Aufgaben:Aufgabe 4.7Z: Erzeugung einer 2D–WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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:Ausgehend von statistisch unabh&auml;ngigen Gr&ouml;&szlig;en <i>u</i> und <i>&upsilon;</i>, die beide zwischen &ndash;1 und +1 gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz <i>&sigma;</i><sup>2</sup> = 2/3 besitzen, soll eine 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e (<i>x</i>, <i>y</i>) generiert werden, wobei f&uuml;r die Komponenten gilt:
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Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$,  
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*die beide zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; gleichverteilt sind und  
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*somit jeweils die Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 2/3$&nbsp; besitzen,  
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soll eine 2D-Zufallsgröße&nbsp; $(x,\hspace{0.08cm} y)$&nbsp; generiert werden,&nbsp; wobei für die Komponenten gilt:
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot  v + C,$$
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot  v + C,$$
 
:$$y= D \cdot u + E \cdot  v + F.$$
 
:$$y= D \cdot u + E \cdot  v + F.$$
  
:Die zu erzeugende 2D&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;e (<i>x</i>, <i>y</i>) soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
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Die zu erzeugende 2D&ndash;Zufallsgröße&nbsp; $(x,\hspace{0.08cm} y)$&nbsp; soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
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* Die Varianzen seien&nbsp; $\sigma_x^2 = 4$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y^2 = 10$.
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* Die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; sei mittelwertfrei&nbsp; $(m_x =0)$.
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* Für den Mittelwert von&nbsp; $y$&nbsp; gelte&nbsp; $m_y = 1$.
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* Der Korrelationskoeffizient zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; betrage&nbsp; $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
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* Die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; besitze eine dreieckförmige WDF  $f_x(x)$&nbsp; entsprechend der oberen Skizze.
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* Die Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp; besitze eine trapezförmige WDF  $f_y(y)$&nbsp; entsprechend der unteren Skizze.
  
:* Die Varianzen seien <i>&sigma;<sub>x</sub></i><sup>2</sup> = 4 und <i>&sigma;<sub>y</sub></i><sup>2</sup> = 10.
 
  
:* Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> sei mittelwertfrei.
 
  
:* F&uuml;r den Mittelwert von <i>y</i> gelte <i>m<sub>y</sub></i> = 1.
 
  
:* Der Korrelationskoeffizient zwischen <i>x</i> und <i>y</i> betrage
 
:$$\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$$
 
  
:* Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> besitze eine dreieckf&ouml;rmige WDF  <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) entsprechend der oberen Grafik.
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Hinweise:  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
:* Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i> besitze eine trapezf&ouml;rmige WDF  <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) entsprechend der unteren Grafik.
+
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
 
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*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt,&nbsp; dass alle Koeffizienten&nbsp; $A$, ... , $F$&nbsp; nicht negativ sein sollen.
:<b>Hinweis:</b>&nbsp;Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 4.3. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten <i>A</i> ... <i>F</i> nicht negativ sein sollen.
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{Bestimmen Sie die Koeffizienten <i>C</i> und <i>F</i>.
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{Bestimmen Sie die Koeffizienten&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $F$.
 
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$C \ = \ $ { 0. }
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{Bestimmen Sie die Koeffizienten <i>A</i> und <i>B</i>.
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{Bestimmen Sie die Koeffizienten&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$.
 
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$B \ = \ $ { 1.732 3% }
  
  
{Bestimmen Sie die Koeffizienten <i>D</i> und <i>E</i>, wobei <i>D</i> > <i>E</i> gelten soll.
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{Bestimmen Sie die Koeffizienten&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$,&nbsp; wobei&nbsp; $D > E$&nbsp; gelten soll.
 
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$D$ = { 3.464 3% }
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$E \ = \ $ { 1.732 3% }
  
  
{Geben Sie die Maximalwerte f&uuml;r <i>x</i> und <i>y</i> an.
+
{Geben Sie die Maximalwerte f&uuml;r&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; an.
 
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$x_\text{max}\ = \ $ { 3.464 3% }
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten: <u><i>C</i> = <i>m<sub>x</sub></i> = 0</u> und <u><i>F</i> = <i>m<sub>y</sub></i> = 1</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten:  
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:$$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
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:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
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:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Unter Ber&uuml;cksichtigung von <i>&sigma;</i><sup>2</sup> = 2/3 gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Unter Ber&uuml;cksichtigung von&nbsp; $\sigma^2 = 2/3$&nbsp; gilt:
:$$\sigma_x^2 =  \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= \frac {2}{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
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:$$\sigma_x^2 =  \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
  
:Wegen <i>&sigma;<sub>x</sub></i><sup>2</sup> = 4 folgt daraus <i>A</i><sup>2</sup> + <i>B</i><sup>2</sup> = 6. Eine dreieckf&ouml;rmige WDF bedeutet, dass <i>A</i> = &plusmn;<i>B</i> gelten muss. Somit erh&auml;lt man <u><i>A</i> = <i>B</i> =</u> 3<sup>1/2</sup> <u>= 1.732</u> (negative Koeffizienten wurden ausgeschlossen).
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*Wegen&nbsp; $\sigma_x^2 = 4$&nbsp; folgt&nbsp; $A^2 + B^2= 6$.  
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*Eine dreieckf&ouml;rmige WDF bedeutet,&nbsp; dass&nbsp; $A = \pm B$&nbsp; gelten muss.  
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*Somit erh&auml;lt man,&nbsp; da  negative Koeffizienten  ausgeschlossen wurden:
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:$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Mit <i>A</i> und <i>B</i> entsprechend Punkt b) verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen f&uuml;r <i>D</i> und <i>E</i>:
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[[Datei:P_ID424__Sto_Z_4_7_d.png|right|frame|Rautenförmige 2D-WDF]]
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'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $ A = B = \sqrt{3}$&nbsp; entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen f&uuml;r&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$:
 
