Aufgaben:Aufgabe 4.7: Gewichtete Summe und Differenz: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID400__Sto_A_4_7.png|right|]]
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:Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> seien statistisch voneinander unabh&auml;ngig, jeweils mit Mittelwert <i>m</i> und Varianz <i>&sigma;</i><sup>2</sup>. Beide Größen besitzen gleiche WDF und VTF; über den Verlauf dieser Funktionen sei zun&auml;chst nichts bekannt.
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Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; seien statistisch voneinander unabh&auml;ngig,&nbsp; jeweils mit Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma^2$.  
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*Beide Größen besitzen eine gleiche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm  (WDF)$&nbsp; und Verteilungsfunktion&nbsp; $\rm  (VTF)$.
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*Über den Verlauf dieser Funktionen sei zun&auml;chst nichts bekannt.
  
:Es werden nun zwei neue Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:
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Es werden nun zwei neue Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot v,$$
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot v,$$
 
:$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$
 
:$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$
  
:Hierbei bezeichnen <i>A</i> und <i>B</i> (beliebige) konstante Werte. F&uuml;r die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte <i>m</i> = 0, <i>&sigma;</i> = 1, <i>A</i> = 1 und <i>B</i> = 2.
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Hierbei bezeichnen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; (beliebige)&nbsp; konstante Werte.  
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*F&uuml;r die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gelte &nbsp; $m= 0$, &nbsp; $\sigma = 1$, &nbsp;  $A = 1$&nbsp;  und&nbsp;  $B = 2$.
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*Bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; wird vorausgesetzt,&nbsp; dass&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt mit Mittelwert&nbsp; $m= 1$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma = 0.5$&nbsp; seien.&nbsp; F&uuml;r die Konstanten gelte hier &nbsp; $A = B = 1$.
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*F&uuml;r die Aufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; gelte weiterhin&nbsp; $A = B = 1$.&nbsp; Hier seien die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt auf&nbsp; $\pm$1:
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:$${\rm Pr}(u=+1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=+1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$
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:Bei der Teilaufgabe (5) wird vorausgesetzt, dass  <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> jeweils gau&szlig;verteilt mit Mittelwert <i>m</i> = 1 und Streuung <i>&sigma;</i> = 0.5 seien. F&uuml;r die Konstanten gelte <i>A</i> = <i>B</i> = 1.
 
  
:F&uuml;r die Aufgabe (6) seien die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> symmetrisch zweipunktverteilt auf &plusmn;1:
 
:$${\rm Pr}(u=1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$
 
  
:Außerdem gelte weiterhin <i>A</i> = <i>B</i> = 1.
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Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
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:<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3.
 
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß sind Mittelwert und Streuung von <i>x</i> f&uuml;r <i>A</i> = 1 und <i>B</i> = 2?
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{Wie groß sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$x$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$m_x$ = { 0 3% }
+
$m_x \ = \ $ { 0. }
$\sigma_x$ = { 2.236 3% }
+
$\sigma_x \ = \ $ { 2.236 3% }
  
  
{Wie gro&szlig; sind Mittelwert und Streuung von <i>y</i> f&uuml;r <i>A</i> = 1 und <i>B</i> = 2?
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{Wie gro&szlig; sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$y$ &nbsp; f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$m_y$ = { 0 3% }
+
$m_y \ =  \ $ { 0. }
$\sigma_y$ = { 2.236 3% }
+
$\sigma_y \ =  \ $ { 2.236 3% }
  
  
{Berechnen Sie die Kovarianz. Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r <i>A</i> = 1, <i>B</i> = 2?
+
{Berechnen Sie die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\mu_\text{xy}$ = - { 3 3% }
+
$\mu_{xy} \ =  \ $ { -3.09--2.91 }
  
  
{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>xy</sub></i> in Abh&auml;ngigkeit des Quotienten <i>B</i>/<i>A</i>. Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r <i>A</i> = 1 und <i>B</i> = 2?
+
{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; in Abh&auml;ngigkeit des Quotienten&nbsp; $B/A$.&nbsp; Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rho_\text{xy}$ = - { 0.6 3% }
+
$\rho_{xy}\ =  \ $ { -0.618--0.582 }
  
  
 
{Welche der folgenden Aussagen gelten immer?
 
