Aufgaben:Aufgabe 4.6: k-Parameter und Alpha-Parameter: Unterschied zwischen den Versionen

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-[[Datei:P_ID1812__LZI_A_4_6.png|right|Dämpfungsmaß einer 0.5 mm Doppelader mit ''k''– und ''α''-Parameter]]
+[[Datei:P_ID1812__LZI_A_4_6.png|right|frame|Dämpfungsmaß&nbsp; $\text{(0.5 mm}$&nbsp; Doppelader$)$ mit&nbsp; $k$– und&nbsp; $\alpha$-Parameter]]
-Für symmetrische Kupfer&ndash;Doppeladern findet man in [PW95] die folgende empirische Formel, gültig für den Frequenzbereich $0 \le f \le 30 \ \rm MHz$:
+Für symmetrische Kupfer&ndash;Doppeladern findet man in&nbsp; [PW95]&nbsp; die folgende empirische Formel,&nbsp; gültig für den Frequenzbereich &nbsp;$0 \le f \le 30 \ \rm MHz$:
-$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3} , \hspace{0.15cm}
+:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3} , \hspace{0.15cm}
   f_0 = 1\,{\rm MHz} .$$
 Dagegen ist das Dämpfungsmaß eines Koaxialkabels meist in der folgenden Form angegeben:
-$$\alpha_{\rm II}(f)  = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\alpha_{\rm II}(f)  = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}.$$
-Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil, auch für die Kupfer&ndash;Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ anstelle der Beschreibung durch $k_1$, $k_2$ und $k_3$ zu wählen. Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:
+Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil,&nbsp; auch für die Kupfer&ndash;Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; anstelle der Beschreibung durch &nbsp;$k_1$, &nbsp;$k_2$&nbsp; und &nbsp;$k_3$ zu wählen.
-* Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient $k_1 =\alpha_0$ ist.
-* Zur Bestimmung von $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite $B$ minimal sein soll:
+Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:
-:$${\rm E}[\varepsilon^2(f)] =  \int_{0}^{
+* Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient &nbsp;$\alpha_0 = k_1$&nbsp; ist.
+* Zur Bestimmung von&nbsp; $\alpha_1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite &nbsp;$B$&nbsp; minimal sein soll:
+:$${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big] =  \int_{0}^{
 B} \left [ \alpha_{\rm II} (f) - \alpha_{\rm I} (f)\right ]^2
 \hspace{0.1cm}{\rm  d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm}{\rm Minimum}
   \hspace{0.05cm} .$$
-* Die Differenz $\varepsilon^2(f)$ und der mittlere quadratische Fehler ${\rm E}[\varepsilon^2(f)]$ ergeben sich dabei wie folgt:
+* Die Differenz &nbsp;$\varepsilon^2(f)$&nbsp; und der mittlere quadratische Fehler &nbsp;${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$&nbsp; ergeben sich dabei wie folgt:
-:$$\varepsilon^2(f) =  \left [ \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f} - k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3}\right ]^2
+:$$\varepsilon^2(f) =  \big [ \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f} - k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3}\big ]^2
 =\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  f^2  + 2  \alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  f^{1.5} +
 \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  f + k_2^2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{2k_3}}{f_0^{2k_3}} - 2 k_2 \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
 \frac{f^{k_3+1}} {f_0^{k_3}}-{2 k_2 \alpha_2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  \frac{f^{k_3+0.5}}{f_0^{k_3}}$$
 :$$\Rightarrow
-\hspace{0.3cm}{\rm E}[\varepsilon^2(f)]   =   \alpha_1^2
+\hspace{0.3cm}{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]   =   \alpha_1^2
 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\frac{B^3}{3} + \frac{4}{5} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\alpha_1 \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}B^{2.5} +
 \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^2}{2} + \frac{k_2^2}{2k_3 +1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
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 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
 $$
-:Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter $\alpha_1$, $\alpha_2$, $k_2$ und $k_3$ sowie die Bandbreite $B$, innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.
+:Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter &nbsp;$\alpha_1$, &nbsp;$\alpha_2$, &nbsp;$k_2$&nbsp; und &nbsp;$k_3$&nbsp; sowie die Bandbreite &nbsp;$B$,&nbsp; innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.
-* Durch Nullsetzen der Ableitungen von ${\rm E}[\varepsilon^2(f)]$ nach $\alpha_1$ bzw. $\alpha_2$ erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten $\alpha_1$ und $\alpha_2$, die den mittleren quadratischen Fehler minimieren. Diese lassen sich in folgender Form darstellen:
+* Durch Nullsetzen der Ableitungen von &nbsp;${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$&nbsp; nach &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; bzw. &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2$,&nbsp; die den mittleren quadratischen Fehler minimieren.&nbsp; Diese lassen sich in folgender Form darstellen:
-:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}}  = 0 \hspace{0.2cm}
+:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_1}}  = 0 \hspace{0.2cm}
   \Rightarrow
 \hspace{0.2cm} \alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = 0 \hspace{0.05cm}
 ,$$
-:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}}  =
+:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_2}}  =
 \hspace{0.2cm}
   \Rightarrow
 \hspace{0.2cm} \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2 = 0 \hspace{0.05cm}
 . $$
-* Aus der Gleichung $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$ lässt sich daraus der Koeffizient $\alpha_2$ berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient $\alpha_1$.
+* Aus der Gleichung &nbsp;$C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$&nbsp; lässt sich daraus der Koeffizient &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient &nbsp;$\alpha_1$.
-Die  Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit 0.5 mm Durchmesser, deren $k$&ndash;Parameter lauten:
+Die  Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit&nbsp; $\text{0.5 mm}$&nbsp; Durchmesser, deren&nbsp; $k$&ndash;Parameter lauten:
-$$k_1  = 4.4\, {\rm dB}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+:$$k_1  = 4.4\, {\rm dB}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   k_2  = 10.8\, {\rm dB}/{\rm km}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}k_3  = 0.60\hspace{0.05cm}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion $\alpha(f)$. Für $f = 30 \ \rm MHz$ ergibt sich das Dämpfungsmaß $\alpha(f) 87.5  \ \rm dB/km$.
+*Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion &nbsp;$\alpha(f)$.&nbsp; Für &nbsp;$f = 30 \ \rm MHz$&nbsp; ergibt sich das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)= 87.5 \ \rm dB/km$.
-*Die blaue Kurve gibt die Approximation mit den $\alpha$ndash;Koeffizienten an. Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.
+*Die blaue Kurve&nbsp; (nahezu verdeckt)&nbsp; gibt die Approximation mit den &nbsp;$\alpha$&ndash;Koeffizienten an.&nbsp; Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.
-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern|Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-*[PW95] kennzeichnet folgenden Literaturhinweis:
+Hinweise:
-:Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: ''Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz.'' Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum Darmstadt, 1995.
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern|Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern]].
+*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive SWF&ndash;Applet &nbsp;[[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.
+*[PW95]&nbsp; kennzeichnet folgenden Literaturhinweis:   &nbsp; Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.:&nbsp; Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz.&nbsp; Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum Darmstadt, 1995.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Parameter der Gleichung $\alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = 0$, die sich aus der Ableitung ${\rm dE[...]/d}\alpha_1$ ergeben. Welche Ergebnisse sind zutreffend?
+{Berechnen Sie die Parameter &nbsp;$C_1$&nbsp; und  &nbsp;$C_2$&nbsp; der Gleichung &nbsp;$\alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = 0$, die sich aus der Ableitung &nbsp;${\rm dE\big[\text{...}\big]/d}\alpha_1$&nbsp; ergeben. <br>Welche Ergebnisse sind zutreffend?
 |type="[]"}
 + $C_1 = 6/5 \cdot B^{-0.5}$,
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-{Berechnen Sie die Parameter der Gleichung $ \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2  = 0$, die sich aus der Ableitung ${\rm dE[...]/d}\alpha_2$ ergeben. Welche Ergebnisse sind zutreffend?
+{Berechnen Sie die Parameter &nbsp;$D_1$&nbsp; und  &nbsp;$D_2$&nbsp; der Gleichung &nbsp;$ \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2  = 0$, die sich aus der Ableitung &nbsp;${\rm dE\big[\text{...}\big]/d}\alpha_2$&nbsp; ergeben.<br> Welche Ergebnisse sind zutreffend?
 |type="[]"}
 - $D_1 = 6/5 \cdot B^{-0.5}$,
