Aufgaben:Aufgabe 4.2: AM/PM-Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume}}
  
[[Datei:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|AM/PM-Schwingungen]]
+
[[Datei:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|Zwei mögliche AM/PM-Schwingungen]]
Wir betrachten verschiedene Signalmengen $\{s_i(t)\}$ mit der Laufvariablen $i = 1, \ ... \, M$, die alle in gleicher Weise dargestellt werden können:
+
Wir betrachten die Signalmenge  $\{s_i(t)\}$  mit der Laufvariablen  $i = 1, \ \text{...} \, M$.  Alle Signale  $s_i(t)$  können in gleicher Weise dargestellt werden:
 
:$$s_i(t) =  
 
:$$s_i(t) =  
 
\left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
 
\left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
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\\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 
\\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
  
Die Signaldauer $T$ ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$, wobei $1/f_{\rm T}$ die Signalfrequenz (Trägerfrequenz) angibt.
+
Die Signaldauer  $T$  ist ein ganzzahliges Vielfaches von  $1/f_{\rm T}$,  wobei  $f_{\rm T}$  die Signalfrequenz  ("Trägerfrequenz")  angibt.
  
Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils $T = 4/f_{\rm T}$, das heißt, man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von $T$. Die einzelnen Signale $s_i(t)$ unterscheiden sich in der Amplitude ($A_i$) und/oder der Phase ($\phi_i$). Für die beiden ersten (in der Grafik dargestellten) Signale gilt:
+
*Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils  $T = 4/f_{\rm T}$,  das heißt,  man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von  $T$.
 +
 +
*Die einzelnen Signale  $s_i(t)$  unterscheiden sich in der Amplitude  $(A_i)$  und/oder der Phase  $(\phi_i)$.  
 +
 
 +
 
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Für die beiden in der Grafik dargestellten Signale gilt:
 
:$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )  \hspace{0.05cm},$$
 
:$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )  \hspace{0.05cm},$$
 
:$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4)  \hspace{0.05cm}. $$
 
:$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4)  \hspace{0.05cm}. $$
  
Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$, so kann man diese durch die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ vollständig beschreiben. Diese sind orthonormal zueinander, das heißt, unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf $T$ gilt:
+
Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$,  so kann man diese durch die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  vollständig beschreiben.  Diese sind orthonormal zueinander,  das heißt,  unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf  $T$  gilt:
:$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+
:$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm},$$
  \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0  
+
:$$ \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0  
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
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:$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
 
:$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
  
In der Teilaufgabe (7) soll überprüft werden, ob sich alle Signale $s_i(t)$ gemäß der obigen Definition (mit beliebiger Amplitude $A_i$ und beliebiger Phase $\phi_i$) durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
+
In der Teilaufgabe  '''(7)'''  soll überprüft werden,  ob sich alle Signale  $s_i(t)$  gemäß der obigen Definition   $($mit beliebiger Amplitude  $A_i$  und beliebiger Phase  $\phi_i)$   durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
 
:$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
 
:$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
  
Die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ sollen hier durch das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| Gram–Schmidt–Verfahren]] gefunden werden, das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde. Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
+
Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sollen hier durch das  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| "Gram–Schmidt–Verfahren"]]  gefunden werden,  das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde.  Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
 
:$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
 
:$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
 
s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t}  
 
s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t}  
\hspace{0.05cm},$$
+
\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
:$$s_{21}  = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} =  
+
s_{21}  = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} =  
 
\int_{0}^{T}s_2(t) \cdot \varphi_1(t)\, {\rm d} t
 
\int_{0}^{T}s_2(t) \cdot \varphi_1(t)\, {\rm d} t
 
\hspace{0.05cm},$$
 
\hspace{0.05cm},$$
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\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||}\hspace{0.05cm}.$$
 
\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||}\hspace{0.05cm}.$$
  
''Hinweise:''
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* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].  
+
 
* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.  
+
 
* Desweiteren ist die folgende trigonometrische Beziehung gegeben:
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Hinweise:  
 +
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].
 +
 +
* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie&nbsp; $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
 +
 +
* Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben: &nbsp;
 
:$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$$
  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß ist die Energie und die 2&ndash;Norm des Signals $s_1(t)$, ausgedrückt mit $E$?
+
{Wie groß ist die Energie und die&nbsp; "2&ndash;Norm"&nbsp; des Signals &nbsp;$s_1(t)$,&nbsp; ausgedrückt mit&nbsp; $E$?
 
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$E_1$ = { 1 3% } $\ \cdot E$
+
$E_1\ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot E$
$||s_1(t)||$ = { 1 3% } $\ \cdot E^{\rm 0.5}$
+
$||s_1(t)|| \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
  
{Wie lautet die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ nach Gram&ndash;Schmidt?
+
{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; nach Gram&ndash;Schmidt?
 