{Welche der folgenden Aussagen gelten immer?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ F&uuml;r <i>B</i> = 0 sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> streng korreliert.
+
+ F&uuml;r &nbsp;$B = 0$&nbsp; sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; streng korreliert.
- Es gilt <i>&rho;<sub>xy</sub></i>(&ndash;<i>B</i>/<i>A</i>) = &ndash;<i>&rho;<sub>xy</sub></i>(<i>B</i>/<i>A</i>).
+
- Es gilt &nbsp;$\rho_{xy}(-B/A) = -\rho_{xy}(B/A)$.
+ Im Grenzfall <i>B</i>/<i>A</i> &#8594; &#8734; sind <i>x</i> und <i>y</i> streng korreliert.
+
+ Im Grenzfall&nbsp; $B/A \to \infty$&nbsp; sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; streng korreliert.
+ F&uuml;r <i>A</i> = <i>B</i> sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> unkorreliert.
+
+ F&uuml;r&nbsp; $A =B$&nbsp; sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; unkorreliert.
  
  
{Welche Aussagen sind zutreffend, wenn <i>A</i> = <i>B</i> = 1 gilt und <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> jeweils gau&szlig;verteilt sind mit Mittelwert <i>m</i> = 1 und Streuung <i>&sigma;</i> = 0.5?
+
{Welche Aussagen sind zutreffend,&nbsp; wenn&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt und &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt sind mit Mittelwert &nbsp;$m = 1$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma = 0.5$&nbsp;?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> sind unkorreliert.
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind unkorreliert.
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> sind statistisch unabh&auml;ngig.
+
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind statistisch unabh&auml;ngig.
  
  
{Welche Aussagen treffen zu, wenn <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> symmetrisch zweipunktverteilt sind und <i>A</i> = <i>B</i> = 1 gilt?
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{Welche Aussagen treffen zu,&nbsp; wenn &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt sind und&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> sind unkorreliert.
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind unkorreliert.
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> sind statistisch unabh&auml;ngig.
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- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind statistisch unabh&auml;ngig.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b> Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> mittelwertfrei sind (<i>m</i> = 0), ist  auch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> mittelwertfrei: <i>m<sub>x</sub></i> = (<i>A</i> + <i>B</i>) &middot; <i>m</i> <u>= 0</u>. F&uuml;r die Varianz und die Streuung gelten:
+
'''(1)'''&nbsp; Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; mittelwertfrei sind&nbsp; $(m = 0)$,&nbsp; ist  auch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mittelwertfrei:
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:$$m_x = (A +B) \cdot m \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$$
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*F&uuml;r die Varianz und die Streuung gelten:
 
:$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$
 
:$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$
  
:<b>2.</b> Da <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> die gleiche Streuung besitzen, gilt auch <i>&sigma;<sub>y</sub></i> =  <i>&sigma;<sub>x</sub></i> <u>&asymp; 2.236</u>. Wegen <i>m</i> = 0 gilt zudem <u><i>m<sub>y</sub></i> = 0</u>. Bei mittelwertbehafteten Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> erg&auml;be sich f&uuml;r <i>m<sub>y</sub></i> = (<i>A</i> &ndash; <i>B</i>) &middot; <i>m</i> dagegen ein anderer Wert als f&uuml;r <i>m<sub>x</sub></i> = (<i>A</i> + <i>B</i>) &middot; <i>m</i>.
 
  
:<b>3.</b> Wir gehen hier von dem allgemeineren Fall <i>m</i> &ne; 0 aus. Dann gilt f&uuml;r das gemeinsame Moment:
 
:$$m_{xy} = {\rm E} [x \cdot y ] = {\rm E} [(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)] . $$
 
