Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Höhenlinien der 2D-WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße $(x, y)$ mit Mittelwert $(0, 0)$ und der 2D–WDF
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Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße  $(x,\hspace{0.05cm} y)$  mit Mittelwert  $(0,\hspace{0.05cm} 0)$  und der 2D–WDF
:$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$
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:$$f_{xy}(x,\hspace{0.05cm} y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$
  
Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ jeweils gleich $1$ sind. In der Skizze eingetragen sind:
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Bekannt ist weiter,  dass die beiden Streuungen  $\sigma_x$  und  $\sigma_y$  jeweils gleich  $1$  sind.  
* Eine Höhenlinie dieser WDF für $f_{xy}(x,y) =0.2$,
 
* die Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$, und
 
* die Korrelationsgerade $y=K(x)$.
 
  
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In der Skizze eingetragen sind:
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* Eine Höhenlinie dieser WDF für  $f_{xy}(x, y) =0.2$,
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* die  (dunkelblaue)  Ellipsenhauptachse  $\rm (EA)$, und
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* die  (rote)   Korrelationsgerade  $\rm (KG)$.
  
  
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
 
  
*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
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*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo  [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 
::Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,   
 
::Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,   
 
::Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.  
 
::Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.  
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{Wie gro&szlig; ist der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$?
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{Wie gro&szlig; ist der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy}$?
 
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$\rho_{xy} \ = \ $ { -0.727--0.687 }
 
$\rho_{xy} \ = \ $ { -0.727--0.687 }
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert $C = f_{xy}(0, 0)$ der WDF?
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{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert&nbsp; $C = f_{xy}(0, 0)$&nbsp; der WDF?
 
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$C \ = \ $ { 0.225 3% }
 
$C \ = \ $ { 0.225 3% }
  
  
{Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$ und $x$&ndash;Achse?
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{Wie groß ist der Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; zwischen Ellipsenhauptachse&nbsp; $\rm (EA)$&nbsp; und&nbsp; $x$&ndash;Achse?
 
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$\alpha\ = \ $ { -46--44 } $ \ \rm Grad$
 
$\alpha\ = \ $ { -46--44 } $ \ \rm Grad$
  
  
{Bei welchen Werten $x_0$ bzw. $y_0$ schneidet die H&ouml;henlinie $f_{xy}(x,y) = 0.2$ die Ellipsenhauptachse?  
+
{Bei welchen Werten&nbsp; $x_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $y_0$&nbsp; schneidet die H&ouml;henlinie&nbsp; $f_{xy}(x,y) = 0.2$&nbsp; die Ellipsenhauptachse?&nbsp; Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $x_0$&nbsp; und&nbsp; $y_0$?
<br>Welcher Zusammenhang besteht zwischen $x_0$ und $y_0$?
 
 
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$x_0/y_0 \ = \ $ { -1.03--0.97 }
 
$x_0/y_0 \ = \ $ { -1.03--0.97 }
  
  
{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden $K(x)$ zu?
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{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden&nbsp; $(KG)$&nbsp; zu?
 
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- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
 
- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
+ Der Winkel von $K(x)$ gegen&uuml;ber der $x$&ndash;Achse ist etwa $-35^\circ$.
+
+ Der Winkel der Korrelationsgeraden gegen&uuml;ber der&nbsp; $x$&ndash;Achse ist etwa&nbsp; $-35^\circ$.
+ Die Korrelationsgerade schneidet alle H&ouml;henlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.
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+ Die Korrelationsgerade schneidet alle H&ouml;henlinien dort,&nbsp; wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y  = 1$ könnte man erkennen, dass die Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ gleich sind, da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
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'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y  = 1$&nbsp; könnte man erkennen,&nbsp; dass&nbsp; $\sigma_x=\sigma_y$&nbsp; gilt,&nbsp; da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$&nbsp; die Koeffizienten bei&nbsp; $x^2$&nbsp; und&nbsp; $y^2$&nbsp; gleich sind.  
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*Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
 
:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$
 
\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Mit den unter Punkt '''(1)''' berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
+
'''(2)'''&nbsp; Mit den unter Punkt&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
 
:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}
 
:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}
 
=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$
 
=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Die allgemeine Gleichung lautet:  
 
'''(3)'''&nbsp; Die allgemeine Gleichung lautet:  
:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
+
:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan \ (\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
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*Gilt&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{xy} \ne 0$,&nbsp; so ist der Winkel immer&nbsp; $\alpha = \pm 45^\circ$,&nbsp; wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; ist.
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*Im vorliegenden Fall gilt&nbsp; $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.
  
*Gilt $\sigma_x = \sigma_y$ und $\rho_{xy} \ne 0$, so ist der Winkel immer $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von $\rho_{xy}$ ist.
 
*Im vorliegenden Fall gilt $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.
 
  
  
 
'''(4)'''&nbsp; F&uuml;r die eingezeichnete H&ouml;henlinie gilt:
 
'''(4)'''&nbsp; F&uuml;r die eingezeichnete H&ouml;henlinie gilt:
:$$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$
+
:$$f_{xy}(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(x^{2} +  y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=0.2\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-( x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-(x^{2} +  y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$
  
Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha = -45^\circ$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:
+
*Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist&nbsp; $\alpha = -45^\circ$.&nbsp; Deshalb muss&nbsp; $y_0 = - x_0$&nbsp; gelten. Daraus folgt weiter:
 
:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
 
:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it  x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}  
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it  x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}  
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$
  
*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten H&ouml;henlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$.  
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*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten H&ouml;henlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei&nbsp; $(+0.45, -0.45)$&nbsp; und&nbsp; $(-0.45, +0.45)$.  
*Der Quotient ist in beiden Fällen  $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.
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*Der Quotient ist in beiden Fällen&nbsp; $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.
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'''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:  
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:  
*Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' gilt f&uuml;r den Winkel der Korrelationsgeraden:
+
*Mit&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y$&nbsp; und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt f&uuml;r den Winkel der Korrelationsgeraden:
 
:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
 
:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
*Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.  
+
*Das bedeutet: &nbsp; Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.  
  