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-{Berechnen Sie die Koeffizienten $\alpha_1$ und $\alpha_2$ für gegebene $k_2$ und $k_3$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Berechnen Sie die Koeffizienten &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; für die vorgegebenen &nbsp;$k_2$&nbsp; und &nbsp;$k_3$. <br>Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Für $k_3=1.0$ gilt $\alpha_1 = k_2/f_0$ und $\alpha_2 = 0$.
++ Für &nbsp;$k_3=1.0$&nbsp; gilt &nbsp;$\alpha_1 = k_2/f_0$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2 = 0$.
-+ Für $k_3=0.5$ gilt $\alpha_1 = 0$, und $\alpha_2 = k_2/f_0^{0.5}$.
++ Für &nbsp;$k_3=0.5$&nbsp; gilt &nbsp;$\alpha_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2 = k_2/f_0^{0.5}$.
-{Ermitteln Sie die Koeffizienten für die Approximationsbandbreite $B = 30 \ \rm MHz$.
+{Ermitteln Sie die Koeffizienten &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; zahlenmäßig für die Approximationsbandbreite &nbsp;$B = 30 \ \rm MHz$.
 |type="{}"}
-$\alpha_1 \ =$  { 0.761 3% } $\ \rm dB/(km\ \cdot \ MHz)$
+$\alpha_1 \ = \ $  { 0.761 3% } $\ \rm dB/(km\ \cdot \ MHz)$
-$\alpha_2 \ =$ { 11.1 3% } $\ \rm dB/(km\ \cdot \ MHz^{0.5})$
+$\alpha_2 \ =\ $ { 11.1 3% } $\ \rm dB/(km\ \cdot \ \sqrt{\rm MHz})$
-{Berechnen Sie mit den $\alpha$ndash;Parametern das Dämpfungsmaß bei $f = 30\ \rm MHz$.
+{Berechnen Sie mit den &nbsp;$\alpha$&ndash;Parametern das Dämpfungsmaß für die Frequenz &nbsp;$f = 30\ \rm MHz$.
 |type="{}"}
-$\alpha_{\rm  II}(f = 30\ \rm MHz) \ =$ { 88.1 3% } $\ \rm dB/km$
+$\alpha_{\rm  II}(f = 30\ \rm MHz) \ = \ $ { 88.1 3% } $\ \rm dB/km$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Ableitung des angegebenen Erwartungswertes nach $\alpha_1$ ergibt:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1 und 6</u>:
-$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}}  =
+*Die Ableitung des angegebenen Erwartungswertes nach&nbsp; $\alpha_1$&nbsp; ergibt:
+:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}}  =
   \frac{2}{3}\cdot B^3 \cdot \alpha_1 + \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_2
   - \frac{2 k_2 }{k_3
 + 2} \cdot \frac{B^{k_3+2}}{f_0^{k_3}}= 0
   \hspace{0.05cm} .$$
-Durch Nullsetzen und Division durch $2B^2/3$ erhält man daraus:
+*Durch Nullsetzen und Division durch&nbsp; $2B^2/3$&nbsp; erhält man daraus:
-$$\alpha_1 + \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2
+:$$\alpha_1 + \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2
   - \frac{3 k_2 }{k_3
 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0
- \hspace{0.05cm} .$$
+\hspace{0.3cm}
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_1 = \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} ,
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_1 = \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} ,
 \hspace{0.5cm} C_2 =
   - \frac{3 k_2 }{k_3
 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Richtig sind demnach <u>die Lösungsvorschläge 1 und 6</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (1) zeigt sich, dass nun <u>die Lösungsvorschläge 2 und 5</u> richtig sind:
-$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}}  =
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
+*Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man:
+:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}}  =
   \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_1 +  B^{2} \cdot \alpha_2
   - \frac{2 k_2 }{k_3
 + 1.5} \cdot \frac{B^{k_3+1.5}}{f_0^{k_3}}= 0$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_1 + \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_1 + \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2
   - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3
 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0
- \hspace{0.05cm} .$$
+\hspace{0.3cm}
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_1 = \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} ,
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_1 = \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} ,
 \hspace{0.3cm}D_2 =
   - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3
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-'''(3)'''&nbsp; Aus $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$ ergibt sich eine lineare Gleichung für $\alpha_2$. Mit dem Ergebnis aus (2) kann hierfür geschrieben werden:
-$$\alpha_2   =  \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3
+'''(3)'''&nbsp; <u>Beide Lösungsvorschläge</u>&nbsp; sind richtig.
+*Aus&nbsp; $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$&nbsp; ergibt sich eine lineare Gleichung für&nbsp; $\alpha_2$.&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; kann hierfür geschrieben werden:
