \cdot E_{\rm B}$, wobei  $R$  die Coderate der bestmöglichen Kanalcodierung angibt.
  • Eine fehlerfreie Übertragung (bei optimalem Code) ist für das gegebene  $E_{\rm B}/N_0$  möglich, so lange  $R \le C$  gilt   ⇒   Kanalcodierungstheorem von Shannon.


Durch die Tabelle vorgegeben ist der Kurvenverlauf der Kanalkapazität in Abhängigkeit von  $E_{\rm S}/N_0$.  Im Mittelpunkt dieser Aufgabe steht die numerische Auswertung der zweiten Gleichung.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen  $E_{\rm B}/{N_0}$  und der Rate  $R$  beim AWGN–Kanal exakt?

Es gilt:   $R = 1/2 \cdot \log_2 (1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0})$.
Es gilt:   $2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}$.
Es gilt:   $E_{\rm B}/{N_0} = (2^{2R} -1)/(2R) $.

2

Geben Sie den kleinstmöglichen Wert für  $E_{\rm B}/{N_0}$  an, mit dem man über den AWGN–Kanal noch fehlerfrei übertragen kann.

$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $

3

Welche Ergebnis erhält man in  $\rm dB$?

$\text{Min} \ \big[10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})\big] \ = \ $

$ \ \rm dB$

4

Geben Sie die AWGN–Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0$  dB an.

$C \ = \ $

$ \ \rm bit/Kanalzugriff$

5

Geben Sie das erforderliche  $E_{\rm B}/{N_0}$  für fehlerfreie Übertragung mit  $R = 1$  an.   Hinweis:  Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.

$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $

6

Wie kann ein Punkt der  $C(E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve einfacher ermittelt werden?

Berechnung der Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $E_{\rm B}/{N_0}$.
Berechnung des erforderlichen  $E_{\rm B}/{N_0}$  für das vorgegebene  $C$.


Musterlösung

(1)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

  • Ausgehend von der Gleichung
$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$
erhält man mit  $C = R$  und  $E_{\rm S} = R · E_{\rm B}$  die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:
$$R = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$
  • Bringt man den Faktor  $1/2$  auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis  $2$, so erhält man den Vorschlag 2:
$$2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$
  • Löst man diese Gleichung nach  $E_{\rm B}/{N_0}$  auf, so ergibt sich
$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$


(2)  Über einen Kanal mit der Kanalkapazität  $C$  ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate  $R ≤ C$  ist.

  • Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall  $C=R = 0$.
  • Oder präziser ausgedrückt:  Für ein beliebig kleines positives  $ε$  muss gelten:   $C=R =ε$  mit  $ε → 0$.
  • Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  lautet die Bestimmungsgleichung:
$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$
  • Da hier der Quotient im Grenzübergang  $ R → 0$  das Ergebnis „0 geteilt durch 0” liefert, ist hier die  l'Hospitalsche Regel  anzuwenden: 
    Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich  $R = 0$  ein. 
  • Mit  $x = 2R$  lautet das Ergebnis:
$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg |_{x=0} = {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  In logarithmierter Form erhält man:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})\big] = 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$


(4)  Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form:   $E_{\rm B}/{N_0} = 1$.  Daraus folgt mit  $C=R$:

$$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5} \hspace{0.05cm}. $$


(5)  Für  $R = 1$  ist  $E_{\rm B} = E_{\rm S}$. Deshalb gilt:

$$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm} C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:
$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der dazugehörige dB–Wert ist  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.
  • Zum gleichen Ergebnis kommt man mit  $R = 1$  über die Gleichung
$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$


(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:

(a)  Gesucht ist die Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒    $\E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.

  • Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:
$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 31.62 \cdot x = 2^{x} - 1 \hspace{0.05cm}. $$
  • Die Lösung $x = 7.986$   ⇒   $C = 3.993 \ \rm (bit/use)$ kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.


(b)  Gesucht ist der notwendige Abszissenwert  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  für die Kapazität  $C = 4 \ \rm bit/Symbol$:

$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C} = \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
Kanalkapazitätskurven als Funktion von  
$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ 

Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität abhängig von 

  • $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  ⇒  rote Kurve und Zahlen;
    diese geben die Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  an;
  • $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ⇒  grüne Kurve und Zahlen;
    diese geben das erforderliche  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  für die vorgegebene Kanalkapazität  $C$  an.


Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei  $1.76\ \rm dB$.