Aufgaben:Aufgabe 4.4: Koaxialkabel – Frequenzgang: Unterschied zwischen den Versionen

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   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer” (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte:
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Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer”  (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer”  (rad/km).  Es gelten folgende Zahlenwerte:
 
:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
  
Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems
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Zur systemtheoretischen Beschreibung eines Koaxialkabels verwendet man
  
* die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):
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* die Dämpfungsfunktion  (in Np bzw. dB):
 
:$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|
 
:$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|
 
     \hspace{0.05cm},$$
 
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* die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):
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* die Phasenfunktion  (in rad bzw. Grad):
 
:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
 
:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
 
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   \sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 
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   {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
 
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Dies ist erlaubt, da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert  besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.  
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Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert  besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.  
  
 
Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
 
Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
 
   
 
   
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{Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?
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{Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen,  damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?
 
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$l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$
 
$l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$
  
  
{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70 \ \rm MHz$, wenn die Kabellänge  $\underline{l = 2 \ \rm km}$  beträgt?
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{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70 \ \rm MHz$,  wenn die Kabellänge  $\underline{l = 2 \ \rm km}$  beträgt?
 
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$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$
 
$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$
  
  
{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?
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{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen,  wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?
 
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$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$
 
$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$
  
  
{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$ und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  '''(4)'''  berechnete Dämpfung?
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{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$  und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  '''(4)'''  berechnete Dämpfung?
 
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$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$
 
$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$

Version vom 12. November 2021, 16:17 Uhr

Verschiedene Koaxialkabel

Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge  $l$  mit

  • dem Kerndurchmesser  $\text{2.6 mm}$,  und
  • dem Außendurchmesser  $\text{9.5 mm}$


besitzt den folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer”  (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer”  (rad/km).  Es gelten folgende Zahlenwerte:

$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Zur systemtheoretischen Beschreibung eines Koaxialkabels verwendet man

  • die Dämpfungsfunktion  (in Np bzw. dB):
$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
  • die Phasenfunktion  (in rad bzw. Grad):
$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.

Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)

$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$

lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.



Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Terme von  $H_{\rm K}(f)$  führen zu keinen Verzerrungen? Der

$\alpha_0$–Term,
$\alpha_1$–Term,
$\alpha_2$–Term,
$\beta_1$–Term,
$\beta_2$–Term.

2

Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen,  damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?

$l_\text{max} \ = \ $

$\ \rm km$

3

Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70 \ \rm MHz$,  wenn die Kabellänge  $\underline{l = 2 \ \rm km}$  beträgt?

$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $

$\ \rm Np$

4

Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen,  wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?

$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $

$\ \rm Np$

5

Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$  und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  (4)  berechnete Dämpfung?

$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $

$\ \rm dB$

6

Welche Aussagen sind zutreffend, wenn man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den  $\alpha_2$–Wert beschränkt?

Man kann auch auf den Phasenterm mit  $\beta_1$  verzichten.
Man kann auch auf den Phasenterm mit  $\beta_2$  verzichten.
$a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 70 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$.
$a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 140 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$.
$a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 560 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 1 \ \rm km$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Der  $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.
  • Der  $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.
  • Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.



(2)  Mit  ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$  muss die folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln} \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man für die maximale Kabellänge:
$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$



(3)  Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:

$${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$



(4)  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe  (3)  erhält man hier den Dämpfungswert  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.



(5)  Für eine jede positive Größe $x$ gilt:

$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Der Dämpfungswert  $4.555 \ {\rm Np}$  ist somit identisch mit  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.


(6)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5. Begründung:

  • Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:
$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert  $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$  kleiner.
  • Verzichtet man auf den  $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
(a) Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste  $H_{\rm K}(f)$  minimalphasig sein.
(b) Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch  um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
  • Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f},$$
$$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das heißt:  ${a}_{\rm K}(f)$  und  ${b}_{\rm K}(f)$  eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
  • Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate  $R = 140 \ \rm Mbit/s$   ⇒   $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$  und der Kabellänge  $l = 2 \ \rm km$  gilt tatsächlich  $a_\star \approx 40 \ \rm dB$  (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe).
  • Ein System mit vierfacher Bitrate  $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$  und halber Länge  $(l = 1 \ \rm km)$  führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
  • Dagegen gilt für ein System mit  $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$:
$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz} \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$