Aufgaben:Aufgabe 4.6: Ortskurve bei ESB-AM: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten das analytische Signal $s_+(t)$ mit der Spektralfunktion
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Wir betrachten das analytische Signal  $s_+(t)$  mit der Spektralfunktion
 
   
 
   
 
:$$S_{\rm +}(f) = 1 \cdot \delta (f - f_{\rm 50})- {\rm j} \cdot
 
:$$S_{\rm +}(f) = 1 \cdot \delta (f - f_{\rm 50})- {\rm j} \cdot
 
\delta (f - f_{\rm 60}) .$$
 
\delta (f - f_{\rm 60}) .$$
  
Hierbei stehen $f_{50}$ und $f_{60}$ als Abkürzungen für die Frequenzen $50 \ \rm kHz$ bzw. $60 \ \rm kHz$.
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Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \rm kHz$  bzw.  $60 \ \rm kHz$.
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In dieser Aufgabe soll der Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals  $s_{\rm TP}(t)$  analysiert werden, das in diesem Tutorial auch als „Ortskurve” bezeichnet wird.
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*In den Teilaufgaben  '''(1)'''  bis  '''(3)'''  gehen wir davon aus, dass das Signal  $s(t)$  durch eine Einseitenband-Amplitudenmodulation des sinusförmigen Nachrichtensignals der Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$  mit einem cosinusförmigen Träger bei  $f_{\rm T} = f_{50}$  entstanden ist, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird („OSB-Modulation”).
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*Dagegen wird bei der Teilaufgabe  '''(4)'''  von der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = f_{60}$  ausgegangen. Diese Annahme setzt voraus, dass eine USB-Modulation stattgefunden hat.
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In dieser Aufgabe soll der Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals $s_{\rm TP}(t)$ analysiert werden, das in diesem Tutorial auch als „Ortskurve” bezeichnet wird.
 
*In den Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gehen wir davon aus, dass das Signal $s(t)$ durch eine Einseitenband-Amplitudenmodulation des sinusförmigen Nachrichtensignals der Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$ mit einem cosinusförmigen Träger bei $f_{\rm T} = f_{50}$ entstanden ist, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird („OSB-Modulation”).
 
*Dagegen wird bei der Teilaufgabe '''(4)''' von der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60}$ ausgegangen. Diese Annahme setzt voraus, dass eine USB-Modulation stattgefunden hat.
 
  
  
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
 
   
 
   
*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]   ⇒   Ortskurve überprüfen.
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*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]   ⇒   Ortskurve überprüfen.
  
  
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{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$ für die Trägerfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$ an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$&nbsp; an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- Die Ortskurve beschreibt eine Ellipse.
 
- Die Ortskurve beschreibt eine Ellipse.
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- Die Ortskurve beschreibt einen Kreisbogen.
 
- Die Ortskurve beschreibt einen Kreisbogen.
  
{Berechnen Sie die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Wie groß ist der Wert $a_0$ bei $t = 0$ sowie der Maximal– und Minimalwert des Betrags?
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{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Wie groß ist der Wert&nbsp; $a_0$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; sowie der Minimal– und der Maximalwert des Betrags?
 
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$a_{\text{min}}\ = \ $ { 0. }
 
$a_{\text{min}}\ = \ $ { 0. }
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\phi(t)$. Wie groß sind die Phasenwerte bei $t = 0$  sowie bei $t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}$? <br>Interpretieren Sie $\phi (t)$ im Bereich um $t=75 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$. Wie groß sind die Phasenwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; sowie bei&nbsp; $t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}$? <br>Interpretieren Sie&nbsp; $\phi (t)$ im Bereich um&nbsp; $t=75 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
 
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$\phi(t=0 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { -46--44 } &nbsp;$\text{Grad}$
 
$\phi(t=0 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { -46--44 } &nbsp;$\text{Grad}$
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$\phi(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
 
$\phi(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
 
   
 