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|type="[]"}
- $\varphi_1(t) = E^{\rm 0.5} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$,
+
- $\varphi_1(t) = \sqrt{E} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$,
- $\varphi_1(t) = cos(2\pi f_{\rm T}t)$,
+
- $\varphi_1(t) = \cos(2\pi f_{\rm T}t)$,
+ $\varphi_1(t) = (2/T)^{\rm 0.5} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$.
+
+ $\varphi_1(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$.
  
{Welcher Zusammenhang besteht zwischen $s_1(t)$ und $\varphi_1(t)$?
+
{Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_1(t)$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $s_1(t) = E^{\rm 0.5} \cdot \varphi_1(t)$,
+
+ $s_1(t) = \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)$,
 
- $s_1(t) = A \cdot \varphi_1(t)$,
 
- $s_1(t) = A \cdot \varphi_1(t)$,
- $s_1(t) = (T/2)^{\rm 0.5} \cdot \varphi_1(t)$.
+
- $s_1(t) = \sqrt{2/T} \cdot \varphi_1(t)$.
  
{Wie lautet das innere Produkt $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
+
{Wie lautet das innere Produkt&nbsp; $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$s_{\rm 21}$ = { 1.414 3% } $\ E^{\rm 0.5}$
+
$s_{\rm 21} \ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
  
{Wie lautet die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$?
+
{Wie lautet die Hilfsfunktion&nbsp; $\theta_2(t)$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $\theta_2(t) = +2^{\rm 0.5} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
+
- $\theta_2(t) = +\sqrt{2} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
+ $\theta_2(t) = &ndash;2^{\rm 0.5} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
+
+ $\theta_2(t) =-\sqrt{2} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
- $\theta_2(t) = (2/T)^{\rm 0.5} \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$.
+
- $\theta_2(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$.
  
{Gegen Sie die Koeffizienten von $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$ an.
+
{Geben Sie die Koeffizienten von&nbsp; $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$&nbsp; an.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$s_{\rm 21}$ = { 1.414 3% } $\ E^{\rm 0.5}$
+
$s_{\rm 21}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
$s_{\rm 22}$ = { 1.414 3% } $\ E^{\rm 0.5}$
+
$s_{\rm 22}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
  
{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge $\{s_i(t)\} mit $i = 1, \ ... \ , M$, wenn $M$ sehr viel größer als $2$ ist?
+
{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$,&nbsp; falls &nbsp;$M \gg 2$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = M$.
+
- Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets&nbsp; $N = M$.
+ Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = 2$.
+
+ Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets&nbsp; $N = 2$.
 
+ Mögliche Basisfunktionen sind Cosinus und (Minus&ndash;)Sinus.
 
+ Mögliche Basisfunktionen sind Cosinus und (Minus&ndash;)Sinus.
 
</quiz>
 
</quiz>
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
+
'''(1)'''&nbsp; Die Energie kann nach folgender Gleichung berechnet werden:
'''2.'''
+
:$$E_{1}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 
'''3.'''
+
\int_{0}^{T}A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = \frac{A^2 \cdot T}{2}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}
'''4.'''
+
\frac{A^2 }{2}\int_{0}^{T}  \cos(4\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = \frac{A^2 \cdot T}{2} \hspace{0.05cm}\underline{= 1 \cdot E}
'''5.'''
+
\hspace{0.05cm}. $$
'''6.'''
+
 
'''7.'''
+
*Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass&nbsp; $T$&nbsp; ein geradzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$&nbsp; ist,&nbsp; so dass das zweite Integral verschwindet.
 +
 
 +
*Weiter gilt:
 +
:$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot\sqrt{E}}
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:&nbsp; Die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; ist formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$,&nbsp; wobei gilt:
 +
:$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{E}}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}} = \sqrt{{2}/{T}}
 +
\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>,&nbsp; da entsprechend der unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; angegebenen Gleichung gilt:
 +
:$$s_1(t) = ||s_1(t)|| \cdot \varphi_1(t) =  \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Mit dem Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; gemäß Angabe,&nbsp; der Basisfunktion $\varphi_1(t)$&nbsp; gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; sowie der angegebenen trigonometrischen Beziehung erhält man:
 +
:$$s_{21}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} =
 +
\int_{0}^{T}2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) \cdot \sqrt{{2}/{T}}
 +
\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \int_{0}^{T}\cos({\pi}/{4})
 +
\cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t \hspace{0.1cm}-
 +
\sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \int_{0}^{T}\sin({\pi}/{4})
 +
\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t
 +
\hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
*Der zweite Anteil ergibt den Wert&nbsp; $0$&nbsp; ("Orthogonalität").&nbsp; Der erste Anteil liefert:
 +
:$$s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot \sqrt{E}}
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren erhält man
 +
:$$\theta_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm} =
 +
2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) - \sqrt{A^2 \cdot T}
 +
\cdot \sqrt{{2}/{T}}
 +
\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) =
 +
2A \cdot \cos({\pi}/{4})\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}
 +
2A \cdot \sin({\pi}/{4})\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.1cm} -  \sqrt{2} \cdot A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
 +
\hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
*Mit&nbsp; $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$&nbsp; folgt daraus:
 +
:$$\theta_2(t) = - \sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Richtig ist demnach der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ergibt sich die orthonormale Basisfunktion&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; zu
 +
:$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||} = - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Damit kann das Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp;  mit&nbsp; $s_{21}$&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wie folgt dargestellt werden:
 +
:$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$s_{22}\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{\theta_2(t)}{\varphi_2(t)} = \frac{-\sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )}
 +
{-\sqrt{2/T}\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(7)'''&nbsp; Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale&nbsp; $(M \gg 2)$&nbsp; folgender Form:
 +
:$$s_i(t)=
 +
\left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
 +
0  \end{array} \right.\quad
 +
\begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm},
 +
\\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 +
 
