Aufgaben:Aufgabe 4.4: Koaxialkabel – Frequenzgang: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1813__LZI_A_4_4.png|right|Verschiedene Koaxialkabel]]
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[[Datei:LZI_A_4_4_vers3.png|right|frame|Verschiedene Koaxialkabel]]
Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge $l$ mit  
+
Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge  $l$  mit  
*dem Kerndurchmesser 2.6 mm,  
+
*dem Kerndurchmesser  $\text{2.6 mm}$,  und
*dem Außendurchmesser 9.5 mm, und
+
*dem Außendurchmesser  $\text{9.5 mm}$
 
   
 
   
 +
 
besitzt den folgenden Frequenzgang:
 
besitzt den folgenden Frequenzgang:
$$H_{\rm K}(f)   {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}  \cdot
+
:$$H_{\rm K}(f) {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}  \cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
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   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer” (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte:
+
Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer”  (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer”  (rad/km).  Es gelten folgende Zahlenwerte:
$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+
:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
  \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},
+
:$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
  \hspace{0.2cm}
+
:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
  \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems
+
Zur systemtheoretischen Beschreibung eines Koaxialkabels verwendet man
  
* die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):
+
* die Dämpfungsfunktion  (in Np bzw. dB):
$${\rm a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|
+
:$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|
 
     \hspace{0.05cm},$$
 
     \hspace{0.05cm},$$
  
* die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):
+
* die Phasenfunktion  (in rad bzw. Grad):
$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
+
:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
 
     \hspace{0.05cm}.$$
 
     \hspace{0.05cm}.$$
  
 
In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
 
In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
$$H_{\rm K}(f) =
+
:$$H_{\rm K}(f) =
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   \sqrt{f}}  \cdot
 
   \sqrt{f}}  \cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
   \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
+
   \sqrt{f}}$$
   \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
 +
   \sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 
   {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
 
   {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert  besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
+
Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert  besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.  
$${\rm a}_{\rm \star(Np)} = {\rm a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {\rm a}_{\rm \star(dB)}$$
+
 
lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.
+
Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
 +
:$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$
 +
lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.
 +
 
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''Hinweise:''
+
Hinweise:  
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
+
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel    [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
+
*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das Interaktionsmodul [[Dämpfung von Kupferkabeln]] benutzen.
+
*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive  "HTML 5/JS"–Applet  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]  benutzen.
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Terme von <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) führen zu keinen Verzerrungen? Der
+
{Welche Terme von &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; führen zu keinen Verzerrungen? Der
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ <i>&alpha;</i><sub>0</sub>&ndash;Term,
+
+ $\alpha_0$&ndash;Term,
- <i>&alpha;</i><sub>1</sub>&ndash;Term,
+
- $\alpha_1$&ndash;Term,
- <i>&alpha;</i><sub>2</sub>&ndash;Term,
+
- $\alpha_2$&ndash;Term,
+ <i>&beta;</i><sub>1</sub>&ndash;Term,
+
+ $\beta_1$&ndash;Term,
- <i>&beta;</i><sub>2</sub>&ndash;Term,
+
- $\beta_2$&ndash;Term.
  
  
{Welche Länge <i>l</i><sub>max</sub> könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 1% gedämpft wird?
+
{Welche Länge &nbsp;$l_{\rm max}$&nbsp; könnte ein solches Kabel besitzen,&nbsp; damit ein Gleichsignal um nicht mehr als &nbsp;$1\%$&nbsp; gedämpft wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$l_\text{max}$ = { 6.173 3% } $km$
+
$l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$
  
  
{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz <i>f</i> = 70 MHz, wenn die Kabellänge <i>l</i> = 2 km beträgt?
+
{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 70 \ \rm MHz$,&nbsp; wenn die Kabellänge &nbsp;$\underline{l = 2 \ \rm km}$&nbsp; beträgt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$l = 2\ km:\ a_K(f = 70\ MHz)$ = { 4.619 3% } $Np$
+
$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$
  
  
{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den <i>&alpha;</i><sub>2</sub>&ndash;Term berücksichtigt?
+
{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen,&nbsp; wenn man nur den &nbsp;$\alpha_2$&ndash;Term berücksichtigt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$nur\ \alpha_2:\ a_K(f = 70\ MHz) $ = { 4.555 3% } $Np$
+
$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$
  
  
{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen Np und dB? Welcher dB&ndash;Wert ergibt sich für die unter d) berechnete Dämpfung?
+
{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen &nbsp;$\rm Np$&nbsp; und &nbsp;$\rm dB$? &nbsp;Welcher &nbsp;$\rm dB$&ndash;Wert ergibt sich für die unter&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechnete Dämpfung?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$nur\ \alpha_2:\ a_K(f = 70\ MHz) $ = { 39.56 3% } $dB$
+
$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$
  