   
{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$ für $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz} = f_{60}$ an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für&nbsp; $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz} = f_{60}$&nbsp; an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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+ Die Ortskurve ist ein Kreis mit Radius $1$ um den Mittelpunkt $(0, –{\rm j})$ .
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+ Die Ortskurve ist ein Kreis mit Radius&nbsp; $1$&nbsp; um den Mittelpunkt&nbsp; $(0, –{\rm j})$ .
- Es gilt nun $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 + {\rm j}$.
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- Es gilt nun&nbsp; $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 + {\rm j}$.
+ Die Betragsfunktion $a(t)$ ist gegenüber $f_{\rm T} = f_{50}$ unverändert.
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+ Die Betragsfunktion&nbsp; $a(t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$&nbsp; unverändert.
- Die Phasenfunktion $\phi (t)$ ist gegenüber $f_{\rm T} = f_{50}$ unverändert.
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- Die Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$&nbsp; unverändert.
  
 
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[[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|frame|Ortskurve für OSB]]
 
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{ kHz}$:
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*Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{kHz}$:
 
:$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 50}) = 1 \cdot \delta (f)-
 
:$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 50}) = 1 \cdot \delta (f)-
 
{\rm j} \cdot \delta (f - f_{\rm 10}) .$$
 
{\rm j} \cdot \delta (f - f_{\rm 10}) .$$
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:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - {\rm j} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - {\rm j} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
*Ausgehend vom Punkt $(1, –{\rm j})$ verläuft $s_{\rm TP}(t)$ auf einem Kreis mit  Mittelpunkt $(1, 0)$ und Radius $1$. Die Periodendauer ist gleich dem Kehrwert der Frequenz: &nbsp; $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ \mu \text{s}$ &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
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*Ausgehend vom Punkt&nbsp; $(1, –{\rm j})$&nbsp; verläuft&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; auf einem Kreis mit  Mittelpunkt&nbsp; $(1, 0)$&nbsp; und Radius&nbsp; $1$.  
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*Die Periodendauer ist gleich dem Kehrwert der Frequenz: &nbsp; $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ &micro; \text{s}$ &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
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-{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }).$$
 
-{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }).$$
  
Dies führt zur Betragsfunktion
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*Dies führt zur Betragsfunktion
 
   
 
   
 
:$$a(t)=  |s_{\rm TP}(t)|=\sqrt{{\rm Re}\left[s_{\rm
 
:$$a(t)=  |s_{\rm TP}(t)|=\sqrt{{\rm Re}\left[s_{\rm
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  = \sqrt{2 \cdot ( 1 +  \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t))}.$$
 
  = \sqrt{2 \cdot ( 1 +  \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t))}.$$
  
*Für den Minimalwert erhält man unter Berücksichtigung von $\sin(\omega_{10} \cdot t) \geq -1$  &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{min}} \; \underline{= 0}$.  
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*Für den Minimalwert erhält man unter Berücksichtigung von&nbsp; $\sin(\omega_{10} \cdot t) \geq -1$&nbsp; &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{min}} \; \underline{= 0}$.  
*Der Maximalwert ergibt sich aus $\sin(\omega_{10} \cdot t \leq 1$ ) &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.  
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*Der Maximalwert ergibt sich aus&nbsp; $\sin(\omega_{10} \cdot t \leq 1$ ) &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.  
*Bei $t = 0$ ist der Betrag gleich $a_0 = \sqrt{2 }\; \underline{\approx  1.414}$.
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*Bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der Betrag gleich&nbsp; $a_0 = \sqrt{2 }\; \underline{\approx  1.414}$.
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\sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)}.$$
 
\sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)}.$$
  
Für $t = 0$ ist $\cos( \omega_{10} \cdot t ) = 1$ und $\sin( \omega_{10} \cdot t ) = 0$. Daraus folgt:
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*Für&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist&nbsp; $\cos( \omega_{10} \cdot t ) = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sin( \omega_{10} \cdot t ) = 0$. Daraus folgt:
 
   
 
   
 
:$$\phi(t = 0)= {\rm arctan} (-1) \hspace{0.15 cm}\underline{= -45^\circ}.$$
 
:$$\phi(t = 0)= {\rm arctan} (-1) \hspace{0.15 cm}\underline{= -45^\circ}.$$
  
Dagegen gilt für $t = T_0/4 =25 \ &micro; \text{s}$ :
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*Dagegen gilt für&nbsp; $t = T_0/4 =25 \ &micro; \text{s}$ :
 
   
 
   
 
:$$\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 0;
 
:$$\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 0;
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\hspace{0.05cm} &micro; s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 
\hspace{0.05cm} &micro; s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
  
Die beiden bisher berechneten Winkel kann man auch aus obiger Grafik ablesen.  
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*Die beiden bisher berechneten Winkel kann man auch aus obiger Grafik ablesen.  
  