 +
Die Laufvariable kann dabei die Werte&nbsp; $i = 1, 2, \ \text{...} \ , M$&nbsp; annehmen.&nbsp; Dann gilt:
 +
* Alle&nbsp; $M$&nbsp; Signale lassen sich durch nur&nbsp; $N = 2$&nbsp; Basisfunktionen vollständig beschreiben:
 +
:$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.  $$
 +
* Geht man nach dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren vor,&nbsp; so erhält man für die beiden Basisfunktionen
 +
:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 +
\varphi_2(t) = \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1 \pm {\pi}/{2})\hspace{0.05cm}.$$
 +
* Das Vorzeichen im Argument der zweiten Cosinusfunktion&nbsp; ($&plusmn; \pi/2$)&nbsp; ist nicht eindeutig.&nbsp; Vielmehr hängt auch das Vorzeichen von&nbsp; $s_{i 2}$&nbsp; davon ab,&nbsp; ob bei&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; das Pluszeichen oder das Minuszeichen verwendet wurde.
 +
 
 +
* Mögliche Basisfunktionen,&nbsp; die dann zu anderen Koeffizienten führen,&nbsp; sind aber auch:
 +
:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 +
\varphi_2(t)  \pm \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
Richtig sind also die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.1 Signale, Basisfunktionen, Vektorräume^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.1 Basisfunktionen & Vektorräume^]]

Aktuelle Version vom 13. Juli 2022, 17:03 Uhr

Zwei mögliche AM/PM-Schwingungen

Wir betrachten die Signalmenge  $\{s_i(t)\}$  mit der Laufvariablen  $i = 1, \ \text{...} \, M$.  Alle Signale  $s_i(t)$  können in gleicher Weise dargestellt werden:

$$s_i(t) = \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Die Signaldauer  $T$  ist ein ganzzahliges Vielfaches von  $1/f_{\rm T}$,  wobei  $f_{\rm T}$  die Signalfrequenz  ("Trägerfrequenz")  angibt.

  • Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils  $T = 4/f_{\rm T}$,  das heißt,  man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von  $T$.
  • Die einzelnen Signale  $s_i(t)$  unterscheiden sich in der Amplitude  $(A_i)$  und/oder der Phase  $(\phi_i)$.


Für die beiden in der Grafik dargestellten Signale gilt:

$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm},$$
$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4) \hspace{0.05cm}. $$

Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$,  so kann man diese durch die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  vollständig beschreiben.  Diese sind orthonormal zueinander,  das heißt,  unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf  $T$  gilt:

$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm},$$
$$ \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Mit diesen Basisfunktionen lassen sich die beiden Signale wie folgt darstellen:

$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{11} \cdot \varphi_1(t) \hspace{0.05cm},$$
$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$

In der Teilaufgabe  (7)  soll überprüft werden,  ob sich alle Signale  $s_i(t)$  gemäß der obigen Definition   $($mit beliebiger Amplitude  $A_i$  und beliebiger Phase  $\phi_i)$   durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:

$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$

Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sollen hier durch das  "Gram–Schmidt–Verfahren"  gefunden werden,  das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde.  Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:

$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = \int_{0}^{T}s_2(t) \cdot \varphi_1(t)\, {\rm d} t \hspace{0.05cm},$$
$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||}\hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:

  • Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie  $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
  • Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben:  
$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie groß ist die Energie und die  "2–Norm"  des Signals  $s_1(t)$,  ausgedrückt mit  $E$?

$E_1\ = \ $

$\ \cdot E$
$||s_1(t)|| \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$

2

Wie lautet die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  nach Gram–Schmidt?

$\varphi_1(t) = \sqrt{E} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$,
$\varphi_1(t) = \cos(2\pi f_{\rm T}t)$,
$\varphi_1(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$.

