Aufgabe 4.2Z: Korrelation zwischen „x“ und „e hoch x“

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Die Zufallsgröße $x$ sei gleichverteilt zwischen -1 und +1. Damit ist der Mittelwert $m_x = 0$ und die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$.
Durch eine nichtlineare Kennlinie wird die Zufallsgröße $y = g(x) = e^x$ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/e$ und $e$ annehmen.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip „Transformation von Zufallsgrößen”
$$f_y(y) = \frac{\rm 1}{\rm 2\it y}. $$
Berücksichtigen Sie, dass im betrachteten Bereich von $-1 ≤ x ≤ +1$ die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:
$$y=\rm e^{\it x}\approx \rm 1+ \frac{ x}{\rm 1!} + \frac{{\it x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{\it x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{\it x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.3 und das Kapitel 4.1 des Theorieteils.


Fragebogen

1

Wie groß ist der Mittelwert der Zufallsgröße y?

$m_y$ =

2

Berechnen Sie die Streuung der Zufallsgröße y.

$\sigma_y$ =

3

Welche der folgenden Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-WDF fxy(x, y)?

Außerhalb der Kurve y = ex ist fxy (x, y) = 0.
Für alle Werte (x, ex) ist die WDF konstant.
Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve y = ex.
Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab.

4

Berechnen Sie das gemeinsame Moment der Zufallsgrößen x und y, also den Erwartungswert des Produkts x · y.

$m_\text{xy}$ =

5

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen den Zufallsgrößen x und y. Interpretieren Sie das Ergebnis.

$\rho_\text{xy}$ =


Musterlösung

1.  Der Mittelwert my kann in bekannter Weise aus der WDF fy(y) ermittelt werden. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln für Erwartungswerte:
$$m_y=\rm E[\it y] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = \rm\frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{1}\rm e^{\it x}\,\,{\rm d}x=\rm \frac{1}{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$
2.   Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße y gilt:
$$m_{\rm 2 \it y} = \rm E[\it y^{\rm 2}] = \rm E[\rm e^{\rm 2\it x}]= \frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{+1}\rm e^{\rm 2\it x}\it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-e^{-2}) = 1.813.$$
Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner:
$$\sigma_y^{\rm 2} = m_{\rm 2 \it y}- m_{\it y}^2 = \frac{1}{4}\cdot(\rm e^{2}-e^{-2})-\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-2+e^{-2})=\rm \frac{1}{2}\cdot(1-e^{-2})=0.432 \\ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$
3.  Außerhalb der Kurve y = ex ist die WDF natürlich 0. Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich 1 sein muss, sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich y = ex unendlich groß. Das heißt: Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF fy(y) mit steigenden y nimmt die Höhe dieser Diracwand von (–1, 1/e) bis zu (+1, e) kontinuierlich ab   ⇒   Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.
4.  Für das gemeinsame Moment gilt:
$$m_{xy} = \rm E[\it x\cdot y] = \rm E[\it x\cdot \rm e^{\it x}].$$
Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung:
$$m_{xy} \approx \rm E[\it x] + \rm E[\it x^{\rm 2}] + \rm \frac{1}{2} \cdot E[\it x^{\rm 3}] + \rm \frac{1}{6} \cdot E[\it x^{\rm 4}]+ \rm\frac{1}{24} \cdot E[\it x^{\rm 5}].$$
Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße x gilt für alle ungeradzahligen Werte von k:
$$\rm E[\it x^{k}] =\rm 0.$$
Weiterhin gilt:
$$\rm E[\it x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \rm\frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} \rm E[\it x^{\rm 4}] = \rm\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}\it x^{\rm 4} \it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}.$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{xy} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$
e)  Wegen mx = 0 gilt μxy = mxy. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
$$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$
Zwischen x und y besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch viele nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient ρxy ≠ 1.