Aufgabe 4.2Z: Zum Abtasttheorem

Harmonische Schwingungen unterschiedlicher Phase

Das Abtasttheorem besagt, dass die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ mindestens doppelt so groß sein muss wie die größte im Quellensignal $q(t)$ enthaltene Frequenz $f_\text {N, max}$:

$$f_{\rm A} \ge 2 \cdot f_{\rm N,\hspace{0.05cm}max}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm A} \le \frac{1}{2 \cdot f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max}}\hspace{0.05cm}.$$

Wird diese Bedingung erfüllt, so kann beim Empfänger das Nachrichtensignal durch einen rechteckförmigen (idealen) Tiefpass mit dem Frequenzgang

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| = f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm G}} \\ \end{array}$$

vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann $v(t) = q(t)$. Die Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist dabei gleich der halben Abtastfrequenz zu wählen. Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann, wenn das Spektrum $Q(f)$ keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz $f_\text {N, max}$ beinhaltet.

In dieser Aufgabe werden drei verschiedene Quellensignale betrachtet, die sich jeweils als harmonische Schwingung

$$q(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t - \varphi)$$

mit der Amplitude $A = 1\ \rm V$ und der Frequenz $f_{\rm N}= 5 \ \rm kHz$ darstellen lassen. Für die Spektralfunktion $Q(f)$ aller dargestellten Zeitsignale gilt allgemein:

$$Q(f) = \frac{A}{2} \cdot \delta (f- f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}+ \frac{A}{2} \cdot \delta (f+ f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}\hspace{0.05cm}.$$

Die in der Grafik skizzierten Schwingungen unterscheiden sich allein durch die Phase $φ$:

$φ_1 = 0$ ⇒ Cosinussignal $q_1(t)$,
$φ_2 = π/2 \ (= 90^\circ)$ ⇒ Sinussignal $q_2(t)$,
$φ_3 = π/4 \ (= 45^\circ)$ ⇒ Signal $q_3(t)$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Abtastung und Signalrekonstruktion.
Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Alle Aussagen sind zutreffend:

Das Abtasttheorem wird mit $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz > 2 · 5 \ \rm kHz$ erfüllt, so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist.
Das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ ergibt sich aus $Q(f)$ durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand $f_{\rm A}$, was in der ersten Grafik am Beispiel der Spektralfunktion $Q_3(f)$ allgemein verdeutlicht wird.
Durch einen rechteckförmigen Tiefpass mit Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5.5 \ \rm kHz$ erhält man das ursprüngliche Spektrum $Q(f)$.

Spektralfunktion des abgetasteten Signals

Die Verschiebung um

$f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $+6 \ \rm kHz$ und $+16 \ \rm kHz$,
$-f_{\rm A} = -11 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $-6 \ \rm kHz$ und $-16 \ \rm kHz$,
$2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $+17 \ \rm kHz$ und $+27 \ \rm kHz$,
$-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $-17 \ \rm kHz$ und $-27 \ \rm kHz$.

(2) Der Abtastabstand ist gleich dem Kehrwert der Abtastfrequenz:

$$ T_{\rm A} = {1}/{f_{\rm A} }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$ das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$: Alle Spektrallinien sind reell.
Die Periodifizierung von $Q(f)$ mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$ führt zu einem Diracpuls mit Spektrallinien bei $±f_{\rm N}$, $±f_{\rm N}± f_{\rm A}$, $±f_{\rm N}± 2f_{\rm A}$, ...
Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht $A$, während die beiden Spektrallinien von $Q(f)$ nur jeweils mit $A/2$ gewichtet sind.
Wegen $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$ ist das Spektrum $V_1(f)$ nach dem Tiefpass identisch mit $Q_1(f)$ und dementsprechend gilt auch $v_1(t) = q_1(t)$.
Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen: Die Abtastwerte von $q_1(t)$ liegen genau bei den Signalmaxima und –minima. Der Tiefpass formt daraus das Cosinussignal mit richtiger Amplitude, Frequenz und Phase.

Spektralfunktion des abgetasteten Cosinussignals

Abgetastetes Sinussignal

(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Alle Abtastwerte von $q_2(t)$ liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals, das heißt, dass hier $q_{\rm A}(t) \equiv 0$ gilt.
Damit ergibt sich aber natürlich auch $v_2(t) \equiv 0$.
Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe (1) herleiten. $Q(f)$ ist rein imaginär und die Imaginärteile bei $±f_{\rm N}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf ⇒ $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$ ⇒ $V_2(f) \equiv 0$.

Abgetastete harmonische Schwingung mit Phase $φ_3 = π/4$

(5) Keiner der vorgegebenen Lösungsvorschlägen ist richtig:

Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe (1) die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz$ durch $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus.
Das heißt, dass nun $Q_{\rm A}(f)$ und $V_3(f)$ reelle Spektren sind. Das heißt weiter: Die Phaseninformation geht verloren ($φ = 0$) und das Ausgangssignal $v_3(t)$ ist ein Cosinussignal.
Die Signale $q_3(t)$ und $v_3(t)$ unterscheiden sich somit sowohl in der Amplitude als auch in der Phase. Lediglich die Frequenz bleibt erhalten.

Die Grafik zeigt türkisfarben das Signal $q_3(t)$, dessen Abtastwerte (Kreise) sowie rot gestrichelt das Ausgangssignal $v_3(t)$ des Tiefpasses. Man erkennt, dass der Tiefpass genau das Ergebnis liefert, für das wahrscheinlich auch Sie sich entscheiden würden, wenn Sie durch die (roten) Abtastwerte einen Kurvenzug einzeichnen sollten.

	Das Abtasttheorem wird stets erfüllt.
	Alle Signale können durch einen Tiefpass rekonstruiert werden.
	Es gilt stets $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q(f = 5 \ \rm kHz)$.

	Es gilt $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q_1(f = 5 \ \rm kHz)$.
	Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich ⇒ $v_1(t) = q_1(t)$.
	Das rekonstruierte Signal ist $v_1(t) \equiv 0$.

	Es gilt $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q_2(f = 5 \ \rm kHz)$.
	Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich ⇒ $v_2(t) = q_2(t)$.
	Das rekonstruierte Signal ist $v_2(t) \equiv 0$.

	Es gilt $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q_3(f = 5 \ \rm kHz)$.
	Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich ⇒ $v_3(t) = q_3(t)$.
	Das rekonstruierte Signal ist $v_3(t) \equiv 0$.