Aufgabe 4.4: Koaxialkabel – Frequenzgang

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Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge l besitzt den folgenden Frequenzgang:
$$H_K(f) = e^{- \alpha_0 \cdot l} \cdot e^{- \alpha_1 \cdot l \cdot f} \cdot e^{- \alpha_2 \cdot l \sqrt{f}} \cdot e^{-j \cdot \beta_1 \cdot l \cdot f} \cdot e^{-j \cdot \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}}$$
Die Dämpfungsparameter α0, α1 und α2 sind in Neper (Np), die Phasenparameter β1 und β2 in Radian (rad) einzusetzen.
Es gelten folgende Zahlenwerte:
$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems
  • die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):
$${\rm a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
  • die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):
$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$
In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Dies ist erlaubt, da α2 und β2 genau den gleichen Zahlenwert – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten – besitzen. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
$${\rm a}_{\rm \star(Np)} = {\rm a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {\rm a}_{\rm \star(dB)}$$
lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate R und Kabellänge l einheitlich behandeln.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2 dieses Buches. Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das folgende Interaktionsmodul benutzen:
Dämpfung von Kupferkabeln


Fragebogen

1

Welche Terme von HK(f) führen zu keinen Verzerrungen? Der

α0–Term,
α1–Term,
α2–Term,
β1–Term,
β2–Term,

2

Welche Länge lmax könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 1% gedämpft wird?

$l_\text{max}$ =

$km$

3

Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz f = 70 MHz, wenn die Kabellänge l = 2 km beträgt?

$l = 2\ km:\ a_K(f = 70\ MHz)$ =

$Np$

4

Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den α2–Term berücksichtigt?

$nur\ \alpha_2:\ a_K(f = 70\ MHz) $ =

$Np$

5

Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen Np und dB? Welcher dB–Wert ergibt sich für die unter d) berechnete Dämpfung?

$nur\ \alpha_2:\ a_K(f = 70\ MHz) $ =

$dB$

6

Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend, dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den α2–Wert beschränkt?

Man kann auch auf den Phasenterm mit β1 verzichten.
Man kann auch auf den Phasenterm mit β2 verzichten.
a ≈ 40 dB gilt für ein System mit R = 70 Mbit/s und l = 2 km.
a ≈ 40 dB gilt für ein System mit R = 140 Mbit/s und l = 2 km.
a ≈ 40 dB gilt für ein System mit R = 560 Mbit/s und l = 1 km.


Musterlösung

1.  Der α0–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der β1–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei  ⇒  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4.
2.  Mit a0 = a0 · l muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln} \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} \hspace{0.05cm}.$$
Damit erhält man für die maximale Kabellänge
$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
3.  Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
$$a_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \\ = [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \\ = [0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
4.  Entsprechend der Berechnung bei Punkt 3) erhält man hier den Dämpfungswert 4.555 Np.
5.  Für eine jede positive Größe x gilt:
$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Der Dämpfungswert 4.555 Np ist somit identisch mit 39.56 dB.
6.  Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit α2 gilt für den Frequenzgang:
$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
Verzichtet man auf den β1–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert τ1 = (β1 · l)/2π kleiner.
Verzichtet man auf den β2–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
  • Der Frequenzgang HK(f) erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss HK(f) minimalphasig sein.
  • Die Impulsantwort hK(t) ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um t = 0, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: aK(f) und bK(f) eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate R = 140 Mbit/s ⇒ R/2 = 70 Mbit/s und der Kabellänge l = 2 km gilt tatsächlich a ≈ 40 dB (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe). Ein System mit vierfacher Bitrate (R/2 = 280 Mbit/s) und halber Länge (l = 1 km) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. Dagegen gilt für ein System mit R/2 = 35 Mbit/s und l = 2 km:
$$a_{\rm dB} = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz} \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5.