Aufgabe 4.2Z: Gemischte Zufallsgrößen

Man spricht von einer gemischten Zufallsgröße, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.

Die Zufallsgröße Y mit der Verteilungsfunktion F_Y(y) gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f_Y(y) erhält man aus F_Y(y) durch Differentiation. Aus dem Sprung bei y = 1 in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein „Dirac” in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).

In der Teilaufgabe (d) soll die differentielle Entropie h(Y) der Zufallsgröße Y ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist: $$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm}.$$ In der Teilaufgabe (b) ist die differentielle Entropie h(X) der Zufallsgröße X zu berechnen, deren WDF f_X(x) oben skizziert ist. Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße X eine gemischte Zufallsgröße.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.1 des vorliegenden Buches. Weitere Informationen zu gemischten Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel 3.2 des Buches „Stochastische Signaltheorie”.

Fragebogen

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

	Falsch
	Richtig