Aufgaben:Aufgabe 4.4: Zum Quantisierungsrauschen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(8 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 4: Zeile 4:
  
 
[[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang]]
 
[[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang]]
Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal $q(t)$ mit dem Wertebereich $±q_{\rm max}$ und der Periodendauer $T_0$ aus.
+
Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung  $P_{\rm Q}$  gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal  $q(t)$  mit dem Wertebereich  $±q_{\rm max}$  und der Periodendauer  $T_0$  aus.
*Im mittleren Zeitbereich $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$ gilt:   $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
+
*Im mittleren Zeitbereich  $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$  gilt:   $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
*Die Leistung des Signals $q(t)$ bezeichnen wir hier als die Sendeleistung $P_{\rm S}$ .
+
*Die Leistung des Signals  $q(t)$  bezeichnen wir hier als die Sendeleistung  $P_{\rm S}$.
  
  
$q(t)$ wird entsprechend der Grafik mit $M = 6$ Stufen quantisiert:  
+
Das Signal  $q(t)$  wird gemäß der Grafik mit  $M = 6$  Stufen quantisiert.  Das quantisierte Signal ist  $q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:  
*Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich $±Q_{\rm max}$ ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$ aufweist.  
+
*Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich  $±Q_{\rm max}$  ausgelegt,  so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite  ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$  aufweist.  
*Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe (5) ausgegangen werden.
+
*Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für  $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$.  Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich der Teilaufgabe  '''(5)'''  ausgegangen werden.
  
Die so genannte '''Quantisierungsrauschleistung''' ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals $ε(t) = q_{\rm Q}(t) q(t)$ definiert. Es gilt
+
 
 +
Die so genannte  '''Quantisierungsrauschleistung'''  ist als das zweite Moment des Differenzsignals  $ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$  definiert.  Es gilt
 
:$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
 
:$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
wobei die Zeit $T_0'$ geeignet zu wählen ist.  
+
wobei die Zeit  $T_0'$  geeignet zu wählen ist.  Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis    $\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm}$,  das meist logarithmisch  (in dB)  angegeben wird.
 +
 
 +
 
  
Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis   $\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$ das meist logarithmisch (in dB) angegeben wird.
 
  
  
''Hinweise:''
+
Hinweise:  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Quantisierung_und_Quantisierungsrauschen|Quantisierung und Quantisierungsrauschen]].
+
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Quantisierung_und_Quantisierungsrauschen|"Quantisierung und Quantisierungsrauschen"]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
+
  
  
Zeile 30: Zeile 32:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die Signalleistung $P_{\rm S}$ (auf den Widerstand $1 \ \rm Ω$ bezogen).
+
{Berechnen Sie die Signalleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; (auf den Widerstand $1 \ \rm Ω$&nbsp; bezogen).
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$P_{\rm S} \ = \ $  { 12 3% } $\ \rm V^2$  
 
$P_{\rm S} \ = \ $  { 12 3% } $\ \rm V^2$  
  
{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal $ε(t)$ zu?
+
{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal &nbsp;(t)= q_{\rm Q}(t)-q(t) $&nbsp; zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $ε(t)$ hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
+
+ $ε(t)$&nbsp; hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
- $ε(t)$ hat einen stufenförmigen Verlauf.
+
- $ε(t)$&nbsp; hat einen stufenförmigen Verlauf.
+ $ε(t)$ ist auf den Bereich $±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$ beschränkt.
+
+ $ε(t)$&nbsp; ist auf den Bereich &nbsp;$±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$&nbsp; beschränkt.
+ $ε(t)$ besitzt die Periodendauer $T_0' = T_0/M$.
+
+ $ε(t)$&nbsp; besitzt die Periodendauer &nbsp;$T_0' = T_0/M$.
  
{Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ für $M=6$?
+
{Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung &nbsp;$P_{\rm Q}$&nbsp; für &nbsp;$M=6$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$P_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3%  } $\ \rm V^2$  
 
$P_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3%  } $\ \rm V^2$  
  
{Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für $M = 6$.
+
{Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für &nbsp;$M = 6$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 15.56 3% } $\ \rm dB$  
 
$10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 15.56 3% } $\ \rm dB$  
  
{Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit $N = 8$ bzw. $N = 16$ Bit?   
+
{Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit &nbsp;$N = 8$&nbsp; bzw. &nbsp;$N = 16$ Bit?   
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 48.16 3% } $\ \rm dB$
 
$N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 48.16 3% } $\ \rm dB$
$N = 16\text{:}\hspace{0.2cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ ${ 96.32 3% } $\ \rm dB$
+
$N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ ${ 96.32 3% } $\ \rm dB$
  
{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die abgeleitete Gleichung für $ρ_{\rm Q}$ angewandt werden kann?
+
{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein,&nbsp; damit die abgeleitete Gleichung für &nbsp;$ρ_{\rm Q}$&nbsp; angewandt werden kann?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
+ Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
 
+ Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
 
+ Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
 
+ Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
+ Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst ($Q_{\rm max} = q_{\rm max}$).
+
+ Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst &nbsp;$(Q_{\rm max} = q_{\rm max})$.
  
