Aufgabe 4.8: Numerische Auswertung der AWGN-Kanalkapazität

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Für die Kanalkapazität C des AWGN–Kanals als obere Schranke für die Coderate R bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen :

Kanalkapazität C in Abhängigkeit von ES/N0: $$C( E_{\rm S}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$ Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

  • ES: die Energie pro Symbol des Digitalsignals,
  • N0: die AWGN–Rauschleistungsdichte.

Kanalkapazität C in Abhängigkeit von EB/N0: $$C( E_{\rm B}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Berücksichtigt ist der Zusammenhang ES = R · EB, wobei R die Coderate der bestmöglichen Kanalcodierung angibt. Eine fehlerfreie Übertragung (unter Berücksichtigung dieses optimalen Codes) ist für das gegebene EB/N0 möglich, so lange RC gilt  ⇒  Kanalcodierungstheorem von Shannon.'

Durch die Tabelle vorgegeben ist der Kurvenverlauf C(ES/N0). Im Mittelpunkt dieser Aufgabe steht die numerische Auswertung der zweiten Gleichung. Hinweis


Fragebogen

1

Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen EB/N0 und der Rate R beim AWGN–Kanal exakt?

R = 1/2 · log2 (1 + 2 · R · EB/N0),
22R = 1 + 2 · R · EB/N0,
EB/N0 = (22R –1)/(2R).

2

Geben Sie den kleinstmöglichen Wert für EB/N0 an, mit dem man über den AWGN–Kanal noch fehlerfrei übertragen kann.

$Min [EB/N0]$ =

3

Welche Ergebnis erhält man in dB?

$Min[10 · lg (EB/N0)]$ =

4

Geben Sie die AWGN–Kanalkapazität für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB an.

$10 · lg (EB/N0) = 0 dB: C$ =

5

Geben Sie das erforderliche EB/N0 für fehlerfreie Übertragung mit R = 1 an. Hinweis: Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.

$R = 1: Min [EB/N0]$ =

6

Wie kann ein Punkt der C(EB/N0)–Kurve einfacher ermittelt werden?

Berechnung der Kanalkapazität C für das vorgegebene EB/N0.
Berechnung des erforderlichen EB/N0 für das vorgegebene C.


Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.