Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Ortskure bei Phasenmodulation: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{min} = –0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
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Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = –0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
  
 
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
 
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
 
:$$s(t) = s_0 \cdot  {\cos} (  \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
 
:$$s(t) = s_0 \cdot  {\cos} (  \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu 2 gesetzt wird (siehe Grafik).
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Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu 2 gesetzt wird (siehe Grafik).
  
 
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
 
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
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j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  t } = s_0\cdot
 
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{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
 
{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Sie können Ihre Lösung mit dem folgenden Interaktionsmodul überprüfen:
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[[Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals]]
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<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion Kapitel 4.3].
 
<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion Kapitel 4.3].
  

Version vom 22. Januar 2017, 15:40 Uhr

Ortskurve bei Phasenmodulation

Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = –0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.

Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$

Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu 2 gesetzt wird (siehe Grafik).

Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal

$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$

Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:

$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$

Hinweise:

Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3.


Fragebogen

1

Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$?

$a(t = 0)$ =

2

Zwischen welchen Werten $\phi_{min}$ und $\phi_{max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$?

$\phi_{min}$ = $-$

$\text{Grad}$
$\phi_{min}$ =

$\text{Grad}$

3

Bestimmen Sie aus der Phasenfunktion $\phi (t)$ den Modulationsindex.

$\eta$ =

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Aus $q(t) = –0.5 = \text{const}$. folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
Bei einem Rechtecksignal $q(t) \Rightarrow$ zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$ entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
Mit den Signalwerten $\pm 1$ wird die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{TP}(t) = –s_0$. Hinweis: Die Angabe $q_{min} = –0.5$ gilt hier nicht.


Musterlösung

1. Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius 2. Deshalb ist die Betragsfunktion $a(t)$ konstant gleich 2.

2. Aus der Grafik ist zu erkennen, dass $\phi_{min} \underline{= –\pi /2 (–90°)}$ und $\phi_{max} \underline{= +\pi (180°)}$ ist.

3. Allgemein gilt folgender Zusammenhang:

$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$$

Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$

Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = \pi (180°)$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{max} = 1$. Daraus folgt direkt $\underline{\eta = \pi}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{min} = –\pi /2$ und $q_{min} = –0.5$ bestätigt.

4. Ist $q(t) = \text{const.} = –0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$

Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
P ID769 Sig Z 4 6 d neu.png

Dagegen führt $q(t) = 0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{TP}(t) = 2j$. Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.

Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $–\pi$, die aber identisch sind. Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{TP}(t) = – s_0 \Rightarrow$ das Signal $s(t)$ ist „minus-cosinusförmig”.

Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag.