Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die [[Aufgaben:4.1_Gram-Schmidt-Verfahren| Aufgabe A4.1]]. Für $M = 4$ energiebegrenzte Signale $s_i(t)$ mit $i = 1, \ ... \ , 4$ sollen die $N$ erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ gefunden werden, die folgende Bedingung erfüllen müssen. | Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die [[Aufgaben:4.1_Gram-Schmidt-Verfahren| Aufgabe A4.1]]. Für $M = 4$ energiebegrenzte Signale $s_i(t)$ mit $i = 1, \ ... \ , 4$ sollen die $N$ erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ gefunden werden, die folgende Bedingung erfüllen müssen. | ||
| − | :$$< \hspace{-0.1cm} \varphi_j(t), \hspace{0.1cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\, {\rm d} t = | + | :$$< \hspace{-0.1cm} \varphi_j(t), \hspace{0.1cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\, {\rm d} t =$$ |
| − | \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm \delta}_{jk} = | + | :$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm \delta}_{jk} = |
\left\{ \begin{array}{c} 1 $$ | \left\{ \begin{array}{c} 1 $$ | ||
| − | :$$0 | + | :$$ 0 \end{array} \right.\quad |
\begin{array}{*{1}c} j = k | \begin{array}{*{1}c} j = k | ||
\\ j \ne k \\ \end{array} | \\ j \ne k \\ \end{array} | ||
Version vom 4. November 2017, 10:30 Uhr
Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die Aufgabe A4.1. Für $M = 4$ energiebegrenzte Signale $s_i(t)$ mit $i = 1, \ ... \ , 4$ sollen die $N$ erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ gefunden werden, die folgende Bedingung erfüllen müssen.
- $$< \hspace{-0.1cm} \varphi_j(t), \hspace{0.1cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\, {\rm d} t =$$
- $$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 $$
- $$ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} j = k \\ j \ne k \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
Mit $M$ Sendesignale $s_i(t)$ können bereits weniger Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ ausreichen, nämlich $N$. Allgemein gilt also $N ≤ M$.
Es handelt sich hier um die genau gleichen energiebegrenzten Signale $s_i(t)$ wie in der Aufgabe A4.1. Der Unterschied ist die unterschiedliche Reihenfolge der Signale $s_i(t)$. Diese sind in dieser Aufgabe so sortiert, dass die Basisfunktionen auch ohne Anwendung des umständlicheren Gram–Schmidt–Verfahrens gefunden werden können.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.
- Verwenden Sie für numerische Berechnungen:
- $$A = 1 \sqrt{\rm W} , \hspace{0.2cm} T = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}. $$
Fragebogen
Musterlösung
