Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Ortskure bei Phasenmodulation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik). | + | Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik). |
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{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$ | {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$ | ||
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| − | *Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes | + | *Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]] ⇒ Ortskurve überprüfen. |
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- Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$. | - Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$. | ||
| − | + Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ | + | + Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ mit nur zwei möglichen Signalwerten $\pm 0.5$ entartet die Ortskurve zu zwei Punkten. |
| − | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ $(q_{\rm min} = -0.5$ | + | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ $(q_{\rm min} = -0.5$ trifft dann nicht mehr zu$)$ entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$. |
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| − | '''(3)''' Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} | + | |
| − | \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert: | + | '''(3)''' Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} |
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:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$ | :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$ | ||
| − | *Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3. | + | *Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.1415}$. |
| − | *Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt. | + | *Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt. |
[[Datei:P_ID769__Sig_Z_4_6_d_neu.png|right|frame|Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal]] | [[Datei:P_ID769__Sig_Z_4_6_d_neu.png|right|frame|Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal]] | ||
'''(4)''' Richtig sind der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>: | '''(4)''' Richtig sind der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>: | ||
| − | *Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant: | + | *Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant: |
:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm} | :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$ | ||
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:$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - | :$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - | ||
{\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$ | {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$ | ||
| − | *Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$. | + | *Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$. |
| − | *Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern. | + | *Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern. |
| − | *Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind. | + | *Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind. |
| − | *Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: & | + | *Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ <br>⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”. |
Aktuelle Version vom 12. Mai 2021, 12:15 Uhr
Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.
- Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$.
- Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
- $$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente Tiefpass-Signal wie folgt berechnen:
- $$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
- Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal ⇒ Ortskurve überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit dem Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion konstant $\underline{a(t) = 2}$.
(2) Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:
- $\phi_{\rm min} =- \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{-90^\circ}$,
- $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.
(3) Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
- Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.1415}$.
- Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt.
Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal
(4) Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:
- Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$
- Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
- Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
- Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
- Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
- Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$
⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
