Aufgabe 4.4: Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood

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Kanalübergangswahrscheinlichkeiten

Zur Verdeutlichung von MAP– und ML–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten $m_0 = 0$ und $m_1 = 1$, die durch die Signalwerte $s_0$ bzw. $s_1$ dargestellt werden:

$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$

$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$

Die Auftrittswahrscheinlichkeiten sind:

$${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$$

Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen, nämlich

$$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$$

Die bedingten Kanalwahrscheinlichkeiten können der Grafik entnommen werden.

Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden. Zur Verfügung stehen:

• der Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger), der die Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s = s_i)$ nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:

$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) ]\hspace{0.05cm},$$

• der Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger); dieser berücksichtigt bei seinem Entscheidungsprozess auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:

$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) ]\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Optimale Empfängerstrategien sowie das Kapitel Struktur des optimalen Empfängers des vorliegenden Buches.
• Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit des Buches „Stochastische Signaltheorie”.

Fragebogen

1

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die Empfangswerte auf?

${\rm Pr}(r = +1)$ =

${\rm Pr}(r = \, –1)$ =

${\rm Pr}(r = 0)$ =

2

Berechnen Sie alle Rückschlusswahrscheinlichkeiten.

${\rm Pr}(s_0|r = +1)$ =

${\rm Pr}(s_1|r = +1)$ =

${\rm Pr}(s_0|r = \, –1)$ =

${\rm Pr}(s_1|r = \, –1)$ =

${\rm Pr}(s_0|r = 0)$ =

${\rm Pr}(s_1|r = 0)$ =

3

Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger für $r = +1$?

	ja,
	nein.

4

Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger für $r = \, –1$?

	ja,
	nein.

5

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung „$r = 0$”?

	Der MAP–Empfänger entscheidet sich für $s_0$.
	Der MAP–Empfänger entscheidet sich für $s_1$.
	Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_0$.
	Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_1$.

6

Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des ML–Empfängers.

${\rm ML\text{:} \hspace{0.15cm} Pr(Symbolfehler)}$ =

7

Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des MAP–Empfängers.

${\rm MAP\text{:} \hspace{0.15cm} Pr(Symbolfehler)}$ =

Musterlösung

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