Der Phasenwert bei $t =75 \ &micro; \text{s}$ muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil $0$ werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist. Man erhält $\phi(t=75 \ &micro; \text{s}) \; \underline{= 0}.$
 
  
Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:  
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Der Phasenwert bei&nbsp; $t =75 \ &micro; \text{s}$&nbsp; muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil Null werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist. Man erhält&nbsp; $\phi(t=75 \ &micro; \text{s}) \; \underline{= 0}.$ Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:  
*Berechnet man die Phasenfunktion für $t =74 \ {\rm &micro;} \text{s}$, so erhält man mit $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
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*Berechnet man die Phasenfunktion für&nbsp; $t =74 \ {\rm &micro;} \text{s}$, so erhält man mit&nbsp; $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
 
   
 
   
 
:$$\phi(t = {\rm 74 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
 
:$$\phi(t = {\rm 74 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
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arctan}(31)\approx 88^\circ.$$
 
arctan}(31)\approx 88^\circ.$$
  
*Entsprechend gilt für $t =76 \ {\rm &micro;} \text{s}$ mit $\omega_{10} \cdot t = 1.52 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 273.6^\circ$ :
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*Entsprechend gilt für&nbsp; $t =76 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; mit&nbsp; $\omega_{10} \cdot t = 1.52 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 273.6^\circ$ :
 
   
 
   
 
:$$\phi(t = {\rm 76 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
 
:$$\phi(t = {\rm 76 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
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\approx {\rm arctan}(-31)\approx -88^\circ.$$
 
\approx {\rm arctan}(-31)\approx -88^\circ.$$
  
*Diese Zahlenwerte lassen vermuten, dass die Grenzwerte für $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ sich zu $\pm 90^\circ$ ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.  
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*Die Zahlenwerte lassen vermuten, dass die Grenzwerte für&nbsp; $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; sich zu&nbsp; $\pm 90^\circ$&nbsp; ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.  
*Der Phasenwert bei exakt $t =75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tzatsächlich $0$.
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*Der Phasenwert bei exakt&nbsp; $t =75 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tatsächlich Null.
  
  
 
[[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve für USB]]
 
[[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve für USB]]
'''(4)'''&nbsp; Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$ lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:
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'''(4)'''&nbsp; Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$&nbsp; lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:
 
   
 
   
 
:$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 60}) = -{\rm j} \cdot \delta
 
:$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 60}) = -{\rm j} \cdot \delta
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j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
 
   
 
   
In der Grafik ist $s_{\rm TP}(t)$ dargestellt. Man erkennt:
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In der Grafik ist&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; dargestellt. Man erkennt:
*Die Ortskurve ist wiederum ein Kreis mit Radius $1$, aber nun mit Mittelpunkt $(0, –{\rm j})$.
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*Die Ortskurve ist wiederum ein Kreis mit Radius&nbsp; $1$, aber nun mit Mittelpunkt&nbsp; $(0, –{\rm j})$.
*Es gilt auch hier $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 - {\rm j}$.
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*Es gilt auch hier&nbsp; $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 - {\rm j}$.
 
*Man bewegt sich nun auf der Ortskurve im Uhrzeigersinn.
 