+:$$\alpha_2   =  \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3
 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} + \frac{3 k_2 }{k_3 +2}
 \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}}{{6}/{5}\cdot B^{-0.5} -
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 {5}/{4})(k_3 +1.5)(k_3 +2)} \cdot
 \frac{B^{k_3-0.5}}{f_0^{k_3}}$$
-$$  \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_2    =  10 \cdot (B/f_0)^{k_3
+:$$  \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_2    =  10 \cdot (B/f_0)^{k_3
 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Für den Parameter $\alpha_1$ gilt dann:
+*Für den Parameter&nbsp; $\alpha_1$&nbsp; gilt dann:
-$$\alpha_1   =  - C_1 \cdot \alpha_2 - C_2 = \\  =
+:$$\alpha_1   =  - C_1 \cdot \alpha_2 - C_2 =
   -\frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot 10 \cdot (B/f_0)^{k_3
 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} +\frac{3 k_2 }{k_3 +2}
-\cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}=  (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot
+\cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}$$
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1  =   (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot
 \frac{-12 \cdot (1-k_3) + 3 \cdot (k_3 + 1.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
-)} \cdot \frac {k_2}{f_0}$$
+)} \cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1  =15 \cdot (B/f_0)^{k_3
-$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1  =  15 \cdot (B/f_0)^{k_3
 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{f_0}\hspace{0.05cm} .$$
-Die <u>beiden Lösungsvorschläge</u> sind richtig. Unabhängig von der Bandbreite erhält man für $k_3 = 1$:
-$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
+*Unabhängig von der Bandbreite erhält man für&nbsp; $k_3 = 1$:
+:$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{f_0} = \frac{15 \cdot 0.5}{2.5 \cdot 3}\cdot \frac {k_2}{f_0}
 \hspace{0.15cm}\underline{ = {k_2}/{f_0}}\hspace{0.05cm}
   ,$$
-$$ \alpha_2   =   (B/f_0)^{k_3
+:$$ \alpha_2   =   (B/f_0)^{k_3
 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}\hspace{0.15cm}\underline{= 0} \hspace{0.05cm}
   .$$
-Dagegen ergibt sich für $k_3 = 0.5$:
+*Dagegen ergibt sich für&nbsp; $k_3 = 0.5$:
-$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
+:$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}
   ,$$
-$$ \alpha_2   =  (B/f_0)^{k_3
+:$$ \alpha_2   =  (B/f_0)^{k_3
 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}=  \frac{10 \cdot 0.5}{2 \cdot 2.5}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \hspace{0.15cm}\underline{ {k_2}/{\sqrt{f_0}}} \hspace{0.05cm}
@@ Zeile 183: / Zeile 194: @@
-'''(4)'''&nbsp; Für die beiden Koeffizienten gilt mit $k_2 = 10.8 \ \rm dB/km$, $k_3 = 0.6 \ \rm dB/km$ und $B/f_0 = 30$:
-$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
+'''(4)'''&nbsp; Für die beiden Koeffizienten gilt mit&nbsp; $k_2 = 10.8 \ \rm dB/km$,&nbsp; $k_3 = 0.6 \ \rm dB/km$&nbsp; und&nbsp; $B/f_0 = 30$:
+:$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 )}\cdot \frac {k_2}{f_0}  =   30^{-0.4}\cdot \frac{15 \cdot 0.1}{2.1 \cdot 2.6}\cdot
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   \hspace{0.05cm}
   ,$$
-$$ \alpha_2   =  (B/f_0)^{k_3
+:$$ \alpha_2   =  (B/f_0)^{k_3
 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
-)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}=  \frac{10 \cdot 0.5}{2 \cdot 2.5}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}
+)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}=  \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}
   =   30^{0.1}\cdot \frac{10 \cdot 0.4}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac
 {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz^{0.5}}}
 \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 11.1\,
-{{\rm dB} }/{({\rm km \cdot MHz^{0.5}}})}\hspace{0.05cm}
+{{\rm dB} }/{({\rm km \cdot \sqrt{MHz}}})}\hspace{0.05cm}
   .$$
-'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung $\alpha_{\rm II}(f$) gilt:
-$$\alpha_{\rm II}(f = 30 \, {\rm MHz})    =  \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}
+'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung&nbsp; $\alpha_{\rm II}(f)$&nbsp; gilt damit auch:
-   =  \left [ \hspace{0.05cm} 4.4 + 0.761 \cdot 30 +  11.1 \cdot \sqrt {30}\hspace{0.05cm}
+:$$\alpha_{\rm II}(f = 30 \, {\rm MHz})    =  \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}
-  \right ]\frac
+   =  \big [ \hspace{0.05cm} 4.4 + 0.761 \cdot 30 +  11.1 \cdot \sqrt {30}\hspace{0.05cm}
+  \big ]\frac
 {\rm dB}{\rm km }
 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 88.1\, {\rm dB}/{\rm km }}

