Aufgabe 4.5: Ortskurve bei ZSB-AM

Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der Aufgabe 4.4 (aber nicht das gleiche):

ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit der Amplitude $A_{\rm N} = 2 \ \text{V}$ und der Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$,
ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$.

Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$.

Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form

$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)} $$

dargestellt werden kann, wobei $a(t) ≥ 0$ gelten soll. Für $\phi(t)$ ist der Wertebereich $–\pi < \phi(t) \leq +\pi$ zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:

$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}{{\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.

Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal ⇒ „Ortskurve” überprüfen.

Fragebogen

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]\ = \ $

$\text{V}$

$\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \ $

$\text{V}$

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $

$\text{V}$

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \ {\rm µ} \text{s})] \ = \ $

$\text{V}$

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $

$\text{V}$

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $

$\text{V}$

$a(t=25 \ {\rm µ} \text{s})\ = \ $

$\text{V}$

$a(t=75 \ {\rm µ} \text{s})\ = \ $

$\text{V}$

$\phi(t=25 \ {\rm µ} \text{s}) \ = \ $

$\text{Grad}$

$\phi(t=75\ {\rm µ} \text{s})\ = \ $

$\text{Grad}$

Musterlösung

Ortskurve zur Zeit $t = 0$

(1) Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$ nach links, so liegen diese bei $-\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$, $0$ und $+10 \ \text{kHz}$.

Die Gleichung für $s_{\rm TP}(t)$ lautet mit $\omega_{10} = 2 \pi \cdot 10 \ \text{kHz}$:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= {+\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} .$$

(2) Obige Gleichung kann man nach dem Satz von Euler mit $T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ {\rm µ} \text{s}$ wie folgt umformen:

$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t })\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) = 1+2 \cdot \sin(2 \pi {t}/{T_0}) .$$

Damit ist gezeigt, dass $s_{\rm TP}(t)$ für alle Zeiten $t$ reell ist.
Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +2.176 \hspace{0.05cm} V}}},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +3 \hspace{0.05cm} V}}},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(270^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{= -{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.1cm}{\rm µ} s}) = s_{\rm TP}(t = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +1 \hspace{0.05cm} V}}}.$$

(3) Definitionsgemäß gilt $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:

$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm}{\rm µ} s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +3 \hspace{0.05cm} V}} , \hspace{4.15 cm}$$

$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +1 \hspace{0.05cm} V}} .$$

(4) Allgemein gilt für die Phasenfunktion:

$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$

Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten ${\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0$ ist, erhält man hieraus das Ergebnis:

Falls ${\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0$ gilt, ist die Phase $\phi(t) = 0$.
Dagegen gilt bei negativem Realteil: $\phi(t) = \pi$.

Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: $0 \leq t \leq T_0$.

Im Bereich zwischen $t_1$ und $t_2$ liegt eine Phase von $180^\circ$ vor, ansonsten gilt $\text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0$.

Zur Berechung von $t_1$ kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden:

$$\sin(2 \pi \cdot {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot {t_1}/{T_0} = 2 \pi \cdot {7}/{12}\hspace{0.3cm}{\rm (entspricht}\hspace{0.2cm}210^\circ )$$

Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm µ} \text{s}$.
Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis: $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63 \ {\rm µ} \text{s}$.

Die gesuchten Werte sind somit:

$$\phi(t = 25 \ {\rm µ} \text{s}) \; \underline { = 0},$$

$$\phi(t = 75 \ {\rm µ} \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi).$$