Aufgaben:Aufgabe 4.5: Nichtlineare Quantisierung: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png|right|frame|PCM-System mit Kompandierung]] | [[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png|right|frame|PCM-System mit Kompandierung]] | ||
| − | Zur Untersuchung der ''nichtlinearen Quantisierung'' gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus. | + | Zur Untersuchung der ''nichtlinearen Quantisierung'' gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus. |
* Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht. | * Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht. | ||
*Somit gilt stets $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe $ν · T_{\rm A}$ verzichtet wird. | *Somit gilt stets $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe $ν · T_{\rm A}$ verzichtet wird. | ||
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| − | analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen: | + | analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen: |
* Alle Abtastwerte $q_{\rm A}$ liegen im Wertebereich $±1$ vor. | * Alle Abtastwerte $q_{\rm A}$ liegen im Wertebereich $±1$ vor. | ||
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*Für $q_{\rm A} > 1/64$ ergeben sich mit $k = 1$, ... , $6$ folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie: | *Für $q_{\rm A} > 1/64$ ergeben sich mit $k = 1$, ... , $6$ folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie: | ||
:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen $q_{\rm A}$–Werte mit $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet. | + | *Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen $q_{\rm A}$–Werte mit $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. |
| + | *Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Es gelte $q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert $q_{\rm K}$ liefert der Kompressor? | + | {Es gelte $q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert $q_{\rm K}$ liefert der Kompressor? |
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$q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% } | $q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% } | ||
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$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% } | $q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% } | ||
| − | {Beim Empfänger liegt der Eingangswert $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$ an. | + | {Beim Empfänger liegt der Eingangswert $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$ an. Welchen Wert $v_{\rm E}$ liefert der Expander? |
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$v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% } | $v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% } | ||
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+ Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen. | + Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen. | ||
- Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen. | - Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen. | ||
| − | - Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. | + | - Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. |
| − | + Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. | + | + Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. |
{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ auf? | {Welche Eigenschaften weist die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ auf? | ||
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- Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen. | - Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen. | ||
+ Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen. | + Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen. | ||
| − | - Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. | + | - Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. |
| − | - Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. | + | - Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$ gleich groß. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$: | + | '''(1)''' Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$: |
:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(2)''' Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft: | + | |
| + | '''(2)''' Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft: | ||
:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(3)''' | + | |
| − | $q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ repräsentiert. Mit $m = 105$ folgt daraus: | + | '''(3)''' Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert |
| + | $q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ repräsentiert. Mit $m = 105$ folgt daraus: | ||
:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(4)''' Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(3)''' gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$: | + | |
| + | '''(4)''' Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(3)''' gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$: | ||
:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$ | :$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm} | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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[[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png|right|frame|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]] | [[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png|right|frame|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]] | ||
'''(5)''' Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten: | '''(5)''' Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten: | ||
| − | *Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)'''. Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik. | + | *Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)'''. Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik. |
| − | *Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $ | + | *Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $v_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt ⇒ braune Markierungen in der Grafik. |
| − | Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung. Exakt gilt: | + | Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung. Exakt gilt: |
:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $ | + | Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $v_E(υ_{\rm Q})$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_{\rm A})$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung). |
'''(6)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann: | '''(6)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann: | ||
| − | [[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png|right|frame|13–Segment–Kennlinien: links: $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$, rechts: $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]] | + | [[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png|right|frame|13–Segment–Kennlinien: links: $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$, rechts: $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]] |
*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich. | *Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich. | ||
| − | *Im äußersten Segment ( | + | *Im äußersten Segment $(k = 6)$ beträgt die Stufenbreite $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment $(k = 5)$ nur mehr $0.25/16 = 1/64$. |
| − | * Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind $1/128 \ (k = 4)$, $1/256 \ (k = 3)$, $1/512\ (k = 2)$ und $1/1024 \ (k = 1)$. | + | * Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind $1/128 \ (k = 4)$, $1/256 \ (k = 3)$, $1/512\ (k = 2)$ und $1/1024 \ (k = 1)$. |
| − | *Der innerste Bereich von $-1/64$ bis $+1/64$ wird in $64$ Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite $1/2048$ ergibt. | + | *Der innerste Bereich von $-1/64$ bis $+1/64$ wird in $64$ Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite $1/2048$ ergibt. |
| − | *Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten $k ≠ 0$ konstant gleich $1/8$ geteilt durch $16 = 1/128$ und im mittleren Segment gleich $1/256$. | + | *Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten $k ≠ 0$ konstant gleich $1/8$ geteilt durch $16 = 1/128$ und im mittleren Segment gleich $1/256$. |
Version vom 1. April 2020, 14:17 Uhr
PCM-System mit Kompandierung
Zur Untersuchung der nichtlinearen Quantisierung gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
- Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht.
- Somit gilt stets $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe $ν · T_{\rm A}$ verzichtet wird.
Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man den Einfluss
- des Kompressors ⇒ $q_{\rm K}(q_{\rm A})$,
- des linearen Quantisierers ⇒ $q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,
- des nichtlinearen Quantisierers ⇒ $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,
- des Expanders ⇒ $v_{\rm E}(v_{\rm Q})$ sowie
- des Gesamtsystems ⇒ $v_{\rm E}(q_{\rm A})$
analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
- Alle Abtastwerte $q_{\rm A}$ liegen im Wertebereich $±1$ vor.
- Der (lineare) Quantisierer arbeitet mit $M = 256$ Quantisierungsstufen, die mit $μ = 0$ bis $μ = 255$ gekennzeichnet werden.
- Zur Kompression wird die sogenannte 13–Segment–Kennlinie verwendet.
Das bedeutet:
- Im Bereich $|q_{\rm A}| ≤ 1/64$ gilt $q_{\rm K} = q_{\rm A}$.
- Für $q_{\rm A} > 1/64$ ergeben sich mit $k = 1$, ... , $6$ folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:
- $$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$
- Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen $q_{\rm A}$–Werte mit $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen.
- Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Kompression und Expandierung.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:
- $$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:
- $${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert $q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ repräsentiert. Mit $m = 105$ folgt daraus:
- $$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe (3) gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:
- $$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$
Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)
(5) Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:
- Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben (1) und (3). Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
- Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $v_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt ⇒ braune Markierungen in der Grafik.
Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung. Exakt gilt:
- $$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$
Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $v_E(υ_{\rm Q})$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_{\rm A})$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).
(6) Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann:
13–Segment–Kennlinien: links: $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$, rechts: $v_{\rm E}(q_{\rm A})$
- Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.
- Im äußersten Segment $(k = 6)$ beträgt die Stufenbreite $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment $(k = 5)$ nur mehr $0.25/16 = 1/64$.
- Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind $1/128 \ (k = 4)$, $1/256 \ (k = 3)$, $1/512\ (k = 2)$ und $1/1024 \ (k = 1)$.
- Der innerste Bereich von $-1/64$ bis $+1/64$ wird in $64$ Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite $1/2048$ ergibt.
- Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten $k ≠ 0$ konstant gleich $1/8$ geteilt durch $16 = 1/128$ und im mittleren Segment gleich $1/256$.
(7) Richtig ist hier nur die zweite Aussage:
- Durch den Expander verläuft die Quantisierung nun entlang der Winkelhalbierenden.
- In jedem Segment sind Stufenbreite und Stufenhöhe konstant.
- Wie die rechte Grafik zeigt, sind aber im nächstinneren Segment die Breite und die Höhe nur mehr halb so groß.
