Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Grundlagen der Produktcodes: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|Grundstruktur eines Produktcodes]]. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|Grundstruktur eines Produktcodes]]. |
| − | *Die beiden Komponentencodes werden auch in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.6:_Produktcode–Generierung|Aufgabe 4.6]] behandelt. | + | *Die beiden Komponentencodes werden auch in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.6:_Produktcode–Generierung|Aufgabe 4.6]] behandelt. |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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| − | {Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ über den Code $\mathcal{C}_1$? | + | {Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ über den Code $\mathcal{C}_1$? |
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| − | + Die Coderate von $\mathcal{C}_1$ ist $R_1 = 4/7$. | + | + Die Coderate von $\mathcal{C}_1$ ist $R_1 = 4/7$. |
| − | + Der Code $\mathcal{C}_1$ ist systematisch. | + | + Der Code $\mathcal{C}_1$ ist systematisch. |
| − | - $\mathcal{C}_1$ ist ein verkürzter Hamming–Code. | + | - $\mathcal{C}_1$ ist ein verkürzter Hamming–Code. |
| − | + Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$. | + | + Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$. |
| − | {Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ über den Code $\mathcal{C}_2$? | + | {Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ über den Code $\mathcal{C}_2$? |
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| − | - Die Coderate von $\mathcal{C}_2$ ist $R_2 = 4/7$. | + | - Die Coderate von $\mathcal{C}_2$ ist $R_2 = 4/7$. |
| − | + Der Code $\mathcal{C}_2$ ist systematisch. | + | + Der Code $\mathcal{C}_2$ ist systematisch. |
| − | + $\mathcal{C}_2$ ist ein verkürzter Hamming–Code. | + | + $\mathcal{C}_2$ ist ein verkürzter Hamming–Code. |
| − | + Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$. | + | + Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$. |
| − | {Geben Sie die Parameter des Produktcodes $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 × \mathcal{C}_2$ an. | + | {Geben Sie die Parameter des Produktcodes $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 × \mathcal{C}_2$ an. |
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* Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an ⇒ $k = 4$. | * Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an ⇒ $k = 4$. | ||
| − | * Die Codewortlänge ist gleich der Anzahl der Spalten ⇒ $n | + | * Die Codewortlänge ist gleich der Anzahl der Spalten ⇒ $n=4$ ⇒ Coderate $R = k/n = 4/7$. |
* Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt. | * Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt. | ||
| − | * Es handelt sich um einen „normalen” Hammingcode. Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits ⇒ $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$. | + | * Es handelt sich um einen „normalen” Hammingcode. |
| − | * Im vorliegenden Fall handelt es sich um den Hammingcode $\rm (7, \ 4, \ 3)$. | + | *Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits ⇒ $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$. |
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* Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$, | * Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$, | ||
* Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$. | * Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$. | ||
| − | * Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$. Oder: $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$. | + | * Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$. |
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* Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$. | * Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$. | ||
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Aktuelle Version vom 8. Juli 2019, 11:40 Uhr
Generatormatrizen der Komponentencodes
Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes. Die beiden Komponentencodes $\mathcal{C}_1$ und $\mathcal{C}_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Produktcode.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Grundstruktur eines Produktcodes.
- Die beiden Komponentencodes werden auch in der Aufgabe 4.6 behandelt.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:
- Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an ⇒ $k = 4$.
- Die Codewortlänge ist gleich der Anzahl der Spalten ⇒ $n=4$ ⇒ Coderate $R = k/n = 4/7$.
- Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt.
- Es handelt sich um einen „normalen” Hammingcode.
- Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits ⇒ $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
- Im vorliegenden Fall handelt es sich um den (normalen) Hammingcode $\rm (7, \ 4, \ 3)$.
- Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die minimale Distanz an ⇒ $d_{\rm min} = 3$.
(2) Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:
- Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form.
- Die Coderate beträgt $R = 1/2$.
(3) Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes dargestellt.
- Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$,
- Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
- Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$.
- Oder: $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
- Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.
