Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Grundlagen der Produktcodes: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|ersten Theorieseite]]. Die beiden Komponentencodes $C_1$ und $C_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.
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Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|Grundstruktur eines Produktcodes]]. Die beiden Komponentencodes $\mathcal{C}_1$ und $\mathcal{C}_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.
  
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* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes| Grundlegendes zu den Produktcodes]]
 
* Die beiden Komponentencodes $C_1$ und $C_2$ wurden auch in der [[Aufgaben:4.6_Produktcode%E2%80%93Generierung| Aufgabe A4.6]] betrachtet.
 
  
  
  
  
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes| Grundlegendes zu den Produktcode]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Grundstruktur_eines_Produktcodes|Grundstruktur eines Produktcodes]].
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*Die beiden Komponentencodes werden auch in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.6:_Produktcode–Generierung|Aufgabe 4.6]] behandelt.
  
  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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{Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ über den Code $C_1$?
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{Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ über den Code $\mathcal{C}_1$?
 
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+ Die Coderate von $C_1$ ist $R_1 = 4/7$.
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+ Die Coderate von $\mathcal{C}_1$ ist $R_1 = 4/7$.
+ Der Code $C_1$ ist systematisch.
+
+ Der Code $\mathcal{C}_1$ ist systematisch.
- $C_1$ ist ein verkürzter Hamming&ndash;Code.
+
- $\mathcal{C}_1$ ist ein verkürzter Hamming&ndash;Code.
 
+ Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$.
 
+ Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$.
  
{Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ über den Code $C_2$?
+
{Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ über den Code $\mathcal{C}_2$?
 
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- Die Coderate von $C_2$ ist $R_2 = 4/7$.
+
- Die Coderate von $\mathcal{C}_2$ ist $R_2 = 4/7$.
+ Der Code $C_2$ ist systematisch.
+
+ Der Code $\mathcal{C}_2$ ist systematisch.
+ $C_2$ ist ein verkürzter Hamming&ndash;Code.
+
+ $\mathcal{C}_2$ ist ein verkürzter Hamming&ndash;Code.
 
+ Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$.
 
+ Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$.
  
{Geben Sie die Parameter des Produktcodes $C = C_1 &times C_2$ an.
+
{Geben Sie die Parameter des Produktcodes $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 &times \mathcal{C}_2$ an.
 
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|type="{}"}
$k \ = \ ${ 12 3% }
+
$k \hspace{0.25cm} = \ ${ 12 3% }
$n \ = \ ${ 42 3% }
+
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$d \ = \ ${ 9 3% }
+
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$R \ = \ ${ 0.286 3% }
+
$R \hspace{0.15cm} = \ ${ 0.286 3% }
 
</quiz>
 
</quiz>
  

Version vom 30. Januar 2018, 11:20 Uhr

Generatormatrizen der Komponentencodes

Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes. Die beiden Komponentencodes $\mathcal{C}_1$ und $\mathcal{C}_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.



Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ über den Code $\mathcal{C}_1$?

Die Coderate von $\mathcal{C}_1$ ist $R_1 = 4/7$.
Der Code $\mathcal{C}_1$ ist systematisch.
$\mathcal{C}_1$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$.

2

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ über den Code $\mathcal{C}_2$?

Die Coderate von $\mathcal{C}_2$ ist $R_2 = 4/7$.
Der Code $\mathcal{C}_2$ ist systematisch.
$\mathcal{C}_2$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$.

3

Geben Sie die Parameter des Produktcodes $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 × \mathcal{C}_2$ an.

$k \hspace{0.25cm} = \ $

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$d \hspace{0.25cm} = \ $

$R \hspace{0.15cm} = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

  • Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an: $k = 4$. Dagegen ist die Codewortlänge $n$ gleich der Anzahl der Spalten  ⇒  Coderate $R = k/n = 4/7$.
  • Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt.
  • Es handelt sich um einen „normalen” Hammingcode. Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits  ⇒  $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
  • Im vorliegenden Fall handelt es sich um den Hammingcode (7, 4, 3). Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die freie Distanz an  ⇒  $d_{\rm min} = 3$.


(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4. Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form. Die Coderate beträgt $R = 1/2$.


(3)  Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der ersten Theorieseite dargestellt. Man erkennt

  • den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12} \ \rm Bit$, und
  • die Codewortlänge als die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
  • Die Coderate ist somit $R = k/n = 12/42 = 2/7$. Oder: $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
  • Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.