Aufgaben:Aufgabe 4.7: Zum RAKE-Empfänger: Unterschied zwischen den Versionen
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K (Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “) |
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:$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $\tau = 1 \ \rm µ s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K, h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$ und $\tau_{1}$. | + | Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $\tau = 1 \ \rm µ s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$ und $\tau_{1}$. |
Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form | Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form | ||
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:$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$ | :$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$ | ||
| − | angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$ und $\tau_{1}$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = \tau$ liegen. | + | angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$ und $\tau_{1}$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = \tau$ liegen. |
| − | Die Konstante $K$ ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein: | + | Die Konstante $K$ ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein: |
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$ | :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$ | ||
| − | Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $1$ und der Breite $T = 5 \ \rm µ s$ | + | Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $1$ und der Breite $T = 5 \ \rm µ s$ beschreibt. |
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| − | *Die Aufgabegehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]]. | + | *Die Aufgabegehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]]. |
| − | *Bezug genommen wird auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE–Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”. | + | *Bezug genommen wird auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE–Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”. |
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$? | + | {Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ? |
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| − | + $h_{\rm K}(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen. | + | + $h_{\rm K}(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen. |
| − | - $h_{\rm K}(t)$ ist komplexwertig. | + | - $h_{\rm K}(t)$ ist komplexwertig. |
| − | - $h_{\rm K}(t)$ ist eine mit der Verzögerungszeit $\tau$ periodische Funktion. | + | - $h_{\rm K}(t)$ ist eine mit der Verzögerungszeit $\tau$ periodische Funktion. |
| − | {Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$? | + | {Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ? |
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| − | - Es gilt $H_{\rm K}(f = 0) = 2$. | + | - Es gilt $H_{\rm K}(f = 0) = 2$. |
| − | + $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig. | + | + $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig. |
| − | + $|H_{\rm K}(f)$ | + | + $|H_{\rm K}(f)|$ ist eine mit der Frequenz $1/ \tau$ periodische Funktion. |
| − | {Setzen Sie $K = 1, h_{0} = 0.6$ | + | {Setzen Sie $K = 1, \ h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen $\tau_{0}$ und $\tau_{1}$, damit die $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit $A_{0} = A_{2}$ erfüllt wird. |
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$\tau_{0} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm µ s$ | $\tau_{0} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm µ s$ | ||
$\tau_{1} \ = \ $ { 0 3% } $\ \rmµ s$ | $\tau_{1} \ = \ $ { 0 3% } $\ \rmµ s$ | ||
| − | {Welcher Wert ist für die Konstante $K$ zu wählen? | + | {Welcher Wert ist für die Konstante $K$ zu wählen? |
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$K \ = \ $ { 1.923 3% } | $K \ = \ $ { 1.923 3% } | ||
| − | {Welche Aussagen gelten für die Signale $r(t)$ und $b(t)$? | + | {Welche Aussagen gelten für die Signale $r(t)$ und $b(t)$ ? |
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| − | + Der Maximalwert von $r(t)$ ist $1$. | + | + Der Maximalwert von $r(t)$ ist $1$. |
| − | - Die Breite von $r(t)$ ist $7 \ \rm µ s$. | + | - Die Breite von $r(t)$ ist $7 \ \rm µ s$. |
| − | - Der Maximalwert von $b(t)$ ist $1 \ \rm µ s$. | + | - Der Maximalwert von $b(t)$ ist $1 \ \rm µ s$. |
| − | + Die Breite von $b(t)$ ist $7 \ \rm µ s$. | + | + Die Breite von $b(t)$ ist $7 \ \rm µ s$. |
</quiz> | </quiz> | ||
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'''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | ||
| − | *Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$. | + | *Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$. |
| − | * Daraus folgt | + | * Daraus folgt: |
:$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | ||
| − | *Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür: | + | *Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür: |
:$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: | *Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: | ||
| − | *$H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt: | + | *$H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt: |
:$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$ | :$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert. | + | *Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert. |
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| − | '''(3)''' Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort: | + | '''(3)''' Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. |
| + | *Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort: | ||
:$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$: | + | *Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$: |
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$: | + | *Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$: |
| − | :$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)] \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis: | + | *Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis: |
| − | :$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm | + | :$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$ |
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'''(4)''' Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung | '''(4)''' Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung | ||
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$ | :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$): | + | *Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$): |
:$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(5)''' Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ | + | |
| − | + | '''(5)''' Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gelten: | |
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[[Datei:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]] | [[Datei:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]] | ||
| + | :$$ r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$ b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) \hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} 1.00 \cdot s (t \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}\frac{6}{13} \cdot s (t \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt. | Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt. | ||
| − | Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar. | + | Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar. |
Aktuelle Version vom 20. August 2019, 15:51 Uhr
Zweiwegekanal & RAKE
Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:
- $$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $\tau = 1 \ \rm µ s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$ und $\tau_{1}$.
Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form
- $$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$
angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$ und $\tau_{1}$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = \tau$ liegen.
Die Konstante $K$ ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
- $$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$
Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $1$ und der Breite $T = 5 \ \rm µ s$ beschreibt.
Hinweise:
- Die Aufgabegehört zum Kapitel Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS.
- Bezug genommen wird auch auf die Seite Untersuchungen zum RAKE–Empfänger im Buch „Modulationsverfahren”.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
- Daraus folgt:
- $$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
- $$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
- Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
- $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
- $$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
- Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert.
(3) Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$.
- Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort:
- $$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
- Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$:
- $$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$:
- $$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.$$
- Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
- $$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung
- $$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$
- Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$):
- $$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
(5) Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gelten:
Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers
- $$ r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
- $$ b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) \hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} 1.00 \cdot s (t \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}\frac{6}{13} \cdot s (t \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die Grafik zeigt.
Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar.