Aktuelle Version vom 23. November 2021, 18:22 Uhr

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Dämpfungsmaß $\text{(0.5 mm}$ Doppelader$)$ mit $k$– und $\alpha$-Parameter

Für symmetrische Kupfer–Doppeladern findet man in [PW95] die folgende empirische Formel, gültig für den Frequenzbereich $0 \le f \le 30 \ \rm MHz$:

$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3} , \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz} .$$

Dagegen ist das Dämpfungsmaß eines Koaxialkabels meist in der folgenden Form angegeben:

$$\alpha_{\rm II}(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil, auch für die Kupfer–Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ anstelle der Beschreibung durch $k_1$, $k_2$ und $k_3$ zu wählen.

Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:

Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient $\alpha_0 = k_1$ ist.
Zur Bestimmung von $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite $B$ minimal sein soll:

$${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big] = \int_{0}^{ B} \left [ \alpha_{\rm II} (f) - \alpha_{\rm I} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$

Die Differenz $\varepsilon^2(f)$ und der mittlere quadratische Fehler ${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$ ergeben sich dabei wie folgt:

$$\varepsilon^2(f) = \big [ \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} - k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\big ]^2 =\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^{1.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f + k_2^2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{2k_3}}{f_0^{2k_3}} - 2 k_2 \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+1}} {f_0^{k_3}}-{2 k_2 \alpha_2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+0.5}}{f_0^{k_3}}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big] = \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\frac{B^3}{3} + \frac{4}{5} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}B^{2.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^2}{2} + \frac{k_2^2}{2k_3 +1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^{2k_3+1}}{f_0^{2k_3}} - \hspace{0.15cm} \frac{2 k_2 \alpha_1}{k_3 + 2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} $$

Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter $\alpha_1$, $\alpha_2$, $k_2$ und $k_3$ sowie die Bandbreite $B$, innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.