  
:Nach den allgemeinen Rechenregeln f&uuml;r Erwartungswerte folgt daraus:
+
'''(2)'''&nbsp; Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; die gleiche Streuung besitzen,&nbsp; gilt auch&nbsp; $\sigma_y =\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}$.
:$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} [u^2 ] - B^2 \cdot {\rm E} [v^2 ] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$
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*Wegen&nbsp; $m=0$&nbsp; gilt zudem&nbsp; $m_y = m_x \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$
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*Bei mittelwertbehafteten Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; erg&auml;be sich dagegen  f&uuml;r&nbsp; $m_y = (A -B) \cdot m$ &nbsp; ein anderer Wert als f&uuml;r&nbsp; $m_x = (A +B) \cdot m$.
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'''(3)'''&nbsp; Wir gehen hier in der Musterlösung von dem allgemeineren Fall&nbsp; $m \ne 0$&nbsp; aus.&nbsp; Dann gilt f&uuml;r das gemeinsame Moment:
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:$$m_{xy} = {\rm E} \big[x \cdot y \big] = {\rm E} \big[(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)\big] . $$
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*Nach den allgemeinen Rechenregeln f&uuml;r Erwartungswerte folgt daraus:
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:$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} \big[u^2 \big] - B^2 \cdot {\rm E} \big[v^2 \big] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$
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*Damit ergibt sich die Kovarianz  zu
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:$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}=  (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2  = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$
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*Mit&nbsp; $\sigma = 1$,&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$&nbsp; erh&auml;lt man&nbsp; $\mu_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$, &nbsp; und zwar  unabh&auml;ngig vom Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; der Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$.
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[[Datei:P_ID403__Sto_A_4_7_d_neu.png|right|frame|Korrelationskoeffizient in Abhängigkeit des Quotienten&nbsp; $B/A$]]
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'''(4)'''&nbsp; Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu
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:$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2}
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\hspace{0.5 cm}\Rightarrow \hspace{0.5 cm}\rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$
 +
 
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*Mit&nbsp; $B/A = 2$&nbsp; folgt daraus&nbsp; $\rho_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-0.6}$.
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:Die Kovarianz ergibt sich dann zu
 
:$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= \\ = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2  = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$
 
  
:Mit <i>A</i> = 1, <i>B</i> = 2, <i>&sigma;</i> = 1 erh&auml;lt man <u><i>&mu;<sub>xy</sub></i> = &ndash;3</u>, unabh&auml;ngig vom Mittelwert <i>m</i> der Größen <i>u</i> und <i>&upsilon;</i>.
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'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
[[Datei:P_ID403__Sto_A_4_7_d_neu.png|right|]]
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*Aus&nbsp; $B= 0$&nbsp; folgt&nbsp; $\rho_{xy} = 1$&nbsp; (strenge Korrelation).&nbsp; Man  erkennt weiter,&nbsp; dass in diesem Fall&nbsp; $x = u$&nbsp; und&nbsp; $y = u$&nbsp; identische Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind.
 +
*Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: &nbsp; F&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B= -2$&nbsp; ergibt sich ebenfalls&nbsp; $\rho_{xy} = -0.6$.
 +
*Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle,&nbsp; weil in der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechneten Gleichung der Quotient&nbsp; $B/A$&nbsp; nur quadratisch auftritt.
 +
*Ist&nbsp; $B \gg A$,&nbsp; so werden sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; fast ausschlie&szlig;lich durch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $v$&nbsp; bestimmt und es ist&nbsp; $ y \approx -x$.&nbsp; Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy} \approx -1$.
 +
*Dagegen ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $B/A = 1$&nbsp; stets der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy} = 0$&nbsp; und damit die Unkorreliertheit zwischen&nbsp;  $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
  
:<b>4.</b> Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu
 
:$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} $$
 
:$$\Rightarrow \rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$
 
  
:Mit <i>B</i>/<i>A</i> = 2 folgt daraus <u><i>&rho;<sub>xy</sub></i> = &ndash;0.6</u>.
 
  
:<br><br><br>
+
'''(6)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen richtig</u> sind richtig:
:<b>5.</b> Aus <i>B</i> = 0 folgt <i>&rho;<sub>xy</sub></i> = 1 (strenge Korrelation). Aus den Gleichungen f&uuml;r <i>x</i> und <i>y</i> erkennt man weiter, dass in diesem Fall <i>x</i> und <i>y</i> identische Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind.
+
*Bei&nbsp; $A=B$&nbsp; sind&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; stets&nbsp; $($also bei jeder beliebigen WDF der Gr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v)$&nbsp; unkorreliert.  
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*Die neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; sind hier also ebenfalls gau&szlig;verteilt.
 +
*Bei Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabh&auml;ngigkeit und umgekehrt.  
  
:Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: F&uuml;r <i>A</i> = 1 und <i>B</i> = &ndash;2 ergibt sich ebenfalls <i>&rho;<sub>xy</sub></i> = &ndash;0,6. Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der unter (d) berechneten Gleichung <i>B</i>/<i>A</i> nur quadratisch auftritt.
 
