Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Ortskure bei Phasenmodulation: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.  
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Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal  $q(t)$  aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.  
*Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$.  
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*Der Maximalwert dieses Signal ist  $q_{\rm max} = 1$  und der minimale Signalwert beträgt  $q_{\rm min} = -0.5$.  
*Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
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*Ansonsten ist über  $q(t)$  nichts bekannt.
  
  
 
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
 
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
 
:$$s(t) = s_0 \cdot  {\cos} (  \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
 
:$$s(t) = s_0 \cdot  {\cos} (  \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
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Hierbei bezeichnet  $\eta$  den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve  $s_0$  sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu  $s_0 = 2$  gesetzt wird (siehe Grafik).
  
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
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Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
 
:$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(
 
:$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(
 
\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
 
\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:
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Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente Tiefpass-Signal wie folgt berechnen:
 
:$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t)  \cdot {\rm e}^{-{\rm
 
:$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t)  \cdot {\rm e}^{-{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  t } = s_0\cdot
 
j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  t } = s_0\cdot
 
{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
 
{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
 
   
 
   
*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]   ⇒   Ortskurve überprüfen.
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*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]   ⇒   Ortskurve überprüfen.
  
  
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<quiz display=simple>
 
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{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$?
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{Wie lautet die Betragsfunktion&nbsp; $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für&nbsp; $t = 0$?
 
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$a(t = 0)\ = \ $  { 2 3% }
 
$a(t = 0)\ = \ $  { 2 3% }
  
  
{Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm  max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$?
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{Zwischen welchen Extremwerten&nbsp; $\phi_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $\phi_{\rm  max}$&nbsp; schwankt die Phase&nbsp; $\phi (t)$?
 
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$\phi_{\rm min}\ = \ $ { -93--87 } &nbsp;$\text{Grad}$
 
$\phi_{\rm min}\ = \ $ { -93--87 } &nbsp;$\text{Grad}$
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{Bestimmen Sie aus der Phasenfunktion $\phi (t)$ den Modulationsindex $\eta$.
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{Bestimmen Sie den Modulationsindex&nbsp; $\eta$&nbsp; aus der Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$.
 
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$\eta\ = \ $ { 3.1415 3% }
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
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- Aus&nbsp; $q(t) = -0.5 = \text{const.}$&nbsp; folgt&nbsp; $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
+ Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (mit nur  zwei möglichen Signalwerten $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
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+ Bei einem Rechtecksignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; $($mit nur  zwei möglichen Signalwerten&nbsp; $\pm 0.5)$&nbsp; entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
+ Mit den Signalwerten $\pm 1$ ($q_{\rm min} = -0.5$ ist dann nicht mehr gültig) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.  
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+ Mit den Signalwerten&nbsp; $\pm 1$&nbsp; $(q_{\rm min} = -0.5$&nbsp; ist dann nicht mehr gültig$)$ entartet die Ortskurve zu einem Punkt: &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.  
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp;  Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion  konstant  $\underline{a(t) = 2}$.
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'''(1)'''&nbsp;  Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit dem Radius&nbsp; $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion  konstant&nbsp; $\underline{a(t) = 2}$.
  
  
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'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
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'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt hier der Zusammenhang&nbsp; $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
 
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
 
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
 
:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
 
:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
*Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow  \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$.  
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*Der maximale Phasenwert&nbsp; $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow  \; {180^\circ}$&nbsp; ergibt sich für die Signalamplitude&nbsp; $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt&nbsp; ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$.  
*Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt.
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*Dieser Modulationsindex wird durch die Werte&nbsp; $\phi_{\rm min} = -\pi /2$&nbsp; und&nbsp; $q_{\rm min} = -0.5$&nbsp; bestätigt.
  
