Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Korrelation zwischen „x“ und „e hoch x“: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID252__Sto_Z_4_2.png|right|]]
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[[Datei:P_ID252__Sto_Z_4_2.png|right|frame|Eingangs-WDF  $f_x(x)$  und Kennlinie  $y = {\rm e}^x$]]
:Die Zufallsgröße $x$ sei gleichverteilt zwischen -1 und +1. Damit ist der Mittelwert $m_x = 0$ und die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$.
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Die Zufallsgröße  $x$  sei gleichverteilt zwischen  $-1$  und  $+1$.  Damit ist  
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*der Mittelwert  $m_x = 0$,  und  
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*die Varianz  $\sigma_x^2 = 1/3$.
  
:Durch eine nichtlineare Kennlinie wird die Zufallsgröße $y = g(x) = e^x$ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/e$ und $e$ annehmen.
 
  
:Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip „Transformation von Zufallsgrößen”
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Durch die nichtlineare Kennlinie  $y = g(x) = {\rm e}^x$  wird die Zufallsgröße  $y $   gebildet.  Zwischen den beiden Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  besteht also ein fester,  deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße  $y$  kann nur Werte zwischen  $1/{\rm e}$  und  ${\rm e}$  annehmen.
:$$f_y(y) = \frac{\rm 1}{\rm 2\it y}. $$
 
  
:Berücksichtigen Sie, dass im betrachteten Bereich von $-1 ≤ x ≤ +1$ die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:
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Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|„Transformation von Zufallsgrößen”]]:
:$$y=\rm e^{\it x}\approx \rm 1+ \frac{ x}{\rm 1!} + \frac{{\it x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{\it x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{\it x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$
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:$$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$
  
:<b>Hinweis</b>: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.3 und das Kapitel 4.1 des Theorieteils.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
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*Berücksichtigen Sie,&nbsp; dass im betrachteten Bereich&nbsp; $-1 ≤ x ≤ +1$&nbsp; die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:
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:$$y={\rm e}^{x}\approx 1+ \frac{ x}{1!} + \frac{{ x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$
  
  
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<quiz display=simple>
{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i>?
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{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$?
 
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$m_y$ = { 1.175 3% }
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$m_y \ = \ $ { 1.175 3% }
  
  
{Berechnen Sie die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i>.
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{Berechnen Sie die Streuung&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$.
 
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$\sigma_y$ = { 0.658 3% }
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$\sigma_y \ =  \ $ { 0.658 3% }
  
  
{Welche der folgenden Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-WDF <i>f<sub>xy</sub></i>(<i>x</i>, <i>y</i>)?
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{Welche der folgenden Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$?
 
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+ Au&szlig;erhalb der Kurve <i>y</i> = e<sup><i>x</i></sup> ist <i>f<sub>xy</sub></i> (<i>x</i>, <i>y</i>) = 0.
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+ Au&szlig;erhalb der Kurve&nbsp; $y = {\rm e}^x$&nbsp; ist&nbsp; $f_{xy}(x, y)= 0$.
- F&uuml;r alle Werte (<i>x</i>, e<sup><i>x</i></sup>) ist die WDF konstant.
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- F&uuml;r alle Werte&nbsp; $(x,\ {\rm e}^x)$&nbsp; ist die WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; konstant.
+ Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve <i>y</i> = e<sup><i>x</i></sup>.
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+ Die WDF beschreibt eine&nbsp; &bdquo;Diracwand&rdquo;&nbsp; entlang der Kurve&nbsp; $y = {\rm e}^x$.
+ Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab.
+
+ Die Höhe der Diraclinien nimmt von links unten nach rechts oben ab.
  
  
{Berechnen Sie das gemeinsame Moment der Zufallsgrößen <i>x</i> und <i>y</i>, also den Erwartungswert des Produkts <i>x</i> &middot; <i>y</i>.
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{Berechnen Sie das gemeinsame Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; der Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$,&nbsp; also den Erwartungswert des Produkts&nbsp; $x \cdot y$.
 
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$m_\text{xy}$ = { 0.367 3% }
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$m_{xy}\ =  \ $ { 0.367 3% }
  
  
{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen den Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i> und <i>y</i>. Interpretieren Sie das Ergebnis.
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{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; zwischen den Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 
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$\rho_\text{xy}$ = { 0.967 3% }
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$\rho_{xy}\ =  \ $ { 0.967 3% }
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Der Mittelwert <i>m<sub>y</sub></I> kann in bekannter Weise aus der WDF <i>f<sub>y</sub></I>(<i>y</i>) ermittelt werden. Eine zweite Berechnungsm&ouml;glichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln f&uuml;r Erwartungswerte:
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'''(1)'''&nbsp; Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann in bekannter Weise aus der WDF $f_y(y)$&nbsp; ermittelt werden.  
:$$m_y=\rm E[\it y] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = \rm\frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{1}\rm e^{\it x}\,\,{\rm d}x=\rm \frac{1}{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$
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*Eine zweite Berechnungsm&ouml;glichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln f&uuml;r Erwartungswerte:
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:$$m_y={\rm E}\big[ y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{1}{\rm e}^{ x}\,\,{\rm d}x=\rm {1}/{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$
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'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den quadratischen Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gilt:
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:$$m_{2 y} = {\rm E}\big[ y^{\rm 2}\big] = {\rm E}[{\rm e}^{ 2 x}]=    {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{+1}{\rm e}^{2 x} \,\,{\rm d}x = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2}) = 1.813.$$
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*Daraus erh&auml;lt man mit dem Satz von Steiner:
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:$$\sigma_y^{\rm 2} = m_{ 2 y}- m_{ y}^2 = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2})-{1}/{4}\cdot( {\rm e}^{2}-2+{\rm e}^{-2})={1}/{2}\cdot(1-{\rm e}^{-2})=0.432 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp; F&uuml;r den quadratischen Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <I>y</I> gilt:
 