*Man bewegt sich nun auf der Ortskurve im Uhrzeigersinn.
*Die Periodendauer beträgt weiterhin $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ &micro; \text{s}$.
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*Die Periodendauer beträgt weiterhin&nbsp; $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ &micro; \text{s}$.
*Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe '''(1)''' nun um $90^\circ$ in der komplexen Ebene gedreht.  
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*Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; nun&nbsp; um $90^\circ$&nbsp; in der komplexen Ebene gedreht.  
*Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
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*Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
*Die Phasenfunktion $\phi(t)$ liefert nun Werte zwischen $-\pi$ und $0$, während die in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnete Phasenfunktion Werte zwischen $-\pi/2$ und $+\pi /2$ angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten $t$::
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*Die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; liefert nun Werte zwischen&nbsp; $-\pi$&nbsp; und Null, während die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Phasenfunktion Werte zwischen&nbsp; $-\pi/2$&nbsp; und&nbsp; $+\pi /2$&nbsp; angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten&nbsp; $t$:
 
   
 
   
 
:$$\phi_{\rm Teilaufgabe \ (4)}= -(\phi_{\rm Teilaufgabe \ (3)} + 90^\circ).$$
 
:$$\phi_{\rm Teilaufgabe \ (4)}= -(\phi_{\rm Teilaufgabe \ (3)} + 90^\circ).$$

Aktuelle Version vom 8. Oktober 2019, 12:46 Uhr

Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten das analytische Signal  $s_+(t)$  mit der Spektralfunktion

$$S_{\rm +}(f) = 1 \cdot \delta (f - f_{\rm 50})- {\rm j} \cdot \delta (f - f_{\rm 60}) .$$

Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \rm kHz$  bzw.  $60 \ \rm kHz$.

In dieser Aufgabe soll der Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals  $s_{\rm TP}(t)$  analysiert werden, das in diesem Tutorial auch als „Ortskurve” bezeichnet wird.

  • In den Teilaufgaben  (1)  bis  (3)  gehen wir davon aus, dass das Signal  $s(t)$  durch eine Einseitenband-Amplitudenmodulation des sinusförmigen Nachrichtensignals der Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$  mit einem cosinusförmigen Träger bei  $f_{\rm T} = f_{50}$  entstanden ist, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird („OSB-Modulation”).
  • Dagegen wird bei der Teilaufgabe  (4)  von der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = f_{60}$  ausgegangen. Diese Annahme setzt voraus, dass eine USB-Modulation stattgefunden hat.





Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal  $s_{\rm TP}(t)$  für die Trägerfrequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$  an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Ortskurve beschreibt eine Ellipse.
Die Ortskurve beschreibt einen Kreis.
Die Ortskurve beschreibt einen Kreisbogen.

2

Berechnen Sie die Betragsfunktion  $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Wie groß ist der Wert  $a_0$  bei  $t = 0$  sowie der Minimal– und der Maximalwert des Betrags?

$a_{\text{min}}\ = \ $

$a_{\text{max}}\ = \ $

$a_0\ = \ $

3

Berechnen Sie die Phasenfunktion  $\phi(t)$. Wie groß sind die Phasenwerte bei  $t = 0$  sowie bei  $t=25 \ {\rm µ} \text{s}$?
Interpretieren Sie  $\phi (t)$ im Bereich um  $t=75 \ {\rm µ} \text{s}$.

$\phi(t=0 \ {\rm µ} \text{s})\ = \ $

 $\text{Grad}$
$\phi(t=25 \ {\rm µ} \text{s})\ = \ $

 $\text{Grad}$
$\phi(t=75 \ {\rm µ} \text{s})\ = \ $

 $\text{Grad}$

4

Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal  $s_{\rm TP}(t)$  für  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz} = f_{60}$  an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Ortskurve ist ein Kreis mit Radius  $1$  um den Mittelpunkt  $(0, –{\rm j})$ .
Es gilt nun  $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 + {\rm j}$.
Die Betragsfunktion  $a(t)$  ist gegenüber  $f_{\rm T} = f_{50}$  unverändert.
Die Phasenfunktion  $\phi (t)$  ist gegenüber  $f_{\rm T} = f_{50}$  unverändert.


Musterlösung

Ortskurve für OSB

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{kHz}$:
$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 50}) = 1 \cdot \delta (f)- {\rm j} \cdot \delta (f - f_{\rm 10}) .$$
  • Damit ergibt sich für das dazugehörige Zeitsignal:
$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - {\rm j} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
  • Ausgehend vom Punkt  $(1, –{\rm j})$  verläuft  $s_{\rm TP}(t)$  auf einem Kreis mit Mittelpunkt  $(1, 0)$  und Radius  $1$.
  • Die Periodendauer ist gleich dem Kehrwert der Frequenz:   $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ µ \text{s}$    ⇒    Antwort 2.