Durch Nullsetzen der Ableitungen von ${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$ nach $\alpha_1$ bzw. $\alpha_2$ erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten $\alpha_1$ und $\alpha_2$, die den mittleren quadratischen Fehler minimieren. Diese lassen sich in folgender Form darstellen:

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_1}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = 0 \hspace{0.05cm} ,$$

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_2}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2 = 0 \hspace{0.05cm} . $$

Aus der Gleichung $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$ lässt sich daraus der Koeffizient $\alpha_2$ berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient $\alpha_1$.

Die Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit $\text{0.5 mm}$ Durchmesser, deren $k$–Parameter lauten:

$$k_1 = 4.4\, {\rm dB}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 = 10.8\, {\rm dB}/{\rm km}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}.$$

Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion $\alpha(f)$. Für $f = 30 \ \rm MHz$ ergibt sich das Dämpfungsmaß $\alpha(f)= 87.5 \ \rm dB/km$.
Die blaue Kurve (nahezu verdeckt) gibt die Approximation mit den $\alpha$–Koeffizienten an. Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern.

Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive SWF–Applet Dämpfung von Kupferkabeln benutzen.
[PW95] kennzeichnet folgenden Literaturhinweis: Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum Darmstadt, 1995.

Fragebogen

Berechnen Sie die Parameter $C_1$ und $C_2$ der Gleichung $\alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = 0$, die sich aus der Ableitung ${\rm dE\big[\text{...}\big]/d}\alpha_1$ ergeben.
Welche Ergebnisse sind zutreffend?

	$C_1 = 6/5 \cdot B^{-0.5}$,
	$C_1 = 5/4 \cdot B^{-0.5}$,
	$C_1 = 4/3 \cdot B^{2}$,
	$C_2 = -4/3 \cdot B^{-2$}$,
	$C_2 = -5/2 \cdot k_2/(k_3 +1.5) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$,
	$C_2 = -3 \cdot k_2/(k_3 +2) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$.

Berechnen Sie die Parameter $D_1$ und $D_2$ der Gleichung $ \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2 = 0$, die sich aus der Ableitung ${\rm dE\big[\text{...}\big]/d}\alpha_2$ ergeben.
Welche Ergebnisse sind zutreffend?

	$D_1 = 6/5 \cdot B^{-0.5}$,
	$D_1 = 5/4 \cdot B^{-0.5}$,
	$D_1 = 4/3 \cdot B^{2}$,
	$D_2 = -4/3 \cdot B^{-2}$,
	$D_2 = -5/2 \cdot k_2/(k_3 +1.5) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$,
	$D_2 = -3 \cdot k_2/(k_3 +2) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$.

Berechnen Sie die Koeffizienten $\alpha_1$ und $\alpha_2$ für die vorgegebenen $k_2$ und $k_3$.
Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Für $k_3=1.0$ gilt $\alpha_1 = k_2/f_0$ und $\alpha_2 = 0$.
	Für $k_3=0.5$ gilt $\alpha_1 = 0$ und $\alpha_2 = k_2/f_0^{0.5}$.

Ermitteln Sie die Koeffizienten $\alpha_1$ und $\alpha_2$ zahlenmäßig für die Approximationsbandbreite $B = 30 \ \rm MHz$.

$\alpha_1 \ = \ $

$\ \rm dB/(km\ \cdot \ MHz)$

$\alpha_2 \ =\ $

$\ \rm dB/(km\ \cdot \ \sqrt{\rm MHz})$

Berechnen Sie mit den $\alpha$–Parametern das Dämpfungsmaß für die Frequenz $f = 30\ \rm MHz$.

