Aufgaben:Aufgabe 4.2: Wieder Dreieckgebiet: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID226__Sto_A_4_2.png|right|Dreieckiges 2D-Gebiet und Randwahrscheinlichkeitsdichten]]
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[[Datei:P_ID226__Sto_A_4_2.png|right|frame|Dreieckiges 2D-Gebiet und die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten]]
Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße ($x$, $y$) wie in [[Aufgaben:4.1_Dreieckiges_(x,_y)-Gebiet|Aufgabe 4.1]]:  
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Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße  $(x, \ y)$  wie in der  [[Aufgaben:4.1_Dreieckiges_(x,_y)-Gebiet|Aufgabe 4.1]]:  
*In einem durch die Eckpunkte (0,1), (4,3) und (4,5) definierten dreieckförmigen Gebiet $D$ sei die 2D–WDF $f_{xy} (x, y) = 0.25$. *Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes $D$ gibt es keine Werte.
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*In einem durch die Eckpunkte  $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$  definierten Gebiet  $D$  sei die 2D–WDF  $f_{xy} (x, y) = 0.25$.  
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*Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes  $D$  gibt es keine Werte.
  
  
Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen $x$ und $y$ eingezeichnet, die bereits in der [[Aufgaben:4.1_Dreieckiges_(x,_y)-Gebiet|Aufgabe 4.1]] ermittelt wurden. Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]] die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen:
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Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen  $x$  und  $y$  eingezeichnet, die bereits in der Aufgabe 4.1 ermittelt wurden.  
$$m_x=8/3 ,\hspace{0.5cm} \sigma_x=\sqrt{8/9},$$
 
$$ m_y= 3,\hspace{0.95cm} \sigma_y = \sqrt{\rm 2/3}.$$
 
  
Aufgrund der Tatsache, dass das Definitionsgebiet $D$ durch zwei Gerade $y_1(x)$ und $y_2(x)$ begrenzt ist, kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden.
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Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]]  die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen:
$$m_{xy}={\rm E}[x\cdot y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}y \cdot f_{xy}(x,y) \, \,{\rm d}y\, {\rm d}x.$$
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:$$m_x=8/3 ,\hspace{0.5cm} \sigma_x=\sqrt{8/9},$$
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:$$ m_y= 3,\hspace{0.95cm} \sigma_y = \sqrt{\rm 2/3}.$$
  
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Aufgrund der Tatsache,  dass das Definitionsgebiet  $D$  durch zwei Gerade  $y_1(x)$  und  $y_2(x)$  begrenzt ist,  kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden.
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:$$m_{xy}={\rm E}\big[x\cdot y\big]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}y \cdot f_{xy}(x,y) \, \,{\rm d}y\, {\rm d}x.$$
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
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{Wie lauten die Grenzgeraden des inneren Integrals zur <i>m<sub>xy</sub></i>-Berechnung?
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{Wie lauten die Grenzgeraden des inneren Integrals zur&nbsp; $m_{xy}$&ndash;Berechnung?
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- $y_1(x) = x+1, $ &nbsp; &nbsp; $y_2(x) = 2x+1.$
 
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{Berechnen Sie das gemeinsame Moment $m_{xy}$ gem&auml;&szlig; dem Doppelintegral auf der Angabenseite. <br><i>Hinweis</i>: Setzen Sie $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$ .
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{Berechnen Sie das gemeinsame Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; gem&auml;&szlig; dem Doppelintegral auf der Angabenseite. &nbsp;Hinweis: &nbsp;Setzen Sie&nbsp; $x_1 = 0$&nbsp; und&nbsp; $x_2 = 4$.
 
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{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$ ?
 
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{Wie gro&szlig; ist der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy}$?
 
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{Wie lautet die Gleichung der Korrelationsgeraden&nbsp; $y = K(x)$?&nbsp; An welcher Stelle&nbsp; $y_0$&nbsp; schneidet die Gerade die&nbsp; $y$-Achse? <br>Zeigen Sie,&nbsp; dass die Korrelationsgerade auch durch den Punkt&nbsp; $(m_x, m_y)$&nbsp; geht.
 
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*Sowohl $y_1(x)$ als auch $y_2(x)$  schneiden die $y$-Achse bei $y= 1$.  
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*Sowohl&nbsp; $y_1(x)$&nbsp; als auch&nbsp; $y_2(x)$&nbsp; schneiden die&nbsp; $y$-Achse bei&nbsp; $y= 1$.  
*Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung $0.5$, die obere die Steigung $1$.
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*Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung&nbsp; $0.5$,&nbsp; die obere die Steigung&nbsp; $1$.
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:
 
