Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Grundlagen der Produktcodes: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|ersten Theorieseite]]. Die beiden Komponentencodes $C_1$ und $C_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.
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Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite  [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|Grundstruktur eines Produktcodes]]. Die beiden Komponentencodes  $\mathcal{C}_1$  und  $\mathcal{C}_2$  sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen  $\mathbf{G}_1$  und  $\mathbf{G}_2$  festgelegt.
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*Die beiden Komponentencodes werden auch in der  [[Aufgaben:Aufgabe_4.6:_Produktcode–Generierung|Aufgabe 4.6]]  behandelt.
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* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes| Grundlegendes zu den Produktcodes]]
 
* Die beiden Komponentencodes $C_1$ und $C_2$ wurden auch in der [[Aufgaben:4.6_Produktcode%E2%80%93Generierung| Aufgabe A4.6]] betrachtet.
 
  
  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice
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{Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}_1$&nbsp; über den Code&nbsp; $\mathcal{C}_1$?
 +
|type="[]"}
 +
+ Die Coderate von&nbsp; $\mathcal{C}_1$&nbsp; ist&nbsp; $R_1 = 4/7$.
 +
+ Der Code&nbsp; $\mathcal{C}_1$&nbsp; ist systematisch.
 +
- $\mathcal{C}_1$&nbsp; ist ein verkürzter Hamming&ndash;Code.
 +
+ Die minimale Distanz dieses Codes ist&nbsp; $d_1 = 3$.
 +
 
 +
{Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}_2$&nbsp; über den Code&nbsp; $\mathcal{C}_2$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ correct
+
- Die Coderate von&nbsp; $\mathcal{C}_2$&nbsp; ist&nbsp; $R_2 = 4/7$.
- false
+
+ Der Code&nbsp; $\mathcal{C}_2$&nbsp; ist systematisch.
 +
+ $\mathcal{C}_2$&nbsp; ist ein verkürzter Hamming&ndash;Code.
 +
+ Die minimale Distanz dieses Codes ist&nbsp; $d_2 = 3$.
  
{Input-Box Frage
+
{Geben Sie die Parameter des Produktcodes&nbsp; $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 &times \mathcal{C}_2$&nbsp; an.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$xyz \ = \ ${ 5.4 3% } $ab$
+
$k \hspace{0.25cm} = \ ${ 12 3% }
 +
$n \hspace{0.25cm} = \ ${ 42 3% }
 +
$d \hspace{0.25cm} = \ ${ 9 3% }
 +
$R \hspace{0.15cm} = \ ${ 0.286 3% }
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
'''(2)'''&nbsp;  
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* Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an &nbsp; &#8658; &nbsp;  $k = 4$.
'''(3)'''&nbsp;  
+
* Die Codewortlänge  ist gleich der Anzahl der Spalten &nbsp; &#8658; &nbsp; $n=4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Coderate $R = k/n = 4/7$.
'''(4)'''&nbsp;  
+
* Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 &times 4$&ndash;Diagonalmatrix beginnt.
'''(5)'''&nbsp;  
+
* Es handelt sich um einen &bdquo;normalen&rdquo; Hammingcode.
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*Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits &nbsp; &#8658; &nbsp; $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
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* Im vorliegenden Fall handelt es sich um den (normalen) Hammingcode $\rm (7, \ 4, \ 3)$.
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*Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die minimale Distanz an &nbsp; &#8658; &nbsp; $d_{\rm min} = 3$.
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'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 4</u>:
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*Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form.
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*Die Coderate beträgt $R = 1/2$.
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'''(3)'''&nbsp; Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|Grundstruktur eines Produktcodes]] dargestellt.
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* Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$,
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* Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
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* Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$.
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*Oder: &nbsp; $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
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* Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 8. Juli 2019, 10:40 Uhr

Generatormatrizen der Komponentencodes

Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite  Grundstruktur eines Produktcodes. Die beiden Komponentencodes  $\mathcal{C}_1$  und  $\mathcal{C}_2$  sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen  $\mathbf{G}_1$  und  $\mathbf{G}_2$  festgelegt.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix  $\mathbf{G}_1$  über den Code  $\mathcal{C}_1$?

Die Coderate von  $\mathcal{C}_1$  ist  $R_1 = 4/7$.
Der Code  $\mathcal{C}_1$  ist systematisch.
$\mathcal{C}_1$  ist ein verkürzter Hamming–Code.
Die minimale Distanz dieses Codes ist  $d_1 = 3$.

2

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix  $\mathbf{G}_2$  über den Code  $\mathcal{C}_2$?

Die Coderate von  $\mathcal{C}_2$  ist  $R_2 = 4/7$.
Der Code  $\mathcal{C}_2$  ist systematisch.
$\mathcal{C}_2$  ist ein verkürzter Hamming–Code.
Die minimale Distanz dieses Codes ist  $d_2 = 3$.

3

Geben Sie die Parameter des Produktcodes  $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 × \mathcal{C}_2$  an.

$k \hspace{0.25cm} = \ $

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$d \hspace{0.25cm} = \ $

$R \hspace{0.15cm} = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

  • Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an   ⇒   $k = 4$.
  • Die Codewortlänge ist gleich der Anzahl der Spalten   ⇒   $n=4$   ⇒   Coderate $R = k/n = 4/7$.
  • Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt.
  • Es handelt sich um einen „normalen” Hammingcode.
  • Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits   ⇒   $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
  • Im vorliegenden Fall handelt es sich um den (normalen) Hammingcode $\rm (7, \ 4, \ 3)$.
  • Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die minimale Distanz an   ⇒   $d_{\rm min} = 3$.


(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:

  • Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form.
  • Die Coderate beträgt $R = 1/2$.


(3)  Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes dargestellt.

  • Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$,
  • Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
  • Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$.
  • Oder:   $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
  • Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.