  
Zeile 65: Zeile 67:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Die Signalleistung $P_S$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand verwendet und dementsprechend für die Leistung die Einheit $V^2$in Kauf genommen wird. Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über $T_0/2$:
+
'''(1)'''&nbsp; Die Signalleistung&nbsp; $P_{\rm S} $&nbsp; ist gleich dem zweiten Moment von&nbsp; $q(t)$,&nbsp; wenn der Bezugswiderstand&nbsp; $1 \ \rm Ω$&nbsp; verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit&nbsp; $\ \rm V^2$&nbsp; in Kauf genommen wird.  
$$P_{\rm S}  =  \frac{1}{T_0/2} \cdot \int\limits_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int\limits_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t=$$ $$ =  \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int\limits_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$
+
*Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich&nbsp;  $T_0/2$:
Hierbei wurde die Substitution $x = 2 · t/T_0$ verwendet. Mit $q_{max} = 6 V$ erhält man $P_S = 12 V^2$.
+
:$$P_{\rm S}  =  \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t=  \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Hierbei wurde die Substitution&nbsp; $x = 2 · t/T_0$&nbsp; verwendet.&nbsp; Mit&nbsp; $q_{\rm max} = 6 \ \rm  V$&nbsp; erhält man&nbsp; $P_\rm S\hspace{0.15cm}\underline { = 12 \ V^2}$.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Fehlersignal für&nbsp; $Q_{\rm max} = q_{\rm max}$]]
 +
'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
 +
*Wir gehen hier von&nbsp; $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$&nbsp; aus.
 +
*Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal&nbsp; $ε(t)$&nbsp; zwischen&nbsp; $±1\ \rm V$.
 +
*Die Periodendauer ist&nbsp; $T_0' = T_0/6$.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp;  Das Fehlersignal&nbsp; $ε(t)$&nbsp; verläuft ebenso wie&nbsp; $q(t)$&nbsp; sägezahnförmig.
 +
*Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
 +
*Zu beachten ist allerdings die um den Faktor&nbsp; $M$&nbsp; kleinere Amplitude,&nbsp; während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
 +
:$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp;  Die Ergebnisse der Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; führen zum Quantisierungs–SNR:
 +
:$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(5)'''&nbsp;  Mit&nbsp; $M = 2^N$&nbsp; erhält man allgemein:
 +
:$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \approx 6.02\,{\rm dB} \cdot N .$$
 +
*Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
 +
:$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}  \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''2.''' Wir gehen hier von $Q_{max} = q_{max} = 6 V$ aus. Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal $ε(t)$ zwischen $±1V$ und der Periodendauer $T0' = T_0/6$.
 
[[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png]]
 
  
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und.4.
 
  
 +
'''(6)'''&nbsp;  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> müssen erfüllt sein:
 +
[[Datei:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png|right|frame|Quantisierung mit&nbsp; $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$]]
 +
*Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang&nbsp; $ρ_{\rm Q} = M^2$&nbsp; nicht.
 +
*Bei einer anderen Amplitudenverteilung&nbsp; (WDF)&nbsp; als der Gleichverteilung ist&nbsp; $ρ_{\rm Q} = M^2$&nbsp; ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
 +
*Ist &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$,&nbsp, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen,&nbsp, während mit &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.
  
'''3.''' Das Fehlersignal $ε(t)$ verläuft ebenso wie $q(t)$ sägezahnförmig. Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe a). Zu beachten ist die um den Faktor M kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
 
$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$
 
  
'''4.''' Die Ergebnisse der Teilaufgaben a) und c) führen zum Quantisierungs–SNR:
+
Die Grafik zeigt die Fehlersignale &nbsp;$ε(t)$&nbsp;
$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
+
#für &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; (links) und
 +
#&nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$&nbsp; (rechts):
  
'''5.''' Mit $M = 2^N$ erhält man allgemein:
+
$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.02\,{\rm dB}} \cdot N .$$
+
In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
 
$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}  \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
 
$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  
'''6.''' Alle diese Voraussetzungen müssen erfüllt sein. Bei nichtlinearer Quantisierung gilt $ρ_Q = M^2$ nicht. Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist $ρ_Q = M^2$ ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird. Ist $Q_{max} < q_{max}$, so kommt es zu einem unzulässigen Abschneiden der Spitzen, während mit $Q_{max} > q_{max}$ die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.
 