'''(2)'''&nbsp; Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:
:$$m_{xy}=\int_{\rm 0}^{\rm 4} x \cdot \int_{\it x/\rm 2 +\rm 1}^{\it x+\rm 1} {1}/{4}\cdot  y \, \,{\rm d}y\,\, \, {\rm d}x = {1}/{8}\cdot \int_{\rm 0}^{\rm 4} x\cdot[( x+ 1)^{\rm 2}- ({ x}/{2}+1)^{\rm 2} ]  \,\, {\rm d}x.$$
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:$$m_{xy}=\int_{\rm 0}^{\rm 4} x \cdot \int_{\it x/\rm 2 +\rm 1}^{\it x+\rm 1} {1}/{4}\cdot  y \, \,{\rm d}y\,\, \, {\rm d}x = {1}/{8}\cdot \int_{\rm 0}^{\rm 4} x\cdot \big[( x+ 1)^{\rm 2}- ({ x}/{2}+1)^{\rm 2} \big]  \,\, {\rm d}x.$$
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*Dies f&uuml;hrt zum Integral bzw. Endergebnis:
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:$$m_{xy}={1}/{8}\int_{\rm 0}^{\rm 4}(\frac{3}{4}\cdot x^{3}{\rm +} x^2\,{\rm d}x = \rm \frac{1}{8} \cdot (\frac{3}{16}\cdot 4^4+\rm \frac{4^3}{3})=\frac{26}{3}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 8.667}.$$
  
Dies f&uuml;hrt zum Integral bzw. Endergebnis:
 
:$$m_{xy}={1}/{8}\int_{\rm 0}^{\rm 4}(\rm\frac{3}{4}\it x^{\rm 3}{\rm +}\it x^{\rm 2}\rm )\,{\rm d}x = \rm \frac{1}{8} \cdot (\frac{3}{16}\cdot 4^4+\rm \frac{4^3}{3})=\frac{26}{3}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 8.667}.$$
 
  
'''(3)'''&nbsp; Da beide Zufallsgr&ouml;&szlig;en jeweils einen Mittelwert ungleich $0$ besitzen, folgt f&uuml;r die Kovarianz:
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:$$\it \mu_{xy}=\it m_{xy}-m_{x}\cdot m_{y}=\frac{\rm 26}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm 3}\cdot\rm 3={2}/{3} \hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$
 
:$$\it \mu_{xy}=\it m_{xy}-m_{x}\cdot m_{y}=\frac{\rm 26}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm 3}\cdot\rm 3={2}/{3} \hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Mit den angegebenen Streuungen erh&auml;lt man:
 
'''(4)'''&nbsp; Mit den angegebenen Streuungen erh&auml;lt man:
 
:$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy}}{\sigma_{x}\cdot\sigma_{y}}=\frac{{\rm 2}/{\rm 3}}{\sqrt{{\rm 8}/{\rm 9}}\cdot\sqrt{{\rm 2}/{\rm 3}}}=\sqrt{0.75}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.866}.$$
 
:$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy}}{\sigma_{x}\cdot\sigma_{y}}=\frac{{\rm 2}/{\rm 3}}{\sqrt{{\rm 8}/{\rm 9}}\cdot\sqrt{{\rm 2}/{\rm 3}}}=\sqrt{0.75}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.866}.$$
[[Datei:P_ID223__Sto_A_4_2_d.png|right|Korrelationsgerade]]
 
  
'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Korrelationsgerade (KG) gilt allgemein:
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:$$ y-m_{y}=\rho_{xy}\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_ {x}}\cdot(x-m_{x}).$$
 
:$$ y-m_{y}=\rho_{xy}\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_ {x}}\cdot(x-m_{x}).$$
  
Mit den oben berechneten Zahlenwerten erh&auml;lt man
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*Mit den oben berechneten Zahlenwerten erh&auml;lt man
$$y={\rm 3}/{\rm 4}\cdot  x +\rm 1.$$
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:$$y={\rm 3}/{\rm 4}\cdot  x +\rm 1.$$
  
Die Korrelationsgerade schneidet die $y$-Achse bei $\underline{y=1}$ und geht auch durch den Punkt $(4, 4)$. Jedes andere Ergebnis w&auml;re auch nicht zu interpretieren, wenn man das Definitionsgebiet betrachtet:  
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Die Korrelationsgerade schneidet die&nbsp; $y$-Achse bei&nbsp; $\underline{y=1}$&nbsp; und geht auch durch den Punkt&nbsp; $(4, 4)$.&nbsp; Jedes andere Ergebnis w&auml;re auch nicht zu interpretieren,&nbsp; wenn man das Definitionsgebiet betrachtet:  
*Setzt man $m_x = 8/3$ ein, so erh&auml;lt man $y = m_y = 3$.  
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*Setzt man&nbsp; $m_x = 8/3$&nbsp; ein, so erh&auml;lt man&nbsp; $y = m_y = 3$.  
*Das heißt: Die berechnete Korrelationsgerade geht tats&auml;chlich durch den Punkt $(m_x, m_y)$, wie es die Theorie besagt.
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*Das heißt: &nbsp; Die berechnete Korrelationsgerade geht tats&auml;chlich durch den Punkt&nbsp; $(m_x, m_y)$,&nbsp; wie es die Theorie besagt.
 
