Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Gemischte Zufallsgrößen: Unterschied zwischen den Versionen
Khalil (Diskussion | Beiträge) |
Khalil (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 20: | Zeile 20: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | { | + | {Wie groß ist die WDF–Höhe <i>A</i> von <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) um <i>X</i> = 1? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | - | + | - <i>A</i> = 0.5/<i>ε</i>, |
| − | + | + | + <i>A</i> = 0.5/<i>ε</i> + 0.25, |
| + | - <i>A</i> = 1/<i>ε</i>. | ||
| + | |||
| + | {Berechnen Sie die differentielle Entropie für verschiedene <i>ε</i>–Werte. | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | $ε = 0.1: h(X)$ = { 0.644 3% } | ||
| + | $ε = 0.01: h(X)$ = { 0.85 3% } | ||
| + | $ε = 0.001: h(X))$ = { 6.968 3% } | ||
| + | |||
| + | {Welches Ergebnis liefert der Grenzwert <i>ε</i> → 0? | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | + <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) hat nun einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil. | ||
| + | + Die differentielle Energie <i>h</i>(<i>X</i>) ist negativ. | ||
| + | + Der Betrag |<i>h</i>(<i>X</i>)| ist unendlich groß. | ||
| − | { | + | {Welche Aussagen treffen für die Zufallsgröße <i>Y</i> zu? |
| − | |type=" | + | |type="[]"} |
| − | + | - Der VTF–Wert an der Stelle <i>y</i> = 1 ist 0.5. | |
| + | + <i>Y</i> beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil.. | ||
| + | + Der diskrete Anteil <i>Y</i> = 1 tritt mit 10% Wahrscheinlichkeit auf. | ||
| + | - Der kontinuierliche Anteil von <i>Y</i> ist gleichverteilt. | ||
| + | + Die differentiellen Entropien von <i>X</i> und <i>Y</i> sind gleich. | ||
Version vom 21. März 2017, 19:24 Uhr
Man spricht von einer gemischten Zufallsgröße, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.
Die Zufallsgröße Y mit der Verteilungsfunktion FY(y) gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fY(y) erhält man aus FY(y) durch Differentiation. Aus dem Sprung bei y = 1 in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein „Dirac” in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).
In der Teilaufgabe (d) soll die differentielle Entropie h(Y) der Zufallsgröße Y ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist: $$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm}.$$ In der Teilaufgabe (b) ist die differentielle Entropie h(X) der Zufallsgröße X zu berechnen, deren WDF fX(x) oben skizziert ist. Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße X eine gemischte Zufallsgröße.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.1 des vorliegenden Buches. Weitere Informationen zu gemischten Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel 3.2 des Buches „Stochastische Signaltheorie”.
Fragebogen
Musterlösung
