Aufgaben:Aufgabe 4.4: Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood: Unterschied zwischen den Versionen

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Zur Verdeutlichung von MAP– und ML–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten  $m_0 = 0$  und  $m_1 = 1$, die durch die Signalwerte  $s_0$  bzw.  $s_1$  dargestellt werden:  
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Zur Verdeutlichung von  "Maximum–a–posteriori"  $\rm (MAP)$–   und  "Maximum–Likelihood"  $\rm (ML)$–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten  $m_0 = 0$  und  $m_1 = 1$,  die durch die Signalwerte  $s_0$  bzw.  $s_1$  dargestellt werden:  
 
:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$
 
:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$
 
:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$
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:$${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$$
  
*Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen, nämlich  
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*Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen,  nämlich  
 
:$$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$$
  
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Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden. Zur Verfügung stehen:
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Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden.  Zur Verfügung stehen:
* der  '''Maximum–Likelihood–Empfänger'''  (ML–Empfänger), der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:
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* der  '''Maximum–Likelihood–Empfänger'''  $\rm (ML$–Empfänger$)$,  der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:
 
:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho  
 
:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho  
 
|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$
 
|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$
  
* der  '''Maximum–a–posteriori–Empfänger'''  (MAP–Empfänger); dieser berücksichtigt bei seinem Entscheidungsprozess auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
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* der  '''Maximum–a–posteriori–Empfänger'''  $\rm (MAP$–Empfänger$)$;  dieser berücksichtigt bei seiner Entscheidung auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
 
:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho  
 
:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho  
 
|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
 
|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien| "Optimale Empfängerstrategien"]].
  
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| "Struktur des optimalen Empfängers"]].
  
''Hinweise:''
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* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit| "Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit"]]  des Buches   „Stochastische Signaltheorie”.  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien| Optimale Empfängerstrategien]].
 
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| Struktur des optimalen Empfängers]].
 
* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit| Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]  des Buches „Stochastische Signaltheorie”.  
 
 
   
 
   
  
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+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.
 
+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.
  
{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des  '''ML–Empfängers'''.
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{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des   '''ML–Empfängers'''.
 
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${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $  { 0.15 3% }
 
${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $  { 0.15 3% }
  
{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des  '''MAP–Empfängers'''.
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{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des   '''MAP–Empfängers'''.
 
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${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.1 3% }
 
${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.1 3% }
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:$${\rm Pr} ( r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr} ( r = +1) - {\rm Pr} ( r = -1) = 1 - 0.6 - 0.15  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr} ( r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr} ( r = +1) - {\rm Pr} ( r = -1) = 1 - 0.6 - 0.15  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm}.$$
  
Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt auch:
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*Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt auch:
 
:$${\rm Pr} ( r = 0) = 0.75 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.4 = 0.25\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr} ( r = 0) = 0.75 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.4 = 0.25\hspace{0.05cm}.$$
  
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= \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
 
= \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
  
Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
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*Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
 
:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$  
 
:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$  
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'''(3)'''  Es gelte $r = +1$. Dann entscheidet sich
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'''(3)'''  Es gelte   $r = +1$.  Dann entscheidet sich
* der MAP–Empfänger für $s_0$, da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$
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* der MAP–Empfänger für  $s_0$,  da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$
* der ML–Empfänger ebenfalls für $s_0$, da ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$
 
  
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* der ML–Empfänger ebenfalls für  $s_0$,  da ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$
  
Richtig ist also <u>NEIN</u>.
 
  
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Richtig ist also&nbsp; <u>NEIN</u>.
  
'''(4)'''&nbsp; <u>NEIN</u> gilt auch unter der Voraussetzung &bdquo;$r = \, &ndash;1$&rdquo;, da keine Verbindung zwischen $s_0$ und &bdquo;$r = \, &ndash;1$&rdquo; besteht.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; <u>NEIN</u>&nbsp; gilt auch unter der Voraussetzung&nbsp; &bdquo;$r = \, &ndash;1$&rdquo;,&nbsp; da keine Verbindung zwischen&nbsp; $s_0$&nbsp; und&nbsp; &bdquo;$r = \, &ndash;1$&rdquo;&nbsp; besteht.
  
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
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*Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich für das Ereignis $s_0$, da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$
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'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
*Dagegen wird sich der ML&ndash;Empfänger für $s_1$ entscheiden, da ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$
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*Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich für das Ereignis&nbsp; $s_0$,&nbsp; da&nbsp; ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$
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*Dagegen wird sich der ML&ndash;Empfänger für&nbsp; $s_1$&nbsp; entscheiden,&nbsp; da ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$
  
  
 
'''(6)'''&nbsp; Der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger
 
'''(6)'''&nbsp; Der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger
* entscheidet sich nur für $s_0$, wenn $r = +1$ ist,
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* entscheidet sich nur für&nbsp; $s_0$,&nbsp; wenn&nbsp; $r = +1$&nbsp; ist,
* macht also keinen Fehler, wenn $s_1$ gesendet wurde,
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* macht also keinen Fehler,&nbsp; wenn&nbsp; $s_1$&nbsp; gesendet wurde,
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* macht nur einen Fehler bei der Kombination &bdquo;$s_0$&rdquo; und &bdquo;$r = 0$&rdquo;:
 
* macht nur einen Fehler bei der Kombination &bdquo;$s_0$&rdquo; und &bdquo;$r = 0$&rdquo;:
 
:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.75 \cdot 0.2  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.75 \cdot 0.2  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}  \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(7)'''&nbsp; Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich dagegen bei &bdquo;$r = 0$&rdquo; für $s_0$. Einen Symbolfehler gibt es also nur in der Kombination &bdquo;$s_1$&rdquo; und &bdquo;$r = 0$&rdquo;. Daraus folgt:
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'''(7)'''&nbsp; Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich dagegen bei&nbsp; &bdquo;$r = 0$&rdquo;&nbsp; für&nbsp; $s_0$.
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* Einen Symbolfehler gibt es also nur in der Kombination &bdquo;$s_1$&rdquo; und &bdquo;$r = 0$&rdquo;.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}  \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML&ndash;Empfänger, da nun auch die unterschiedlichen Apriori&ndash;Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s_0)$ und ${\rm Pr}(s_1)$ berücksichtigt werden.
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*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML&ndash;Empfänger,  
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*da nun auch die unterschiedlichen A-priori&ndash;Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(s_0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(s_1)$&nbsp; berücksichtigt werden.
 
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Aktuelle Version vom 15. Juli 2022, 16:22 Uhr

Kanalübergangswahrscheinlichkeiten

Zur Verdeutlichung von  "Maximum–a–posteriori"  $\rm (MAP)$–   und  "Maximum–Likelihood"  $\rm (ML)$–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten  $m_0 = 0$  und  $m_1 = 1$,  die durch die Signalwerte  $s_0$  bzw.  $s_1$  dargestellt werden:

$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$
$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Auftrittswahrscheinlichkeiten seien:
$${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen,  nämlich
$$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Die bedingten Kanalwahrscheinlichkeiten können der Grafik entnommen werden.


Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden.  Zur Verfügung stehen:

  • der  Maximum–Likelihood–Empfänger  $\rm (ML$–Empfänger$)$,  der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:
$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$
  • der  Maximum–a–posteriori–Empfänger  $\rm (MAP$–Empfänger$)$;  dieser berücksichtigt bei seiner Entscheidung auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:



Fragebogen

1

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die Empfangswerte auf?

${\rm Pr}(r = +1) \ = \ $

${\rm Pr}(r = -1) \ = \ $

${\rm Pr}(r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $

2

Berechnen Sie alle Rückschlusswahrscheinlichkeiten.

${\rm Pr}(s_0|r = +1) \ = \ $

${\rm Pr}(s_1|r = +1) \ = \ $

${\rm Pr}(s_0|r = -1) \ = \ $

${\rm Pr}(s_1|r = -1) \ = \ $

${\rm Pr}(s_0|r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $

${\rm Pr}(s_1|r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $

3

Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung  „$r = +1$”?

ja,
nein.

4

Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung  „$r = -1$”?

ja,
nein.

5

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung  „$r = 0$”?

Der MAP–Empfänger entscheidet sich für  $s_0$.
Der MAP–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.
Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_0$.
Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.

6

Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des   ML–Empfängers.

${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $

7

Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des   MAP–Empfängers.

${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $


Musterlösung

(1)  Die gesuchten empfängerseitigen Auftrittswahrscheinlichkeiten sind

$${\rm Pr} ( r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} ( s_0) \cdot {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s = +1) = 0.75 \cdot 0.8 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.6}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr} ( r = -1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} ( s_1) \cdot {\rm Pr} ( r = -1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s = -1) = 0.25 \cdot 0.6 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr} ( r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr} ( r = +1) - {\rm Pr} ( r = -1) = 1 - 0.6 - 0.15 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm}.$$
  • Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt auch:
$${\rm Pr} ( r = 0) = 0.75 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.4 = 0.25\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Für die erste gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit gilt:

$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = \frac{{\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = +1)} = \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
  • Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{{\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = 0 )}= \frac{0.2 \cdot 0.75}{0.25} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1- {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.4} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Es gelte  $r = +1$.  Dann entscheidet sich

  • der MAP–Empfänger für  $s_0$,  da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$
  • der ML–Empfänger ebenfalls für  $s_0$,  da ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$


Richtig ist also  NEIN.


(4)  NEIN  gilt auch unter der Voraussetzung  „$r = \, –1$”,  da keine Verbindung zwischen  $s_0$  und  „$r = \, –1$”  besteht.


(5)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Der MAP–Empfänger entscheidet sich für das Ereignis  $s_0$,  da  ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$
  • Dagegen wird sich der ML–Empfänger für  $s_1$  entscheiden,  da ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$


(6)  Der Maximum–Likelihood–Empfänger

  • entscheidet sich nur für  $s_0$,  wenn  $r = +1$  ist,
  • macht also keinen Fehler,  wenn  $s_1$  gesendet wurde,
  • macht nur einen Fehler bei der Kombination „$s_0$” und „$r = 0$”:
$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.75 \cdot 0.2 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15} \hspace{0.05cm}.$$


(7)  Der MAP–Empfänger entscheidet sich dagegen bei  „$r = 0$”  für  $s_0$.

  • Einen Symbolfehler gibt es also nur in der Kombination „$s_1$” und „$r = 0$”.  Daraus folgt:
$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML–Empfänger,
  • da nun auch die unterschiedlichen A-priori–Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s_0)$  und  ${\rm Pr}(s_1)$  berücksichtigt werden.