[[Datei:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png]]
 
  
Die Grafik zeigt die Fehlersignale $ε(t)$ für $Q_{max} > q_{max}$ (links) und $Q_{max} < q_{max}$ (rechts). In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt c) berechnet.
 
  
  

Aktuelle Version vom 9. April 2022, 13:01 Uhr

Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang

Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung  $P_{\rm Q}$  gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal  $q(t)$  mit dem Wertebereich  $±q_{\rm max}$  und der Periodendauer  $T_0$  aus.

  • Im mittleren Zeitbereich  $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$  gilt:   $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
  • Die Leistung des Signals  $q(t)$  bezeichnen wir hier als die Sendeleistung  $P_{\rm S}$.


Das Signal  $q(t)$  wird gemäß der Grafik mit  $M = 6$  Stufen quantisiert.  Das quantisierte Signal ist  $q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:

  • Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich  $±Q_{\rm max}$  ausgelegt,  so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite  ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$  aufweist.
  • Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für  $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$.  Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich der Teilaufgabe  (5)  ausgegangen werden.


Die so genannte  Quantisierungsrauschleistung  ist als das zweite Moment des Differenzsignals  $ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$  definiert.  Es gilt

$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$

wobei die Zeit  $T_0'$  geeignet zu wählen ist.  Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis    $\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm}$,  das meist logarithmisch  (in dB)  angegeben wird.



Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Signalleistung  $P_{\rm S}$  (auf den Widerstand $1 \ \rm Ω$  bezogen).

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^2$

2

Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal  $ε(t)= q_{\rm Q}(t)-q(t) $  zu?

$ε(t)$  hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
$ε(t)$  hat einen stufenförmigen Verlauf.
$ε(t)$  ist auf den Bereich  $±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$  beschränkt.
$ε(t)$  besitzt die Periodendauer  $T_0' = T_0/M$.

3

Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung  $P_{\rm Q}$  für  $M=6$?

$P_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm V^2$

4

Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für  $M = 6$.

$10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

5

Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit  $N = 8$  bzw.  $N = 16$ Bit?

$N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$
$N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

6

Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein,  damit die abgeleitete Gleichung für  $ρ_{\rm Q}$  angewandt werden kann?

Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst  $(Q_{\rm max} = q_{\rm max})$.


Musterlösung

(1)  Die Signalleistung  $P_{\rm S} $  ist gleich dem zweiten Moment von  $q(t)$,  wenn der Bezugswiderstand  $1 \ \rm Ω$  verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit  $\ \rm V^2$  in Kauf genommen wird.

  • Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich  $T_0/2$:
$$P_{\rm S} = \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t= \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$
  • Hierbei wurde die Substitution  $x = 2 · t/T_0$  verwendet.  Mit  $q_{\rm max} = 6 \ \rm V$  erhält man  $P_\rm S\hspace{0.15cm}\underline { = 12 \ V^2}$.


Fehlersignal für  $Q_{\rm max} = q_{\rm max}$

(2)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

  • Wir gehen hier von  $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$  aus.
  • Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal  $ε(t)$  zwischen  $±1\ \rm V$.
  • Die Periodendauer ist  $T_0' = T_0/6$.


(3)  Das Fehlersignal  $ε(t)$  verläuft ebenso wie  $q(t)$  sägezahnförmig.

  • Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe  (1).
  • Zu beachten ist allerdings die um den Faktor  $M$  kleinere Amplitude,  während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Ergebnisse der Teilaufgaben  (1)  und  (3)  führen zum Quantisierungs–SNR:

$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Mit  $M = 2^N$  erhält man allgemein:

$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \approx 6.02\,{\rm dB} \cdot N .$$
  • Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Alle genannten Voraussetzungen müssen erfüllt sein:

Quantisierung mit  $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$
  • Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang  $ρ_{\rm Q} = M^2$  nicht.
  • Bei einer anderen Amplitudenverteilung  (WDF)  als der Gleichverteilung ist  $ρ_{\rm Q} = M^2$  ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
  • Ist  $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$,&nbsp, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen,&nbsp, während mit  $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$  die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.


Die Grafik zeigt die Fehlersignale  $ε(t)$ 

  1. für  $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$  (links) und
  2.  $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$  (rechts):


In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt  (3)  berechnet.