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Aktuelle Version vom 7. Februar 2022, 14:03 Uhr

Dreieckiges 2D-Gebiet und die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten

Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße  $(x, \ y)$  wie in der  Aufgabe 4.1:

  • In einem durch die Eckpunkte  $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$  definierten Gebiet  $D$  sei die 2D–WDF  $f_{xy} (x, y) = 0.25$.
  • Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes  $D$  gibt es keine Werte.


Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen  $x$  und  $y$  eingezeichnet, die bereits in der Aufgabe 4.1 ermittelt wurden.

Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels  Erwartungswerte und Momente  die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen:

$$m_x=8/3 ,\hspace{0.5cm} \sigma_x=\sqrt{8/9},$$
$$ m_y= 3,\hspace{0.95cm} \sigma_y = \sqrt{\rm 2/3}.$$

Aufgrund der Tatsache,  dass das Definitionsgebiet  $D$  durch zwei Gerade  $y_1(x)$  und  $y_2(x)$  begrenzt ist,  kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden.

$$m_{xy}={\rm E}\big[x\cdot y\big]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}y \cdot f_{xy}(x,y) \, \,{\rm d}y\, {\rm d}x.$$



Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lauten die Grenzgeraden des inneren Integrals zur  $m_{xy}$–Berechnung?

$y_1(x) = x+1, $     $y_2(x) = 2x+1.$
$y_1(x) = x/2+1, $     $y_2(x) = x+1.$
$y_1(x) = x-1, $     $y_2(x) = 2x+1.$

2

Berechnen Sie das gemeinsame Moment  $m_{xy}$  gemäß dem Doppelintegral auf der Angabenseite.  Hinweis:  Setzen Sie  $x_1 = 0$  und  $x_2 = 4$.

$m_{xy} \ = \ $

3

Welcher Wert ergibt sich für die Kovarianz  $\mu_{xy}$ ?

$\mu_{xy}\ = \ $

4

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient  $\rho_{xy}$?

$\rho_{xy}\ = \ $

5

Wie lautet die Gleichung der Korrelationsgeraden  $y = K(x)$?  An welcher Stelle  $y_0$  schneidet die Gerade die  $y$-Achse?
Zeigen Sie,  dass die Korrelationsgerade auch durch den Punkt  $(m_x, m_y)$  geht.

$y_0\ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig ist der  mittlere Vorschlag:

  • Sowohl  $y_1(x)$  als auch  $y_2(x)$  schneiden die  $y$-Achse bei  $y= 1$.
  • Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung  $0.5$,  die obere die Steigung  $1$.


(2)  Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:

$$m_{xy}=\int_{\rm 0}^{\rm 4} x \cdot \int_{\it x/\rm 2 +\rm 1}^{\it x+\rm 1} {1}/{4}\cdot y \, \,{\rm d}y\,\, \, {\rm d}x = {1}/{8}\cdot \int_{\rm 0}^{\rm 4} x\cdot \big[( x+ 1)^{\rm 2}- ({ x}/{2}+1)^{\rm 2} \big] \,\, {\rm d}x.$$
  • Dies führt zum Integral bzw. Endergebnis:
$$m_{xy}={1}/{8}\int_{\rm 0}^{\rm 4}(\frac{3}{4}\cdot x^{3}{\rm +} x^2\,{\rm d}x = \rm \frac{1}{8} \cdot (\frac{3}{16}\cdot 4^4+\rm \frac{4^3}{3})=\frac{26}{3}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 8.667}.$$


(3)  Da beide Zufallsgrößen jeweils einen Mittelwert ungleich Null besitzen,  folgt für die Kovarianz:

Korrelationsgerade  $\rm (KG)$
$$\it \mu_{xy}=\it m_{xy}-m_{x}\cdot m_{y}=\frac{\rm 26}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm 3}\cdot\rm 3={2}/{3} \hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$


(4)  Mit den angegebenen Streuungen erhält man:

$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy}}{\sigma_{x}\cdot\sigma_{y}}=\frac{{\rm 2}/{\rm 3}}{\sqrt{{\rm 8}/{\rm 9}}\cdot\sqrt{{\rm 2}/{\rm 3}}}=\sqrt{0.75}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.866}.$$


(5)  Für die Korrelationsgerade  $\rm (KG)$  gilt allgemein:

$$ y-m_{y}=\rho_{xy}\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_ {x}}\cdot(x-m_{x}).$$
  • Mit den oben berechneten Zahlenwerten erhält man
$$y={\rm 3}/{\rm 4}\cdot x +\rm 1.$$

Die Korrelationsgerade schneidet die  $y$-Achse bei  $\underline{y=1}$  und geht auch durch den Punkt  $(4, 4)$.  Jedes andere Ergebnis wäre auch nicht zu interpretieren,  wenn man das Definitionsgebiet betrachtet:

  • Setzt man  $m_x = 8/3$  ein, so erhält man  $y = m_y = 3$.
  • Das heißt:   Die berechnete Korrelationsgerade geht tatsächlich durch den Punkt  $(m_x, m_y)$,  wie es die Theorie besagt.