3

Welcher Zusammenhang besteht zwischen  $s_1(t)$  und  $\varphi_1(t)$?

$s_1(t) = \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)$,
$s_1(t) = A \cdot \varphi_1(t)$,
$s_1(t) = \sqrt{2/T} \cdot \varphi_1(t)$.

4

Wie lautet das innere Produkt  $s_{\rm 21} = 〈 s_2(t) \cdot \varphi_1(t)〉$?

$s_{\rm 21} \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$

5

Wie lautet die Hilfsfunktion  $\theta_2(t)$?

$\theta_2(t) = +\sqrt{2} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
$\theta_2(t) =-\sqrt{2} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
$\theta_2(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$.

6

Geben Sie die Koeffizienten von  $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$  an.

$s_{\rm 21}\ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$
$s_{\rm 22}\ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$

7

Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge  $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$,  falls  $M \gg 2$?

Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets  $N = M$.
Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets  $N = 2$.
Mögliche Basisfunktionen sind Cosinus und (Minus–)Sinus.


Musterlösung

(1)  Die Energie kann nach folgender Gleichung berechnet werden:

$$E_{1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{T}A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = \frac{A^2 \cdot T}{2}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} \frac{A^2 }{2}\int_{0}^{T} \cos(4\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = \frac{A^2 \cdot T}{2} \hspace{0.05cm}\underline{= 1 \cdot E} \hspace{0.05cm}. $$
  • Hierbei ist berücksichtigt,  dass  $T$  ein geradzahliges Vielfaches von  $1/f_{\rm T}$  ist,  so dass das zweite Integral verschwindet.
  • Weiter gilt:
$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot\sqrt{E}} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 3:  Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist formgleich mit  $s_1(t)$,  wobei gilt:

$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{E}}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}} = \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1,  da entsprechend der unter  (2)  angegebenen Gleichung gilt:

$$s_1(t) = ||s_1(t)|| \cdot \varphi_1(t) = \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t) \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Mit dem Signal  $s_2(t)$  gemäß Angabe,  der Basisfunktion $\varphi_1(t)$  gemäß Teilaufgabe  (2)  sowie der angegebenen trigonometrischen Beziehung erhält man:

$$s_{21} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = \int_{0}^{T}2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) \cdot \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{21} = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \int_{0}^{T}\cos({\pi}/{4}) \cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t \hspace{0.1cm}- \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \int_{0}^{T}\sin({\pi}/{4}) \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t \hspace{0.05cm}. $$
  • Der zweite Anteil ergibt den Wert  $0$  ("Orthogonalität").  Der erste Anteil liefert:
$$s_{21} = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot \sqrt{E}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Entsprechend dem Gram–Schmidt–Verfahren erhält man

$$\theta_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm} = 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) - \sqrt{A^2 \cdot T} \cdot \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = 2A \cdot \cos({\pi}/{4})\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} 2A \cdot \sin({\pi}/{4})\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.1cm} - \sqrt{2} \cdot A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm}. $$
  • Mit  $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$  folgt daraus:
$$\theta_2(t) = - \sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist demnach der  Lösungsvorschlag 2.


(6)  Analog zur Teilaufgabe  (2)  ergibt sich die orthonormale Basisfunktion  $\varphi_2(t)$  zu

$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||} = - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit kann das Signal  $s_2(t)$  mit  $s_{21}$  entsprechend Teilaufgabe  (4)  wie folgt dargestellt werden:
$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm},$$
$$s_{22}\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{\theta_2(t)}{\varphi_2(t)} = \frac{-\sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )} {-\sqrt{2/T}\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm}.$$


(7)  Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale  $(M \gg 2)$  folgender Form:

$$s_i(t)= \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Die Laufvariable kann dabei die Werte  $i = 1, 2, \ \text{...} \ , M$  annehmen.  Dann gilt:

  • Alle  $M$  Signale lassen sich durch nur  $N = 2$  Basisfunktionen vollständig beschreiben:
$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
  • Geht man nach dem Gram–Schmidt–Verfahren vor,  so erhält man für die beiden Basisfunktionen
$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \varphi_2(t) = \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1 \pm {\pi}/{2})\hspace{0.05cm}.$$
  • Das Vorzeichen im Argument der zweiten Cosinusfunktion  ($± \pi/2$)  ist nicht eindeutig.  Vielmehr hängt auch das Vorzeichen von  $s_{i 2}$  davon ab,  ob bei  $\varphi_2(t)$  das Pluszeichen oder das Minuszeichen verwendet wurde.
  • Mögliche Basisfunktionen,  die dann zu anderen Koeffizienten führen,  sind aber auch:
$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \varphi_2(t) \pm \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind also die  Lösungsvorschläge 2 und 3.