(2)  Spaltet man obige Gleichung nach Real- und Imaginäranteil auf, so erhält man:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } + \sin({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }) -{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }).$$
  • Dies führt zur Betragsfunktion
$$a(t)= |s_{\rm TP}(t)|=\sqrt{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]^2 + {\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]^2 }= \sqrt{1 + 2 \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)+ \sin^2(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)+ \cos^2(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)} = \sqrt{2 \cdot ( 1 + \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t))}.$$
  • Für den Minimalwert erhält man unter Berücksichtigung von  $\sin(\omega_{10} \cdot t) \geq -1$     ⇒    $a_{\text{min}} \; \underline{= 0}$.
  • Der Maximalwert ergibt sich aus  $\sin(\omega_{10} \cdot t \leq 1$ )    ⇒    $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.
  • Bei  $t = 0$  ist der Betrag gleich  $a_0 = \sqrt{2 }\; \underline{\approx 1.414}$.


(3)  Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:

$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{-\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)}{1 + \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)}.$$
  • Für  $t = 0$  ist  $\cos( \omega_{10} \cdot t ) = 1$  und  $\sin( \omega_{10} \cdot t ) = 0$. Daraus folgt:
$$\phi(t = 0)= {\rm arctan} (-1) \hspace{0.15 cm}\underline{= -45^\circ}.$$
  • Dagegen gilt für  $t = T_0/4 =25 \ µ \text{s}$ :
$$\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 0; \hspace{0.2cm}\sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} µ s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
  • Die beiden bisher berechneten Winkel kann man auch aus obiger Grafik ablesen.


Der Phasenwert bei  $t =75 \ µ \text{s}$  muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil Null werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist. Man erhält  $\phi(t=75 \ µ \text{s}) \; \underline{= 0}.$ Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:

  • Berechnet man die Phasenfunktion für  $t =74 \ {\rm µ} \text{s}$, so erhält man mit  $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
$$\phi(t = {\rm 74 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{\cos(86.4^\circ)}{1 - \sin(86.4^\circ)} = {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{0.062}{1 - 0.998} \approx {\rm arctan}(31)\approx 88^\circ.$$
  • Entsprechend gilt für  $t =76 \ {\rm µ} \text{s}$  mit  $\omega_{10} \cdot t = 1.52 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 273.6^\circ$ :
$$\phi(t = {\rm 76 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{-\cos(86.4^\circ)}{1 - \sin(86.4^\circ)} \approx {\rm arctan}(-31)\approx -88^\circ.$$
  • Die Zahlenwerte lassen vermuten, dass die Grenzwerte für  $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm µ} \text{s}$  sich zu  $\pm 90^\circ$  ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.
  • Der Phasenwert bei exakt  $t =75 \ {\rm µ} \text{s}$  ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tatsächlich Null.


Ortskurve für USB

(4)  Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$  lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:

$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 60}) = -{\rm j} \cdot \delta (f) + \delta (f + f_{\rm 10}) ;$$
$$s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} + 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$

In der Grafik ist  $s_{\rm TP}(t)$  dargestellt. Man erkennt:

  • Die Ortskurve ist wiederum ein Kreis mit Radius  $1$, aber nun mit Mittelpunkt  $(0, –{\rm j})$.
  • Es gilt auch hier  $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 - {\rm j}$.
  • Man bewegt sich nun auf der Ortskurve im Uhrzeigersinn.
  • Die Periodendauer beträgt weiterhin  $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ µ \text{s}$.
  • Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe  (1)  nun  um $90^\circ$  in der komplexen Ebene gedreht.
  • Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für  $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
  • Die Phasenfunktion  $\phi(t)$  liefert nun Werte zwischen  $-\pi$  und Null, während die in der Teilaufgabe  (3)  berechnete Phasenfunktion Werte zwischen  $-\pi/2$  und  $+\pi /2$  angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten  $t$:
$$\phi_{\rm Teilaufgabe \ (4)}= -(\phi_{\rm Teilaufgabe \ (3)} + 90^\circ).$$

Richtig sind somit der erste und der dritte Lösungsvorschlag.