:$$m_{\rm 2 \it y} = \rm E[\it y^{\rm 2}] =  \rm E[\rm e^{\rm 2\it x}]=    \frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{+1}\rm e^{\rm 2\it x}\it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-e^{-2}) = 1.813.$$
 
  
:Daraus erh&auml;lt man mit dem Satz von Steiner:
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
:$$\sigma_y^{\rm 2} = m_{\rm 2 \it y}- m_{\it y}^2 = \frac{1}{4}\cdot(\rm e^{2}-e^{-2})-\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-2+e^{-2})=\rm \frac{1}{2}\cdot(1-e^{-2})=0.432 \\ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$
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*Au&szlig;erhalb der Kurve&nbsp; $y = {\rm e}^x$&nbsp; ist die WDF nat&uuml;rlich Null.
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*Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist,&nbsp; sind die WDF-Werte f&uuml;r den unendlich schmalen Bereich&nbsp; $y = {\rm e}^x$&nbsp; unendlich gro&szlig;.
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*Das hei&szlig;t: &nbsp; Die WDF beschreibt eine gekr&uuml;mmte Diracwand.
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*Aufgrund des Abfalls der WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; mit steigenden&nbsp; $y$&nbsp; nimmt die H&ouml;he dieser Diracwand von&nbsp; $(-1, 1/{\rm e})$&nbsp; bis zu&nbsp; $(+1, {\rm e})$&nbsp; kontinuierlich ab.
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Au&szlig;erhalb der Kurve <i>y</i> = e<sup><i>x</i></sup> ist die WDF nat&uuml;rlich 0. Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich 1 sein muss, sind die WDF-Werte f&uuml;r den unendlich schmalen Bereich <i>y</i> = e<sup><i>x</i></sup> unendlich gro&szlig;. Das hei&szlig;t: Die WDF beschreibt eine gekr&uuml;mmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) mit steigenden <i>y</i> nimmt die H&ouml;he dieser Diracwand von (&ndash;1, 1/e) bis zu (+1, e) kontinuierlich ab &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>.
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r das gemeinsame Moment gilt:
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:$$m_{xy} = \rm E[\it x\cdot y] = \rm E[\it x\cdot \rm e^{\it x}].$$
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'''(4)'''&nbsp; F&uuml;r das gemeinsame Moment gilt:
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:$$m_{xy} = {\rm E}\big[ x\cdot y \big] = {\rm E}\big[ x\cdot {\rm e}^{x} \big].$$
  
:Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung:
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*Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung:
:$$m_{xy} \approx \rm E[\it x] + \rm E[\it x^{\rm 2}] + \rm \frac{1}{2} \cdot E[\it x^{\rm 3}] + \rm \frac{1}{6}  \cdot E[\it x^{\rm 4}]+ \rm\frac{1}{24}  \cdot E[\it x^{\rm 5}].$$
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:$$m_{xy} \approx {\rm E}\big[x\big] + {\rm E}\big[x^{\rm 2}\big] + \frac{1}{2} \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 3}\big] + \frac{1}{6}  \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 4}\big]+ \frac{1}{24}  \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 5}\big].$$
  
:Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> gilt f&uuml;r alle ungeradzahligen Werte von <i>k</i>:
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*Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; gilt f&uuml;r alle ungeradzahligen Werte von&nbsp; $k$: &nbsp; $\rm E\big[\it x^{k}\rm \big] =\rm 0.$ Weiterhin gilt:
:$$\rm E[\it x^{k}] =\rm 0.$$
+
:$${\rm E}\big[ x^{\rm 2}\big] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \frac{1}{3}, \hspace{0.5cm}
 +
{\rm E}\big[ x^{\rm 4}\big] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1} x^{\rm 4}  \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it m_{xy}} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$
  
:Weiterhin gilt:
 
:$$\rm E[\it x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \rm\frac{1}{3}, \hspace{0.5cm}
 
\rm E[\it x^{\rm 4}] = \rm\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}\it x^{\rm 4} \it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}.$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{xy} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$
 
  
:<b>e)</b>&nbsp;&nbsp;Wegen <i>m<sub>x</sub></i> = 0 gilt <i>&mu;<sub>xy</sub></i> = <i>m<sub>xy</sub></i>. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
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'''(5)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $m_x = 0$&nbsp; gilt&nbsp; $\mu_{xy} = m_{xy}$.&nbsp; Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
 
:$$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$
 
:$$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$
  
:Zwischen <i>x</i> und <i>y</i> besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch viele nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient <i>&rho;<sub>xy</sub></i> &ne; 1.
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*Zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang.  
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*Da aber hierin auch nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient&nbsp; $ \rho_{xy} \ne 1$.
  