:$$\sigma_y^2 =  \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2}  = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
 
:$$\sigma_y^2 =  \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2}  = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
 
:$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D +  E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}}  \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
 
:$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D +  E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}}  \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
[[Datei:P_ID424__Sto_Z_4_7_d.png|right|]]
 
  
:Daraus folgt weiter:
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*Daraus folgt weiter:&nbsp; $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$
:$$D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}.$$
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*Die Gleichung führt in Verbindung mit&nbsp; $D^2 + E^2 = 15$&nbsp; und der Nebenbedingung&nbsp; $(D>E)$&nbsp;  zum Ergebnis:
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:$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$
  
:Die Gleichung führt in Verbindung mit <i>D</i><sup>2</sup> + <i>E</i><sup>2</sup> = 15 und der oben angegebenen Nebenbedingung (<i>D</i> > <i>E</i>) zum Ergebnis:
 
:$$ D= 2 \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Mit <i>A</i> = <i>B</i> = 1.732 kann die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <u><i>x</i> maximal den Wert 3.464</u> annehmen (wenn jeweils <i>u</i> = 1 und <i>&upsilon;</i> = 1 gilt).
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'''(4)'''&nbsp; Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; bzw.&nbsp; $y$&nbsp; nehmen ihre maximalen Werte  an,&nbsp; wenn jeweils&nbsp; $u= +1$ und&nbsp; $v= +1$&nbsp; gilt:
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:$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = -  A - B= -3.464.$$
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:$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$
  
:Das Maximum von <i>y</i> ergibt sich mit diesen Parameterwerten zu <u><i>y</i><sub>max</sub> =</u> <i>D</i> + <i>E</i> + <i>F</i> <u>= 6.196</u>, der Minimalwert zu <i>y</i><sub>min</sub> = &ndash;<i>D</i> &ndash;<i>E</i> +<i>F</i> = &ndash;4.196 (siehe Skizze der 2D-WDF).
 
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.3 Linearkombinationen von Zufallsgrößen^]]
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.3 Linearkombinationen^]]

Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 18:01 Uhr

Vorgaben zur Erzeugung einer
2D-Zufallsgröße

Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen  $u$  und  $v$,

  • die beide zwischen  $-1$  und  $+1$  gleichverteilt sind und
  • somit jeweils die Varianz  $\sigma^2 = 2/3$  besitzen,


soll eine 2D-Zufallsgröße  $(x,\hspace{0.08cm} y)$  generiert werden,  wobei für die Komponenten gilt:

$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$

Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße  $(x,\hspace{0.08cm} y)$  soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:

  • Die Varianzen seien  $\sigma_x^2 = 4$  und  $\sigma_y^2 = 10$.
  • Die Zufallsgröße  $x$  sei mittelwertfrei  $(m_x =0)$.
  • Für den Mittelwert von  $y$  gelte  $m_y = 1$.
  • Der Korrelationskoeffizient zwischen  $x$  und  $y$  betrage  $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
  • Die Zufallsgröße  $x$  besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$  entsprechend der oberen Skizze.
  • Die Zufallsgröße  $y$  besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$  entsprechend der unteren Skizze.



Hinweise:


Fragebogen

1

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $C$  und  $F$.

$C \ = \ $

$F\ = \ $

2

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $A$  und  $B$.

$A \ = \ $

$B \ = \ $

3

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $D$  und  $E$,  wobei  $D > E$  gelten soll.

$D \ = \ $

$E \ = \ $

4

Geben Sie die Maximalwerte für  $x$  und  $y$  an.

$x_\text{max}\ = \ $

$y_\text{max}\ = \ $


Musterlösung

(1)  Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten:

$$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$


(2)  Unter Berücksichtigung von  $\sigma^2 = 2/3$  gilt:

$$\sigma_x^2 = \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
  • Wegen  $\sigma_x^2 = 4$  folgt  $A^2 + B^2= 6$.
  • Eine dreieckförmige WDF bedeutet,  dass  $A = \pm B$  gelten muss.
  • Somit erhält man,  da negative Koeffizienten ausgeschlossen wurden:
$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$


Rautenförmige 2D-WDF

(3)  Mit  $ A = B = \sqrt{3}$  entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen für  $D$  und  $E$:

$$\sigma_y^2 = \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2} = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D + E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}} \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
  • Daraus folgt weiter:  $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$
  • Die Gleichung führt in Verbindung mit  $D^2 + E^2 = 15$  und der Nebenbedingung  $(D>E)$  zum Ergebnis:
$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$


(4)  Die Zufallsgröße  $x$  bzw.  $y$  nehmen ihre maximalen Werte an,  wenn jeweils  $u= +1$ und  $v= +1$  gilt:

$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = - A - B= -3.464.$$
$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$