Aufgabe 4.7: Mehrere parallele Gaußkanäle

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Einige häufig verwendete Signalraumkonstellationen

Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals   ⇒   $Y = X + N$  wurde im Theorieteil wie folgt angegeben
(mit der Zusatz–Einheit „bit”):

$$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:

  • $P_X$ ist die Sendeleistung   ⇒   Varianz der Zufallsgröße $X$,
  • $P_N$ ist die Störleistung   ⇒   Varianz der Zufallsgröße $N$.


Werden $K$ identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:

$$C_K(P_X) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

  • in jedem Kanal die gleiche Störleistung $P_N$ vorliegt,
  • somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
  • die Gesamtleistung genau wie im Fall $K = 1$ gleich $P_X$ ist.


In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:


Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher $K$–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.



Hinweise:



Fragebogen

1

{Welche Parameter K gelten für die folgenden Modulationsverfahren?

$K \ = \ $

$\text{(bei ASK)}$
$K \ = \ $

$\text{(bei BPSK)}$
$K \ = \ $

$\text{(bei 4-QAM)}$
$K \ = \ $

$\text{(bei 8-PSK)}$
$K \ = \ $

$\text{(16-ASK/PSK)}$

2

Welche Kanalkapazität $C_K$ ergibt sich für $K$ gleich gute Kanäle (jeweils mit der Störleistung $P_N$ und der Sendeleistung $P_X(K)$?

Es gilt   $C_K = K/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/P_N]$.
Es gilt   $C_K = K/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/(K \cdot P_N)]$.
Es gilt   $C_K = 1/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/P_N]$.

3

Welche Kapazitäten ergeben sich für $P_X/P_N = 15$?

$K = 1\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$
$K = 2\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$
$K = 4\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$

4

Gibt es bezüglich der Kanalzahl $K$ ein (theoretisches) Optimum?

Ja:   Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 2$.
Ja:   Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 4$.
Nein:   Je größer $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
Der Grenzwert für $K \to \infty$ (in bit) ist $C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$ in „bit”.


Musterlösung

(1)  Der Parameter K ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:

  • Für ASK und BPSK ist K = 1.
  • Für die Konstellationen 3 bis 5 gilt dagegenK = 2 (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Für jeden der Kanäle (1 ≤ kK) beträgt die Kanalkapazität Ck = 1/2 · log2 (1 + (PX/k)/PN). Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor K größer:
$$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf K · PX gelten.
  • Der Vorschlag 3 würde dagegen bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.


Kanalkapazität CK von K parallelen Gaußkanälen für verschiedene PX/PN

(3)  Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für K = 1, K = 2 und K = 4 und verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse   ⇒   ξ = PX/PN.


Für PX/PN = 15 (markierte Spalte) ergibt sich:

  • K = 1:   CK = 1/2 · log2 (16) = 2.000 bit,
  • K = 2:   CK = 1 · log2 (8.5) = 3.087 bit,
  • K = 4:   CK = 2 · log2 (4.75) = 4.496 bit.


(4)  Richtig sind die Vorschläge 3 und 4, wie die folgenden Rechnungen zeigen:

  • Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.
  • Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit „ln” und der Abkürzung ξ = PX/PN:
$$C_{\rm nat}(\xi, K) ={K}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$
  • Für große K–Werte, also für kleine Werte des Quotienten ε = ξ/K gilt dann:
$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )= \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ... \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} + \frac{\xi^3}{3K^3} - \text{...} \right ]$$
$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm bit}(\xi, K) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} + \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} + \frac{\xi^4}{5K^4} - \text{...} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Für K → ∞ ergibt sich der vorgeschlagene Wert:
$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Für kleinere Werte von K ergibt sich stets ein kleinerer C–Wert, da
$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$

Die letzte Zeile obiger Tabelle zeigt, dass man für große ξ–Werte mit K = 4 noch weit vom theoretischen Maximum (für K → ∞) entfernt ist.