  
{Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend, dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den <i>&alpha;</i><sub>2</sub>&ndash;Wert beschränkt?
+
{Welche Aussagen sind zutreffend, wenn man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den &nbsp;$\alpha_2$&ndash;Wert beschränkt?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Man kann auch auf den Phasenterm mit <i>&beta;</i><sub>1</sub> verzichten.
+
+ Man kann auch auf den Phasenterm mit &nbsp;$\beta_1$&nbsp; verzichten.
- Man kann auch auf den Phasenterm mit <i>&beta;</i><sub>2</sub> verzichten.
+
- Man kann auch auf den Phasenterm mit &nbsp;$\beta_2$&nbsp; verzichten.
- a<sub>&#8727;</sub> &asymp; 40 dB gilt für ein System mit <i>R</i> = 70 Mbit/s und <i>l</i> = 2 km.
+
- $a_\star \approx 40 \ \rm dB$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R = 70 \ \rm Mbit/s$&nbsp; und &nbsp;$l = 2 \ \rm  km$.
+ a<sub>&#8727;</sub> &asymp; 40 dB gilt für ein System mit <i>R</i> = 140 Mbit/s und <i>l</i> = 2 km.
+
+ $a_\star \approx 40 \ \rm dB$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R = 140 \ \rm Mbit/s$&nbsp; und &nbsp;$l = 2 \ \rm  km$.
+ a<sub>&#8727;</sub> &asymp; 40 dB gilt für ein System mit <i>R</i> = 560 Mbit/s und <i>l</i> = 1 km.
+
+ $a_\star \approx 40 \ \rm dB$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R = 560 \ \rm Mbit/s$&nbsp;  und &nbsp;$l = 1 \ \rm  km$.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Der <i>&alpha;</i><sub>0</sub>&ndash;Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der <i>&beta;</i><sub>1</sub>&ndash;Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei &nbsp;&#8658;&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
 +
*Der&nbsp; $\alpha_0$&ndash;Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.
 +
*Der&nbsp; $\beta_1$&ndash;Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.  
 +
*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.
 +
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Mit a<sub>0</sub> = <i>a</i><sub>0</sub> &middot; <i>l</i> muss folgende Gleichung erfüllt sein:
+
'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$&nbsp; muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
 
:$${\rm e}^{- {\rm a}_0 }  \ge 0.99
 
:$${\rm e}^{- {\rm a}_0 }  \ge 0.99
 
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln}
 
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln}
 
   \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}
 
   \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
:Damit erhält man für die maximale Kabellänge
+
*Damit erhält man für die maximale Kabellänge:
 
:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 }  = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}
 
:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 }  = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
 
:$$a_{\rm K}(f)  =  [\alpha_0 + \alpha_1  \cdot f + \alpha_2  \cdot
 
  \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \\
 
  =  [0.00162 + 0.000435  \cdot 70 + 0.2722  \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \\
 
  =  [0.003 + 0.061  + 4.555  \hspace{0.05cm}]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend der Berechnung bei Punkt 3) erhält man hier den Dämpfungswert <u>4.555 Np</u>.
+
'''(3)'''&nbsp; Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
 +
:$${a}_{\rm K}(f)  =  [\alpha_0 + \alpha_1  \cdot f + \alpha_2  \cdot
 +
  \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l
 +
  =  \big[0.00162 + 0.000435  \cdot 70 + 0.2722  \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
 +
:$$  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)   =  \big[0.003 + 0.061  + 4.555   \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Für eine jede positive Größe <i>x</i> gilt:
+
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; erhält man hier den Dämpfungswert&nbsp; ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.
 +
 
 +
 
 +
'''(5)'''&nbsp; Für eine jede positive Größe $x$ gilt:
 
:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x =  \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}
 
:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x =  \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}
 
   =  \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot
 
   =  \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot
   (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}$$
+
   (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm
 
 
  Np}\hspace{0.05cm}.$$
 
  Np}\hspace{0.05cm}.$$
:Der Dämpfungswert 4.555 Np ist somit identisch mit <u>39.56 dB</u>.
+
Der Dämpfungswert&nbsp; $4.555 \ {\rm Np}$&nbsp;  ist somit identisch mit&nbsp; ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.
 +
 
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit <i>&alpha;</i><sub>2</sub> gilt für den Frequenzgang:
+
'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>.&nbsp; Begründung:
 +
*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; gilt für den Frequenzgang:
 
:$$H_{\rm K}(f)  =
 
:$$H_{\rm K}(f)  =
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
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   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
:Verzichtet man auf den <i>&beta;</i><sub>1</sub>&ndash;Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen&ndash; und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert <i>&tau;</i><sub>1</sub> = (<i>&beta;</i><sub>1</sub> &middot; <i>l</i>)/2&pi; kleiner.
+
*Verzichtet man auf den&nbsp; $\beta_1$&ndash;Phasenterm,&nbsp; so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.&nbsp; Lediglich die Phasen&ndash; und die Gruppenlaufzeit würden&nbsp; (beide gleich)&nbsp; um den Wert&nbsp; $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$&nbsp; kleiner.
  
:Verzichtet man auf den <i>&beta;</i><sub>2</sub>&ndash;Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
+
*Verzichtet man auf den&nbsp; $\beta_2$&ndash;Term,&nbsp; so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
 
+
::'''(a)''' Der Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems;&nbsp; bei einem solchen müsste&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; minimalphasig sein.
:* Der Frequenzgang <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) minimalphasig sein.
+
::'''(b)''' Die Impulsantwort&nbsp;  $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch&nbsp; um $t = 0$,&nbsp; was nicht den Gegebenheiten entspricht.
 
