Aufgabe 4.6: Generierung von Produktcodes

Verwendete Komponentencodes

Es soll ein Produktcode (42, 12) generiert werden, der auf folgenden Komponentencodes aufbaut:

dem Hammingcode (7, 4, 3) $\Rightarrow C_1$,
dem verkürzten Hamming–Code (6, 3, 3) $\Rightarrow C_2$.

Die entsprechenden Codetabellen sind rechts angegeben, wobei jeweils drei Zeilen unvollständig sind. Diese sollen von Ihnen ergänzt werden.

Das zu einem Informationsblock $\underline{u}$ gehörige Codewort ergibt sich allgemein entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$. Wie auch in der Aufgabe Z4.6 wird hier von folgenden Generatormatrizen ausgegangen:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$${ \boldsymbol{\rm G}}_2 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In der gesamten Aufgabe gelte für den Informationsblock:

$${ \boldsymbol{\rm U}} = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

Gesucht sind entsprechend der Nomenklatur auf der Ersten Theorieseite:

die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(1)}$ bezüglich des horizontalen Codes $C_1$,
die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(2)}$ bezüglich des vertikalen Codes $C_2$,
die Checks–on–Checks–Matrix $\mathbf{P}^{(12)}$.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Produktcode.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	Erste Spalte: $\underline{u} = (0, \, 0, \, 1) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1)$.
	Zweite Spalte: $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1)$.
	Dritte Spalte: $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$.
	Vierte Spalte: $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \,0, \, 0)$.

	Erste Zeile: $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1)$.
	Zweite Zeile: $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$.
	Dritte Zeile: $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$.

	Die erste Zeile lautet $(1, \, 0, \, 1)$ und die erste Spalte $(1, \, 1, \, 0)$.
	Die zweite Zeile lautet $(1, \, 0, \, 1)$ und die zweite Spalte $(0, \, 0, \, 0)$.
	Die dritte Zeile lautet $(0, \, 0, \, 0)$ und die dritte Spalte $(0, \, 0, \, 0)$.