  
:Ist <i>B</i> sehr viel gr&ouml;&szlig;er als <i>A</i>, so werden sowohl <i>x</i> als auch <i>y</i> fast ausschlie&szlig;lich durch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>&upsilon;</i> bestimmt und es ist <i>y</i> &asymp; &ndash;<i>x</i>. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>xy</sub></i> = &ndash;1. Dagegen ergibt sich f&uuml;r <i>B</i>/<i>A</i> = 1 stets der Korrelationskoeffizient <i>&rho;<sub>xy</sub></i> = 0 und damit die Unkorreliertheit zwischen <i>x</i> und <i>y</i>.
 
  
:Richtig sind somit die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>.
+
[[Datei:P_ID404__Sto_A_4_7_g.png|right|frame|2D-WDF und Rand-WDF]]
 +
'''(7)'''&nbsp;  Hier ist nur die <u>Aussage 1</u> zutreffend:
 +
*Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit&nbsp; $A=B= 1$&nbsp; auch hier zu&nbsp; $\rho_{xy} = 0$.&nbsp; Das hei&szlig;t:&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; sind auch hier unkorreliert.
 +
*Dagegen erkennt man aus der skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabh&auml;ngigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist.&nbsp; Vielmehr gilt nun:
 +
:$$f_{xy}(x, y) \ne f_{x}(x) \cdot  f_{y}(y).$$
  
:<b>6.</b> Bei <i>A</i> = <i>B</i> sind <i>x</i> und <i>y</i> stets (d. h. bei jeder beliebigen WDF der Gr&ouml;&szlig;en <i>u</i> und <i>&upsilon;</i>) unkorreliert. Die neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i> sind ebenfalls gau&szlig;verteilt. Bei Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabh&auml;ngigkeit und umgekehrt. Also sind <u>beide Aussagen richtig</u>.
 
  
:<b>7.</b> Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit <i>A</i> = <i>B</i> = 1 auch hier zu <i>&rho;<sub>xy</sub></i> = 0. Das hei&szlig;t, dass <i>x</i> und <i>y</i> unkorreliert sind. Dagegen erkennt man aus der nachfolgend skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabh&auml;ngigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt: <i>f<sub>xy</sub></i>(<i>x</i>, <i>y</i>) &ne; <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) &middot; <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>). Hier ist also nur die <u>Aussage 1</u> zutreffend.
 
[[Datei:P_ID404__Sto_A_4_7_g.png|midle|]]
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 17:32 Uhr

Summe und Differenz
von Zufallsgrößen

Die Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  seien statistisch voneinander unabhängig,  jeweils mit Mittelwert  $m$  und Varianz  $\sigma^2$.

  • Beide Größen besitzen eine gleiche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  und Verteilungsfunktion  $\rm (VTF)$.
  • Über den Verlauf dieser Funktionen sei zunächst nichts bekannt.


Es werden nun zwei neue Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:

$$x = A \cdot u + B \cdot v,$$
$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$

Hierbei bezeichnen  $A$  und  $B$  (beliebige)  konstante Werte.

  • Für die Teilaufgaben  (1)  bis  (4)  gelte   $m= 0$,   $\sigma = 1$,   $A = 1$  und  $B = 2$.
  • Bei der Teilaufgabe  (6)  wird vorausgesetzt,  dass  $u$  und  $v$  jeweils gaußverteilt mit Mittelwert  $m= 1$  und Streuung  $\sigma = 0.5$  seien.  Für die Konstanten gelte hier   $A = B = 1$.
  • Für die Aufgabe  (7)  gelte weiterhin  $A = B = 1$.  Hier seien die Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  symmetrisch zweipunktverteilt auf  $\pm$1:
$${\rm Pr}(u=+1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=+1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$



Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Linearkombinationen von Zufallsgrößen.



Fragebogen

1

Wie groß sind Mittelwert und Streuung von  $x$  für  $A = 1$  und  $B = 2$?

$m_x \ = \ $

$\sigma_x \ = \ $

2

Wie groß sind Mittelwert und Streuung von  $y$   für  $A = 1$  und  $B = 2$?

$m_y \ = \ $

$\sigma_y \ = \ $

3

Berechnen Sie die Kovarianz  $\mu_{xy}$.  Welcher Wert ergibt sich für  $A = 1$  und  $B = 2$?

$\mu_{xy} \ = \ $

4

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{xy}$  in Abhängigkeit des Quotienten  $B/A$.  Welcher Koeffizient ergibt sich für  $A = 1$  und  $B = 2$?

$\rho_{xy}\ = \ $

5

Welche der folgenden Aussagen gelten immer?