  
 
[[Datei:P_ID769__Sig_Z_4_6_d_neu.png|right|frame|Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal]]
 
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'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
 
'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
*Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
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*Ist&nbsp; $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
 
:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm}
 
:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0  = - 2{\rm j}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0  = - 2{\rm j}.$$
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:$$s(t) = s_0 \cdot  {\cos} (  \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t -
 
:$$s(t) = s_0 \cdot  {\cos} (  \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t -
 
  {\pi}/{2}) = 2 \cdot  {\sin} (  \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
 
  {\pi}/{2}) = 2 \cdot  {\sin} (  \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
*Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu &nbsp;$\phi (t) = \pi /2$&nbsp; und zu &nbsp;$s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.  
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*Dagegen führt&nbsp; $q(t) = +0.5$&nbsp; zu &nbsp;$\phi (t) = \pi /2$&nbsp; und zu &nbsp;$s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.  
*Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
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*Ist&nbsp; $q(t)$&nbsp; ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte&nbsp; $+0.5$&nbsp; und&nbsp; $–0.5$&nbsp; annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit&nbsp; $+0.5$&nbsp; und&nbsp; $–0.5$ dauern.
*Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.  
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*Gilt dagegen&nbsp; $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte&nbsp; $+\pi$&nbsp; und&nbsp; $-\pi$, die aber identisch sind.  
*Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: &bsp; $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ &nbsp; <br>&rArr; &nbsp;  das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$  „minus-cosinusförmig”.
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*Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ &nbsp; <br>&rArr; &nbsp;  das Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; „minus-cosinusförmig”.
  
  

Aktuelle Version vom 8. Oktober 2019, 13:08 Uhr

Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation

Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal  $q(t)$  aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.

  • Der Maximalwert dieses Signal ist  $q_{\rm max} = 1$  und der minimale Signalwert beträgt  $q_{\rm min} = -0.5$.
  • Ansonsten ist über  $q(t)$  nichts bekannt.


Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$

Hierbei bezeichnet  $\eta$  den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve  $s_0$  sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu  $s_0 = 2$  gesetzt wird (siehe Grafik).

Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal

$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$

Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente Tiefpass-Signal wie folgt berechnen:

$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$




Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lautet die Betragsfunktion  $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für  $t = 0$?

$a(t = 0)\ = \ $

2

Zwischen welchen Extremwerten  $\phi_{\rm min}$  und  $\phi_{\rm max}$  schwankt die Phase  $\phi (t)$?

$\phi_{\rm min}\ = \ $

 $\text{Grad}$
$\phi_{\rm min}\ = \ $

 $\text{Grad}$

3

Bestimmen Sie den Modulationsindex  $\eta$  aus der Phasenfunktion  $\phi (t)$.

$\eta\ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Aus  $q(t) = -0.5 = \text{const.}$  folgt  $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
Bei einem Rechtecksignal  $q(t)$  $($mit nur zwei möglichen Signalwerten  $\pm 0.5)$  entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
Mit den Signalwerten  $\pm 1$  $(q_{\rm min} = -0.5$  ist dann nicht mehr gültig$)$ entartet die Ortskurve zu einem Punkt:   $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.


Musterlösung

(1)  Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit dem Radius  $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion konstant  $\underline{a(t) = 2}$.


(2)  Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:

  • $\phi_{\rm min} =- \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{-90^\circ}$,
  • $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.


(3)  Allgemein gilt hier der Zusammenhang  $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
  • Der maximale Phasenwert  $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$  ergibt sich für die Signalamplitude  $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt  ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$.
  • Dieser Modulationsindex wird durch die Werte  $\phi_{\rm min} = -\pi /2$  und  $q_{\rm min} = -0.5$  bestätigt.


Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal

(4)  Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:

  • Ist  $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$
  • Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:
$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
  • Dagegen führt  $q(t) = +0.5$  zu  $\phi (t) = \pi /2$  und zu  $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
  • Ist  $q(t)$  ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte  $+0.5$  und  $–0.5$  annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit  $+0.5$  und  $–0.5$ dauern.
  • Gilt dagegen  $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte  $+\pi$  und  $-\pi$, die aber identisch sind.
  • Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt:   $s_{\rm TP}(t) = - s_0$  
    ⇒   das Signal  $s(t)$  ist für alle Zeiten  $t$  „minus-cosinusförmig”.