+
*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
:* Die Impulsantwort <i>h</i><sub>K</sub>(<i>t</i>) ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um <i>t</i> = 0, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
+
:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
 
+
   \sqrt{f},$$
:Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
+
:$$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
:$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
 
   \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 
 
   {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
 
   {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
:Das heißt: a<sub>K</sub>(<i>f</i>) und <i>b</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
+
*Das heißt:&nbsp; ${a}_{\rm K}(f)$&nbsp; und&nbsp; ${b}_{\rm K}(f)$&nbsp; eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
  
:Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate <i>R</i> = 140 Mbit/s&nbsp;&#8658;&nbsp;<i>R</i>/2 = 70 Mbit/s und der Kabellänge <i>l</i> = 2 km gilt tatsächlich a<sub>&#8727;</sub> &asymp; 40 dB (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe). Ein System mit vierfacher Bitrate (<i>R</i>/2 = 280 Mbit/s) und halber Länge (<i>l</i> = 1 km) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. Dagegen gilt für ein System mit <i>R</i>/2 = 35 Mbit/s und <i>l</i> = 2 km:
+
*Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate&nbsp; $R = 140 \ \rm Mbit/s$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$&nbsp; und der Kabellänge&nbsp; $l = 2 \ \rm km$&nbsp; gilt tatsächlich&nbsp; $a_\star \approx 40 \ \rm dB$&nbsp; (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe).  
:$$a_{\rm dB} = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz}
+
*Ein System mit vierfacher Bitrate&nbsp; $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$&nbsp; und halber Länge&nbsp; $(l = 1 \ \rm km)$&nbsp; führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.  
 +
*Dagegen gilt für ein System mit&nbsp; $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$&nbsp; und&nbsp; $l = 2 \ \rm km$:
 +
:$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz}
 
  \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB}
 
  \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
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:Richtig sind somit <u>die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>.
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Aktuelle Version vom 12. November 2021, 16:28 Uhr

Verschiedene Koaxialkabel

Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge  $l$  mit

  • dem Kerndurchmesser  $\text{2.6 mm}$,  und
  • dem Außendurchmesser  $\text{9.5 mm}$


besitzt den folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer”  (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer”  (rad/km).  Es gelten folgende Zahlenwerte:

$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Zur systemtheoretischen Beschreibung eines Koaxialkabels verwendet man

  • die Dämpfungsfunktion  (in Np bzw. dB):
$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
  • die Phasenfunktion  (in rad bzw. Grad):
$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.

Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)

$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$

lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.



Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Terme von  $H_{\rm K}(f)$  führen zu keinen Verzerrungen? Der

$\alpha_0$–Term,
$\alpha_1$–Term,
$\alpha_2$–Term,
$\beta_1$–Term,
$\beta_2$–Term.

2

Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen,  damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?

$l_\text{max} \ = \ $

$\ \rm km$

3

Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70 \ \rm MHz$,  wenn die Kabellänge  $\underline{l = 2 \ \rm km}$  beträgt?

$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $

$\ \rm Np$

4

Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen,  wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?

$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $

$\ \rm Np$

5

Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$  und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  (4)  berechnete Dämpfung?

$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $

$\ \rm dB$

6

Welche Aussagen sind zutreffend, wenn man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den  $\alpha_2$–Wert beschränkt?

Man kann auch auf den Phasenterm mit  $\beta_1$  verzichten.
Man kann auch auf den Phasenterm mit  $\beta_2$  verzichten.
$a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 70 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$.
$a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 140 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$.
$a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 560 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 1 \ \rm km$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Der  $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.
  • Der  $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.
  • Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.


(2)  Mit  ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$  muss die folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln} \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man für die maximale Kabellänge:
$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:

$${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe  (3)  erhält man hier den Dämpfungswert  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.


(5)  Für eine jede positive Größe $x$ gilt:

$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Der Dämpfungswert  $4.555 \ {\rm Np}$  ist somit identisch mit  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.


(6)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 4 und 5.  Begründung:

  • Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:
$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm,  so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden  (beide gleich)  um den Wert  $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$  kleiner.
  • Verzichtet man auf den  $\beta_2$–Term,  so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
(a) Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems;  bei einem solchen müsste  $H_{\rm K}(f)$  minimalphasig sein.
(b) Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch  um $t = 0$,  was nicht den Gegebenheiten entspricht.
  • Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f},$$
$$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das heißt:  ${a}_{\rm K}(f)$  und  ${b}_{\rm K}(f)$  eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
  • Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate  $R = 140 \ \rm Mbit/s$   ⇒   $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$  und der Kabellänge  $l = 2 \ \rm km$  gilt tatsächlich  $a_\star \approx 40 \ \rm dB$  (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe).
  • Ein System mit vierfacher Bitrate  $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$  und halber Länge  $(l = 1 \ \rm km)$  führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
  • Dagegen gilt für ein System mit  $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$:
$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz} \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$