$\alpha_{\rm II}(f = 30\ \rm MHz) \ = \ $

$\ \rm dB/km$

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 6:

Die Ableitung des angegebenen Erwartungswertes nach $\alpha_1$ ergibt:

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}} = \frac{2}{3}\cdot B^3 \cdot \alpha_1 + \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_2 - \frac{2 k_2 }{k_3 + 2} \cdot \frac{B^{k_3+2}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.05cm} .$$

Durch Nullsetzen und Division durch $2B^2/3$ erhält man daraus:

$$\alpha_1 + \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2 - \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_1 = \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.5cm} C_2 = - \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} \hspace{0.05cm} .$$

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 5:

Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (1) erhält man:

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}} = \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_1 + B^{2} \cdot \alpha_2 - \frac{2 k_2 }{k_3 + 1.5} \cdot \frac{B^{k_3+1.5}}{f_0^{k_3}}= 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_1 + \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2 - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}D_1 = \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}D_2 = - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} \hspace{0.05cm} .$$

(3) Beide Lösungsvorschläge sind richtig.

Aus $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$ ergibt sich eine lineare Gleichung für $\alpha_2$. Mit dem Ergebnis aus (2) kann hierfür geschrieben werden:

$$\alpha_2 = \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} + \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}}{{6}/{5}\cdot B^{-0.5} - {5}/{4}\cdot B^{-0.5}} = \frac{- {2.5 \cdot k_2 }\cdot(k_3 +2) + {3 k_2 }\cdot (k_3 +1.5) }{({6}/{5} - {5}/{4})(k_3 +1.5)(k_3 +2)} \cdot \frac{B^{k_3-0.5}}{f_0^{k_3}}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_2 = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} \hspace{0.05cm} .$$

Für den Parameter $\alpha_1$ gilt dann:

$$\alpha_1 = - C_1 \cdot \alpha_2 - C_2 = -\frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} +\frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{-12 \cdot (1-k_3) + 3 \cdot (k_3 + 1.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)} \cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1 =15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0}\hspace{0.05cm} .$$

Unabhängig von der Bandbreite erhält man für $k_3 = 1$:

$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} = \frac{15 \cdot 0.5}{2.5 \cdot 3}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{ = {k_2}/{f_0}}\hspace{0.05cm} ,$$

$$ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}\hspace{0.15cm}\underline{= 0} \hspace{0.05cm} .$$

Dagegen ergibt sich für $k_3 = 0.5$:

$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm} ,$$

$$ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}= \frac{10 \cdot 0.5}{2 \cdot 2.5}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \hspace{0.15cm}\underline{ {k_2}/{\sqrt{f_0}}} \hspace{0.05cm} .$$

(4) Für die beiden Koeffizienten gilt mit $k_2 = 10.8 \ \rm dB/km$, $k_3 = 0.6 \ \rm dB/km$ und $B/f_0 = 30$:

$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} = 30^{-0.4}\cdot \frac{15 \cdot 0.1}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.761\, {{\rm dB} }/{({\rm km \cdot MHz})}} \hspace{0.05cm} ,$$

$$ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}= \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = 30^{0.1}\cdot \frac{10 \cdot 0.4}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz^{0.5}}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 11.1\, {{\rm dB} }/{({\rm km \cdot \sqrt{MHz}}})}\hspace{0.05cm} .$$

(5) Entsprechend der angegebenen Gleichung $\alpha_{\rm II}(f)$ gilt damit auch:

$$\alpha_{\rm II}(f = 30 \, {\rm MHz}) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} = \big [ \hspace{0.05cm} 4.4 + 0.761 \cdot 30 + 11.1 \cdot \sqrt {30}\hspace{0.05cm} \big ]\frac {\rm dB}{\rm km } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 88.1\, {\rm dB}/{\rm km }} \hspace{0.05cm}.$$

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Kategorie:

Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme