Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Multiplikation mit Sinussignal: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal $q(t)$, dessen Spektralfunktion $Q(f)$ | + | Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal $q(t)$, dessen Spektralfunktion $Q(f)$ in der oberen Grafik zu sehen ist. |
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| + | Eine Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger $z(t)$, dessen Spektrum $Z(f)$ ebenfalls dargestellt ist, führt zum Signal $s(t) = q(t) \cdot z(t).$ | ||
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| − | {Geben Sie das Quellensignal $q(t)$ in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für $t = 0$ und $t = 0.125 \text{ms}$? | + | {Geben Sie das Quellensignal $q(t)$ in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für $t = 0$ und $t = 0.125\, \text{ms}$? |
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| − | $q(t = 0)$ | + | $q(t = 0)\ = \ $ { 4 3% } $\text{V}$ |
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| − | {Wie lautet das Trägersignal $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert? | + | {Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert? |
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| − | {Berechnen Sie die Spektrum $S(f)$ getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es | + | {Berechnen Sie die Spektrum $S(f)$ getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil ungleich Null? |
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:$$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} | :$$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
\cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} | \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
\cdot {\sin} ( 4 \pi f_1 t)= | \cdot {\sin} ( 4 \pi f_1 t)= | ||
4\hspace{0.05cm}{\rm V} | 4\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
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| − | Zum Zeitpunkt $t = 0$ verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich $q(t = 0) \underline{= 4 \text{V}}$. Dagegen erhält man für $t = 0.125 \text{ms} = T_1/8$: | + | *Zum Zeitpunkt $t = 0$ verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$. |
| + | *Dagegen erhält man für $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$: | ||
:$$q(t = 0.125{\rm ms}) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} | :$$q(t = 0.125{\rm ms}) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
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0.828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$ | 0.828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$ | ||
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| + | '''(2)''' Entsprechend dem rein imaginären Spektrum $Z(f)$ und den Impulsgewichten $\pm 3$ muss gelten: | ||
:$$z(t ) = 6 \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm | :$$z(t ) = 6 \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm | ||
kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$ | kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$ | ||
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| + | '''(3)''' Die Spektralfunktion $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen $Q(f)$ und $Z(f)$. Man erhält: | ||
:$$S(f) = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+ | :$$S(f) = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+ | ||
f_{\rm T}).$$ | f_{\rm T}).$$ | ||
| − | + | Es ergeben sich Spektrallinien bei | |
| − | Es ergeben sich Spektrallinien bei $3\ \text{kHz}\ ( | + | *$3\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$, |
| + | *$4\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$, | ||
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| + | * $7\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$. | ||
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| + | Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen. | ||
| − | + | Linien mit reellen Gewichten bei $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$. | |
| − | Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen. Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel $f_5 = 5 \text{kHz}$. Dann gilt: | + | |
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| + | '''(4)''' Imaginäre Linien treten bei $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf. | ||
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| + | Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen. | ||
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| + | Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt: | ||
:$$4\hspace{0.05cm}{\rm V} | :$$4\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
\cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 | \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 | ||
\cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= | \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= | ||
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| − | t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\ | + | t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\big],$$ |
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| − | t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\ | + | t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$ |
| − | Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien: | + | |
| + | *Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien: | ||
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| + | :* bei $+f_4$ bzw. $-f_4$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$, | ||
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| − | + | *Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien (alle $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei $\pm f_3$ und $\pm f_7$. | |
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| − | + | Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen. | |
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Aktuelle Version vom 3. Mai 2021, 18:15 Uhr
Spektralfunktionen $Q(f)$ und $Z(f)$
Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal $q(t)$, dessen Spektralfunktion $Q(f)$ in der oberen Grafik zu sehen ist.
Eine Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger $z(t)$, dessen Spektrum $Z(f)$ ebenfalls dargestellt ist, führt zum Signal $s(t) = q(t) \cdot z(t).$
In dieser Aufgabe soll die Spektralfunktion $S(f)$ dieses Signals ermittelt werden, wobei die Lösung entweder im Zeit– oder im Frequenzbereich erfolgen kann.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen $f_1 = 1\ \text{kHz}$ und $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$ wie folgt darstellen $($es gilt $f_2 = 2f_1)$:
- $$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi f_1 t)= 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi {t}/{T_1}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi {t}/{T_1}) .$$
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.
- Dagegen erhält man für $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:
- $$q(t = 0.125{\rm ms}) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( {\pi}/{4}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( {\pi}/{2}) = \frac {4\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\sqrt{2}} - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$
(2) Entsprechend dem rein imaginären Spektrum $Z(f)$ und den Impulsgewichten $\pm 3$ muss gelten:
- $$z(t ) = 6 \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$
Diskretes Bandpass–Spektrum
(3) Die Spektralfunktion $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen $Q(f)$ und $Z(f)$. Man erhält:
- $$S(f) = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+ f_{\rm T}).$$
Es ergeben sich Spektrallinien bei
- $3\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$,
- $4\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
- $6\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
- $7\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$.
Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.
Linien mit reellen Gewichten bei $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$ und $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.
(4) Imaginäre Linien treten bei $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$ und $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.
Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen.
Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:
- $$4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{12\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\sin} ( 2 \pi f_4 \hspace{0.03cm} t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\big],$$
- $$-2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_2 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{-6\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\cos} ( 2 \pi f_3 \hspace{0.03cm} t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$
- Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:
- bei $+f_4$ bzw. $-f_4$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,
- bei $+f_6$ bzw. $-f_6$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
- Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien (alle $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei $\pm f_3$ und $\pm f_7$.
Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.
