Aufgabe 4.7: Mehrere parallele Gaußkanäle

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Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals  ⇒  Y = X + N wurde im Theorieteil wie folgt angegeben (mit Zusatz–Einheit „bit”)

$$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$ Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:

  • PX</sb> ist die Sendeleistung  ⇒  Varianz der Zufallsgröße X,
  • PN</sb> ist die Störleistung  ⇒  Varianz der Zufallsgröße N.

Werden K identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität: $$C_K(P_X) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$ Hierbei ist berücksichtigt, dass

  • in jedem Kanal die gleiche Störleistung PN vorliegt,
  • somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
  • die Gesamtleistung genau wie im Fall K = 1 gleich PX ist.

In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:

Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher K–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zu Kapitel 4.2.

Fragebogen

1

{Welche Parameter K gelten für die folgenden Modulationsverfahren?

$ASK: K$ =

$BPSK: K$ =

$4-QAM: K$ =

$8-PSK: K $ =

$16-ASK/PSK: K $ =

2

Welche Kanalkapazität CK ergibt sich für K gleich gute Kanäle (jeweils mit der Störleistung PN und der Sendeleistung PX/K)?

CK = K/2 · log2 [1 + PX/PN].
CK = K/2 · log2 [1 + PX/(K · PN)].
CK = 1/2 · log2 [1 + PX/PN)].

3

Welche Kapazitäten ergeben sich für PX/PN = 15?

$PX/PN = 15, K = 1: CK$ =

$K = 2: CK$ =

$K = 4: CK$ =

4

Gibt es bezüglich der Kanalzahl K ein (theoretisches) Optimum?

Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für K = 2.
Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für K = 4.
Nein: Je größer K, desto größer ist die Kanalkapazität.
Der Grenzwert für K → ∞ (in bit) ist CK = PX/PN/2/ln(2).


Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.