Für  $B = 0$  sind die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  streng korreliert.
Es gilt  $\rho_{xy}(-B/A) = -\rho_{xy}(B/A)$.
Im Grenzfall  $B/A \to \infty$  sind die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  streng korreliert.
Für  $A =B$  sind die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  unkorreliert.

6

Welche Aussagen sind zutreffend,  wenn  $A =B = 1$  gilt und  $x$  und  $y$  jeweils gaußverteilt sind mit Mittelwert  $m = 1$  und Streuung  $\sigma = 0.5$ ?

Die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  sind unkorreliert.
Die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  sind statistisch unabhängig.

7

Welche Aussagen treffen zu,  wenn  $x$  und  $y$  symmetrisch zweipunktverteilt sind und  $A =B = 1$  gilt?

Die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  sind unkorreliert.
Die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  sind statistisch unabhängig.


Musterlösung

(1)  Da die Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  mittelwertfrei sind  $(m = 0)$,  ist auch die Zufallsgröße  $x$  mittelwertfrei:

$$m_x = (A +B) \cdot m \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$$
  • Für die Varianz und die Streuung gelten:
$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$


(2)  Da  $u$  und  $v$  die gleiche Streuung besitzen,  gilt auch  $\sigma_y =\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}$.

  • Wegen  $m=0$  gilt zudem  $m_y = m_x \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$
  • Bei mittelwertbehafteten Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  ergäbe sich dagegen für  $m_y = (A -B) \cdot m$   ein anderer Wert als für  $m_x = (A +B) \cdot m$.


(3)  Wir gehen hier in der Musterlösung von dem allgemeineren Fall  $m \ne 0$  aus.  Dann gilt für das gemeinsame Moment:

$$m_{xy} = {\rm E} \big[x \cdot y \big] = {\rm E} \big[(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)\big] . $$
  • Nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte folgt daraus:
$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} \big[u^2 \big] - B^2 \cdot {\rm E} \big[v^2 \big] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$
  • Damit ergibt sich die Kovarianz zu
$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2 = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$
  • Mit  $\sigma = 1$,  $A = 1$  und  $B = 2$  erhält man  $\mu_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$,   und zwar unabhängig vom Mittelwert  $m$  der Größen  $u$  und  $v$.


Korrelationskoeffizient in Abhängigkeit des Quotienten  $B/A$

(4)  Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu

$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} \hspace{0.5 cm}\Rightarrow \hspace{0.5 cm}\rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$
  • Mit  $B/A = 2$  folgt daraus  $\rho_{xy} \hspace{0.15cm}\underline{ =-0.6}$.



(5)  Richtig sind die  Aussagen 1, 3 und 4:

  • Aus  $B= 0$  folgt  $\rho_{xy} = 1$  (strenge Korrelation).  Man erkennt weiter,  dass in diesem Fall  $x = u$  und  $y = u$  identische Zufallsgrößen sind.
  • Die zweite Aussage ist nicht zutreffend:   Für  $A = 1$  und  $B= -2$  ergibt sich ebenfalls  $\rho_{xy} = -0.6$.
  • Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle,  weil in der in der Teilaufgabe  (4)  berechneten Gleichung der Quotient  $B/A$  nur quadratisch auftritt.
  • Ist  $B \gg A$,  so werden sowohl  $x$  als auch  $y$  fast ausschließlich durch die Zufallsgröße  $v$  bestimmt und es ist  $ y \approx -x$.  Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten  $\rho_{xy} \approx -1$.
  • Dagegen ergibt sich für  $B/A = 1$  stets der Korrelationskoeffizient  $\rho_{xy} = 0$  und damit die Unkorreliertheit zwischen  $x$  und  $y$.


(6)  Beide Aussagen richtig sind richtig:

  • Bei  $A=B$  sind  $x$  und  $y$  stets  $($also bei jeder beliebigen WDF der Größen  $u$  und  $v)$  unkorreliert.
  • Die neuen Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  sind hier also ebenfalls gaußverteilt.
  • Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabhängigkeit und umgekehrt.


2D-WDF und Rand-WDF

(7)  Hier ist nur die Aussage 1 zutreffend:

  • Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit  $A=B= 1$  auch hier zu  $\rho_{xy} = 0$.  Das heißt:  $x$  und  $y$  sind auch hier unkorreliert.
  • Dagegen erkennt man aus der skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabhängigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist.  Vielmehr gilt nun:
$$f_{xy}(x, y) \ne f_{x}(x) \cdot f_{y}(y).$$