  
 
Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:  
 
Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:  
*L&ouml;st man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erh&auml;lt man nach L&ouml;sung einer quadratischen Gleichung
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*L&ouml;st man die Ellipsengleichung&nbsp; $($mit&nbsp; $z = 0.118)$,&nbsp; also&nbsp;
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:$$x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0,$$
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:nach&nbsp; $y$&nbsp; auf,&nbsp; so erh&auml;lt man nach L&ouml;sung einer quadratischen Gleichung:
 
:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot  x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
 
:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot  x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall, dass die beiden L&ouml;sungen $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind. Das heißt: &nbsp;  Der Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben.  
+
*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall,&nbsp; dass die beiden L&ouml;sungen&nbsp; $y_{\rm 1, \ 2}$&nbsp; identisch sind.&nbsp; Das heißt: &nbsp;  Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.  
*Die L&ouml;sung f&uuml;r positives $x$ lautet dann: &nbsp; $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
+
*Die L&ouml;sung f&uuml;r positives&nbsp; $x$&nbsp; lautet dann: &nbsp; $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erh&auml;lt man f&uuml;r den $y$-Wert des Tangentialpunktes:  
+
*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erh&auml;lt man f&uuml;r den&nbsp; $y$&ndash;Wert des Tangentialpunktes:  
 
:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0
 
:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} -  z = 0$$
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} -  z = 0$$
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\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) =  0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) =  0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
  
*Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: &nbsp; Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
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*Daraus ergibt sich&nbsp; $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$&nbsp; Das bedeutet aber auch: &nbsp; Der Tangentialpunkt&nbsp; $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$&nbsp; liegt exakt auf der Korrelationsgeraden&nbsp; $y=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
  
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 24. Februar 2022, 14:50 Uhr

Gaußsche 2D-WDF:   Höhenlinien

Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße  $(x,\hspace{0.05cm} y)$  mit Mittelwert  $(0,\hspace{0.05cm} 0)$  und der 2D–WDF

$$f_{xy}(x,\hspace{0.05cm} y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$

Bekannt ist weiter,  dass die beiden Streuungen  $\sigma_x$  und  $\sigma_y$  jeweils gleich  $1$  sind.

In der Skizze eingetragen sind:

  • Eine Höhenlinie dieser WDF für  $f_{xy}(x, y) =0.2$,
  • die  (dunkelblaue)  Ellipsenhauptachse  $\rm (EA)$, und
  • die  (rote)  Korrelationsgerade  $\rm (KG)$.



Hinweise:

Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.



Fragebogen

1

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient  $\rho_{xy}$?

$\rho_{xy} \ = \ $

2

Wie groß ist der Maximalwert  $C = f_{xy}(0, 0)$  der WDF?

$C \ = \ $

3

Wie groß ist der Winkel  $\alpha$  zwischen Ellipsenhauptachse  $\rm (EA)$  und  $x$–Achse?

$\alpha\ = \ $

$ \ \rm Grad$

4

Bei welchen Werten  $x_0$  bzw.  $y_0$  schneidet die Höhenlinie  $f_{xy}(x,y) = 0.2$  die Ellipsenhauptachse?  Welcher Zusammenhang besteht zwischen  $x_0$  und  $y_0$?

$x_0/y_0 \ = \ $

5

Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden  $(KG)$  zu?

Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
Der Winkel der Korrelationsgeraden gegenüber der  $x$–Achse ist etwa  $-35^\circ$.
Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien dort,  wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.


Musterlösung

(1)  Auch ohne die Angabe  $\sigma_x = \sigma_y = 1$  könnte man erkennen,  dass  $\sigma_x=\sigma_y$  gilt,  da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$  die Koeffizienten bei  $x^2$  und  $y^2$  gleich sind.

  • Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$


(2)  Mit den unter Punkt  (1)  berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:

$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}} =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$


(3)  Die allgemeine Gleichung lautet:

$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan \ (\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
  • Gilt  $\sigma_x = \sigma_y$  und  $\rho_{xy} \ne 0$,  so ist der Winkel immer  $\alpha = \pm 45^\circ$,  wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von  $\rho_{xy}$  ist.
  • Im vorliegenden Fall gilt  $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.


(4)  Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:

$$f_{xy}(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=0.2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$
  • Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist  $\alpha = -45^\circ$.  Deshalb muss  $y_0 = - x_0$  gelten. Daraus folgt weiter:
$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$
  • Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei  $(+0.45, -0.45)$  und  $(-0.45, +0.45)$.
  • Der Quotient ist in beiden Fällen  $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.



(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Mit  $\sigma_x = \sigma_y$  und dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden:
$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
  • Das bedeutet:   Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.


Nachfolgend der Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage:

  • Löst man die Ellipsengleichung  $($mit  $z = 0.118)$,  also 
$$x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0,$$
nach  $y$  auf,  so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung:
$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
  • Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall,  dass die beiden Lösungen  $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind.  Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.
  • Die Lösung für positives  $x$  lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
  • Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den  $y$–Wert des Tangentialpunktes:
$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
  • Daraus ergibt sich  $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$  Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt  $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$  liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$