Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png|right|Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]
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Betrachtet werden soll das analytische Signal $s_+(t)$ mit dem Linienspektrum
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Betrachtet werden soll das analytische Signal  $s_+(t)$  mit dem Linienspektrum
 
:$$S_{+}(f) =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm
 
:$$S_{+}(f) =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm
 
50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -
 
50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -
 
f_{\rm 60}).$$
 
f_{\rm 60}).$$
Hierbei stehen $f_{50}$ und $f_{60}$ als Abkürzungen für die Frequenzen $50 \ \text{kHz}$ bzw. $60 \ \text{kHz}$.
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Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.
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Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\text{(ESB-AM)}$&nbsp; eines sinusförmigen Nachrichtensignals&nbsp; $($Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$&nbsp; mit einem cosinusförmigen Trägersignal&nbsp; $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$&nbsp; auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird&nbsp; $\text{(OSB&ndash;Modulation)}$.
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Das analytische Signal könnte aber auch durch eine&nbsp; $\text{(USB&ndash;Modulation)}$&nbsp; des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$&nbsp; verwendet wird.
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Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenband–Amplitudenmodulation]] (ESB-AM) eines sinusförmigen Nachrichtensignals (Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$) mit einem cosinusförmigen Trägersignal ($f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$) auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird (''OSB-Modulation'').
 
  
Das analytische Signal könnte aber auch durch eine ''USB-Modulation'' des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$ verwendet wird.
 
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] überprüfen.
+
*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp;  überprüfen.
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Geben Sie das analytische Signal $s_+(t)$ formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt $t = 0$?
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{Geben Sie das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; formelmäßig an.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 
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$\text{Re}[s_+(t = 0)]$ &nbsp;= { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
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$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t = 0)]$ &nbsp;= { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
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$\text{Im}[s_+(t = 0)]\ = \ $  { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
  
  
{Zu welcher Zeit $t_1$ tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals $s(t)$ relativ zum ersten Nulldurchgang des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ auf? ''Hinweis:'' Letzterer ist zur Zeit $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ \mu \text{s}$.
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{Zu welcher Zeit&nbsp; $t_1$&nbsp; tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals&nbsp; $s(t)$&nbsp; relativ zum ersten Nulldurchgang des&nbsp; $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$&nbsp; auf? <br>''Hinweis:'' &nbsp; Letzterer ist zur Zeit&nbsp; $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ &micro; \text{s}$.
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- Es gilt $t_1 < 5 \ \mu \text{s}$.
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- Es gilt&nbsp; $t_1 < 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
- Es gilt $t_1 = 5 \ \mu \text{s}$.
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- Es gilt&nbsp; $t_1 = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$.
+ Es gilt $t_1 > 5 \ \mu \text{s}$.
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+ Es gilt&nbsp; $t_1 > 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
  
  
{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag $|s_+(t)|$ an? Zu welchem Zeitpunkt $t_2$ wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
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{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; an?&nbsp; Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_2$&nbsp; wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
 
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$|s_+(t)|_{\rm max}$ &nbsp;={ 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
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$|s_+(t)|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
$t_2$ &nbsp;= { 25 3% } &nbsp;$\mu \text{s}$
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$t_2\ = \ ${ 25 3% } &nbsp;${\rm &micro; s}$
  
  
{Zu welchem Zeitpunkt $t_3$ ist die Zeigerlänge $|s_+(t)|$ erstmalig gleich $0$?
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{Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_3$&nbsp; ist die Zeigerlänge&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; erstmalig gleich Null?
 
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$t_3$ &nbsp;= { 75 3% }  &nbsp;$\mu \text{s}$
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$t_3\ = \ $ { 75 3% }  &nbsp;${\rm &micro; s}$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Das analytische Signal lautet allgemein:
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[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png|right|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
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'''(1)'''&nbsp; Das analytische Signal lautet allgemein:
 
:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm
 
j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält $\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= 1\ \text{V}}$ und $\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$ (siehe linke Grafik).
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Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert&nbsp; $1$&nbsp; an und man erhält (siehe linke Grafik):
 
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*$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png|center|Drei verschiedene analytische Signale]]
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*$\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.
 
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'''(2)'''&nbsp; Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
'''2.'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
 
 
:$$s_{+}(t)  =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
:$$s_{+}(t)  =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}
 
50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}
\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t })+\\ - {\rm j}
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\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t })  - {\rm j}
 
\cdot
 
\cdot
 
  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
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50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
 
50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
 
\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
 
\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
Bei alleiniger Berücksichtigung des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ würde der erste Nulldurchgang bei $t_1 = T_0/4$ auftreten, also nach $5 \ \mu \text{s}$, wobei $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ \mu \text{s}$ die Periodendauer dieses Signals bezeichnet. Das Sinussignal mit der Frequenz $60 \ \text{ kHz}$ ist während der gesamten ersten Halbwelle ($0 \, ... \, 8.33\ \mu \text{s}$) positiv. Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von $s(t)  \Rightarrow  t_1 > 5\ \mu  \text{s}$. Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
 
  
Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte. Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
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Richtig ist  der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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*Bei alleiniger Berücksichtigung des&nbsp; $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$&nbsp; würde der erste Nulldurchgang bei&nbsp; $t_1 = T_0/4$&nbsp; auftreten, also nach&nbsp; $5 \ {\rm &micro; s}$, wobei&nbsp; $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm &micro; s}$&nbsp; die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.
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*Das Sinussignal mit der Frequenz&nbsp; $60 \ \text{kHz}$&nbsp; ist während der gesamten ersten Halbwelle&nbsp; $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm &micro; s})$&nbsp; positiv.
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*Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von&nbsp; $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm &micro; s}$.
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*Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.  
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*Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt&nbsp; $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
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'''3.'''  Der Maximalwert von $|s_+(t)|$ wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also $\underline {2\ \text{ V}}$.
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'''(3)'''&nbsp; Der Maximalwert von&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen.&nbsp; Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also&nbsp; $\underline {2\ \text{ V}}$.
  
Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{60}$ seinen „Rückstand” von $90^{\circ} \; (\pi /2)$ gegenüber dem langsameren Zeiger ($\omega_{50}$) aufgeholt hat:
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Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{60}$&nbsp; seinen „Rückstand” von&nbsp; $90^{\circ} \; (\pi /2)$&nbsp; gegenüber dem langsameren Zeiger&nbsp; ($\omega_{50}$)&nbsp; aufgeholt hat:
 
:$$\omega_{\rm 60} \cdot  t_2 - \omega_{\rm
 
:$$\omega_{\rm 60} \cdot  t_2 - \omega_{\rm
 
50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}
 
50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2  = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}-
 
\Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2  = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}-
 
f_{\rm 50})} =  \frac{1}{4
 
f_{\rm 50})} =  \frac{1}{4
\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}}.$$
+
\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$
Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger $5/4$ bzw. $6/4$ Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik). Das tatsächliche Signal $s(t)$ – also der Realteil von $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich $0$.
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*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger&nbsp; $5/4$&nbsp; bzw.&nbsp; $6/4$&nbsp; Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).  
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*Das tatsächliche, physikalische Signal&nbsp; $s(t)$ – also der Realteil von&nbsp; $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.
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'''(4)'''&nbsp;  Bedingung für&nbsp; $|s_+(t_3)| = 0$&nbsp; ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von&nbsp; $180^\circ$&nbsp; besteht, sodass sie sich auslöschen.
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*Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um&nbsp; $3\pi /2$&nbsp; weiter gedreht hat als der&nbsp; $50 \ \text{kHz-Anteil}$.  
  
'''4.'''  Bedingung für $|s_+(t_3)| = 0$ ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von $180^\circ$ besteht, sodass sie sich auslöschen. Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um $3\pi /2$ weiter gedreht hat als der $50 \ \text{kHz-Anteil}$. Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (3) gilt deshalb:
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*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt deshalb:
 
:$$t_3  = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
 
:$$t_3  = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
  {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}}.$$
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  {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 7. Mai 2021, 14:48 Uhr

Vorgegebenes Spektrum  $S_+(f)$

Betrachtet werden soll das analytische Signal  $s_+(t)$  mit dem Linienspektrum

$$S_{+}(f) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm 50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm 60}).$$

Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.

Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der  Einseitenband–Amplitudenmodulation  $\text{(ESB-AM)}$  eines sinusförmigen Nachrichtensignals  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  mit einem cosinusförmigen Trägersignal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$  auftreten, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird  $\text{(OSB–Modulation)}$.

Das analytische Signal könnte aber auch durch eine  $\text{(USB–Modulation)}$  des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  verwendet wird.



Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie das analytische Signal  $s_+(t)$  formelmäßig an.  Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt  $t = 0$?

$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t = 0)]\ = \ $

 $\text{V}$

2

Zu welcher Zeit  $t_1$  tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals  $s(t)$  relativ zum ersten Nulldurchgang des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  auf?
Hinweis:   Letzterer ist zur Zeit  $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.

Es gilt  $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.
Es gilt  $t_1 = 5 \ {\rm µ}\text{s}$.
Es gilt  $t_1 > 5 \ {\rm µ} \text{s}$.

3

Welchen Maximalwert nimmt der Betrag  $|s_+(t)|$  an?  Zu welchem Zeitpunkt  $t_2$  wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?

$|s_+(t)|_{\rm max}\ = \ $

 $\text{V}$
$t_2\ = \ $

 ${\rm µ s}$

4

Zu welchem Zeitpunkt  $t_3$  ist die Zeigerlänge  $|s_+(t)|$  erstmalig gleich Null?

$t_3\ = \ $

 ${\rm µ s}$


Musterlösung

Drei verschiedene analytische Signale

(1)  Das analytische Signal lautet allgemein:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$

Zum Zeitpunkt  $t = 0$  nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert  $1$  an und man erhält (siehe linke Grafik):

  • $\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
  • $\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.


(2)  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) - {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$

Der Realteil hiervon beschreibt das tatsächliche, physikalische Signal:

$$s(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Bei alleiniger Berücksichtigung des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  würde der erste Nulldurchgang bei  $t_1 = T_0/4$  auftreten, also nach  $5 \ {\rm µ s}$, wobei  $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm µ s}$  die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.
  • Das Sinussignal mit der Frequenz  $60 \ \text{kHz}$  ist während der gesamten ersten Halbwelle  $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm µ s})$  positiv.
  • Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von  $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm µ s}$.
  • Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt  $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.
  • Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt  $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.


(3)  Der Maximalwert von  $|s_+(t)|$  wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen.  Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also  $\underline {2\ \text{ V}}$.

Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:

$$\omega_{\rm 60} \cdot t_2 - \omega_{\rm 50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2 = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} = \frac{1}{4 \cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$
  • Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger  $5/4$  bzw.  $6/4$  Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).
  • Das tatsächliche, physikalische Signal  $s(t)$ – also der Realteil von  $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.


(4)  Bedingung für  $|s_+(t_3)| = 0$  ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von  $180^\circ$  besteht, sodass sie sich auslöschen.

  • Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um  $3\pi /2$  weiter gedreht hat als der  $50 \ \text{kHz-Anteil}$.
  • Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe  (3)  gilt deshalb:
$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$