 
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Aktuelle Version vom 7. Februar 2022, 14:35 Uhr

Eingangs-WDF  $f_x(x)$  und Kennlinie  $y = {\rm e}^x$

Die Zufallsgröße  $x$  sei gleichverteilt zwischen  $-1$  und  $+1$.  Damit ist

  • der Mittelwert  $m_x = 0$,  und
  • die Varianz  $\sigma_x^2 = 1/3$.


Durch die nichtlineare Kennlinie  $y = g(x) = {\rm e}^x$  wird die Zufallsgröße  $y $  gebildet.  Zwischen den beiden Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  besteht also ein fester,  deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße  $y$  kann nur Werte zwischen  $1/{\rm e}$  und  ${\rm e}$  annehmen.

Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip  „Transformation von Zufallsgrößen”:

$$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$



Hinweise:

$$y={\rm e}^{x}\approx 1+ \frac{ x}{1!} + \frac{{ x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$


Fragebogen

1

Wie groß ist der Mittelwert  $m_y$  der Zufallsgröße  $y$?

$m_y \ = \ $

2

Berechnen Sie die Streuung  $\sigma_y$  der Zufallsgröße  $y$.

$\sigma_y \ = \ $

3

Welche der folgenden Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-WDF  $f_{xy}(x, y)$?

Außerhalb der Kurve  $y = {\rm e}^x$  ist  $f_{xy}(x, y)= 0$.
Für alle Werte  $(x,\ {\rm e}^x)$  ist die WDF  $f_{xy}(x, y)$  konstant.
Die WDF beschreibt eine  „Diracwand”  entlang der Kurve  $y = {\rm e}^x$.
Die Höhe der Diraclinien nimmt von links unten nach rechts oben ab.

4

Berechnen Sie das gemeinsame Moment  $m_{xy}$  der Zufallsgrößen  $x$  und  $y$,  also den Erwartungswert des Produkts  $x \cdot y$.

$m_{xy}\ = \ $

5

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{xy}$  zwischen den Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.  Interpretieren Sie das Ergebnis.

$\rho_{xy}\ = \ $


Musterlösung

(1)  Der Mittelwert  $m_y$  kann in bekannter Weise aus der WDF $f_y(y)$  ermittelt werden.

  • Eine zweite Berechnungsmöglichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln für Erwartungswerte:
$$m_y={\rm E}\big[ y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{1}{\rm e}^{ x}\,\,{\rm d}x=\rm {1}/{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$


(2)  Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße  $y$  gilt:

$$m_{2 y} = {\rm E}\big[ y^{\rm 2}\big] = {\rm E}[{\rm e}^{ 2 x}]= {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{+1}{\rm e}^{2 x} \,\,{\rm d}x = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2}) = 1.813.$$
  • Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner:
$$\sigma_y^{\rm 2} = m_{ 2 y}- m_{ y}^2 = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2})-{1}/{4}\cdot( {\rm e}^{2}-2+{\rm e}^{-2})={1}/{2}\cdot(1-{\rm e}^{-2})=0.432 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$


(3)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

  • Außerhalb der Kurve  $y = {\rm e}^x$  ist die WDF natürlich Null.
  • Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich  $1$  ist,  sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich  $y = {\rm e}^x$  unendlich groß.
  • Das heißt:   Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand.
  • Aufgrund des Abfalls der WDF  $f_y(y)$  mit steigenden  $y$  nimmt die Höhe dieser Diracwand von  $(-1, 1/{\rm e})$  bis zu  $(+1, {\rm e})$  kontinuierlich ab.


(4)  Für das gemeinsame Moment gilt:

$$m_{xy} = {\rm E}\big[ x\cdot y \big] = {\rm E}\big[ x\cdot {\rm e}^{x} \big].$$
  • Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung:
$$m_{xy} \approx {\rm E}\big[x\big] + {\rm E}\big[x^{\rm 2}\big] + \frac{1}{2} \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 3}\big] + \frac{1}{6} \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 4}\big]+ \frac{1}{24} \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 5}\big].$$
  • Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße  $x$  gilt für alle ungeradzahligen Werte von  $k$:   $\rm E\big[\it x^{k}\rm \big] =\rm 0.$ Weiterhin gilt:
$${\rm E}\big[ x^{\rm 2}\big] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} {\rm E}\big[ x^{\rm 4}\big] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1} x^{\rm 4} \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it m_{xy}} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$


(5)  Wegen  $m_x = 0$  gilt  $\mu_{xy} = m_{xy}$.  Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:

$$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$
  • Zwischen  $x$  und  $y$  besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang.
  • Da aber hierin auch nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient  $ \rho_{xy} \ne 1$.