Aufgaben:Aufgabe 4.1: Zum „Log Likelihood Ratio”: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2979__KC_A_4_1_v2.png|right|frame|Betrachtete Kanalmodelle]]
 
[[Datei:P_ID2979__KC_A_4_1_v2.png|right|frame|Betrachtete Kanalmodelle]]
Zur Interpretation von <i>Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnissen</i> (kurz $L$&ndash;Werten) gehen wir wie im [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] vom <i>Binary Symmetric Channel</i> (BSC) aus. Die englische Bezeichung ist <i>Log Likelihood Ratio</i> (LLR).
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Zur Interpretation von&nbsp; <i>Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnissen</i>&nbsp; (kurz&nbsp; $L$&ndash;Werten) gehen wir wie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]]&nbsp; vom&nbsp; <i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp; (BSC) aus. Die englische Bezeichung ist&nbsp; <i>Log Likelihood Ratio</i>&nbsp; (LLR).
  
 
Für die binären Zufallsgrößen am Eingang und Ausgang gelte
 
Für die binären Zufallsgrößen am Eingang und Ausgang gelte
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\hspace{0.05cm}. $$
 
\hspace{0.05cm}. $$
  
Dieses Modell ist in der oberen Grafik dargestellt und wird im Folgenden als <b>Modell A</b> bezeichnet. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten in Vorwärtsrichtung gilt:
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Dieses Modell ist in der oberen Grafik dargestellt. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten in Vorwärtsrichtung gilt:
 
:$${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist der entscheidende Parameter des BSC&ndash;Modells.
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Die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; ist der entscheidende Parameter des BSC&ndash;Modells.
  
Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang ist es zweckmäßig, anstelle der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ das <i>Log Likelihood Ratio</i> (LLR) zu betrachten.
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Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang ist es zweckmäßig, anstelle der Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(x = 1)$&nbsp; das&nbsp; <i>Log Likelihood Ratio</i>&nbsp; (LLR) zu betrachten.
  
 
Für dieses gilt bei der hier verwendeten unipolaren Betrachtungsweise per Definition:
 
Für dieses gilt bei der hier verwendeten unipolaren Betrachtungsweise per Definition:
 
:$$L_{\rm A}(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(x = 1)}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$L_{\rm A}(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(x = 1)}\hspace{0.05cm},$$
  
wobei der Index &bdquo;A&rdquo; auf die Apriori&ndash;Wahrscheinlichkeit hinweist.
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wobei der Index &nbsp;$\rm A$&nbsp; auf die Apriori&ndash;Wahrscheinlichkeit hinweist.  
  
Beispielsweise ergibt sich für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ {\rm Pr}(x = 1) = 0.8$ das Apriori&ndash;LLR $L_{\rm A}(x) = \, -1.382$.  
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Beispielsweise ergibt sich für&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ {\rm Pr}(x = 1) = 0.8$&nbsp; das Apriori&ndash;LLR&nbsp; $L_{\rm A}(x) = \, -1.382$.  
  
Aus dem BSC&ndash;Modell lässt sich zudem der $L$&ndash;Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit $L_{\rm V}(y)$ bezeichnet wird:
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Aus dem BSC&ndash;Modell lässt sich zudem der&nbsp; $L$&ndash;Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$&nbsp; in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit&nbsp; $L_{\rm V}(y)$&nbsp; bezeichnet wird:
 
:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =
 
:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =
 
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} =   
 
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} =   
 
\left\{ \begin{array}{c} {\rm ln} \hspace{0.15cm} [(1 - \varepsilon)/\varepsilon]\\
 
\left\{ \begin{array}{c} {\rm ln} \hspace{0.15cm} [(1 - \varepsilon)/\varepsilon]\\
 
  {\rm ln} \hspace{0.15cm} [\varepsilon/(1 - \varepsilon)]  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
 
  {\rm ln} \hspace{0.15cm} [\varepsilon/(1 - \varepsilon)]  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.05cm} y = 0,
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\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 0,
 
\\  {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$
 
\\  {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$
  
Beispielsweise ergibt sich für $\varepsilon = 0.1$:
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Beispielsweise ergibt sich für&nbsp; $\varepsilon = 0.1$:
 
:$$L_{\rm V}(y = 0) = +2.197\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}L_{\rm V}(y = 1) = -2.197\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$L_{\rm V}(y = 0) = +2.197\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}L_{\rm V}(y = 1) = -2.197\hspace{0.05cm}.$$
  
Von besonderer Bedeutung für die Codierungstheorie sind die Rückschlusswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)$, die mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ sowie den Eingangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ über den Satz von Bayes in Zusammenhang stehen. Der entsprechende $L$&ndash;Wert wird in dieser Aufgabe mit $L_{\rm R}(y)$ bezeichnet:
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Von besonderer Bedeutung für die Codierungstheorie sind die Rückschlusswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)$, die mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$&nbsp; sowie den Eingangswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(x = 1)$&nbsp; über den Satz von Bayes in Zusammenhang stehen.  
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Der entsprechende&nbsp; $L$&ndash;Wert wird in dieser Aufgabe&nbsp; mit $L_{\rm R}(y)$&nbsp; bezeichnet:
 
:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) =
 
:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) =
 
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$
 
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$
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''Hinweise:''
 
''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]].
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* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]].
* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; übertragen werden können.  
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* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen&nbsp; $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$&nbsp; und&nbsp; $L_{\rm R}$&nbsp; auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; übertragen werden können.  
*Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise: &bdquo;$0$&rdquo; &#8594; &bdquo;$+1$&rdquo; sowie &bdquo;$1$&rdquo; &#8594; &bdquo;$&ndash;1$&rdquo;.
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*Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise:&nbsp; &bdquo;$0$&rdquo;&nbsp; &#8594; &nbsp; &bdquo;$+1$&rdquo;&nbsp; sowie&nbsp; &bdquo;$1$&rdquo; &nbsp; &#8594; &nbsp; &bdquo;$&ndash;1$&rdquo;.
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen $A$ und $B$ zusammen?
+
{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; zusammen?
|type="[]"}
+
|type="()"}
 
- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A)$,
 
- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A)$,
 
- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,
 
- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,
 
+ ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) \cdot {\rm Pr}(A) / {\rm Pr}(B)$.
 
+ ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) \cdot {\rm Pr}(A) / {\rm Pr}(B)$.
  
{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?
+
{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?
|type="[]"}
+
|type="()"}
 
+ ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)$,
 
+ ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)$,
 
- ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.
 
- ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.
  
{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y &#8712; \{0, \, 1\} \text{:} \, L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
+
{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte&nbsp; $y &#8712; \{0, \, 1\}$: <br>&nbsp; &nbsp;  $L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$&nbsp; bzw.&nbsp; $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
|type="[]"}
+
|type="()"}
- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
+
- Für jede beliebige Eingangsverteilung&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
+ Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.
+
+ Nur für die Gleichverteilung:&nbsp; $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.
  
{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
+
{Das Ausgangssymbol sei&nbsp; $y = 1$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0.1$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\varepsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 1) = L(x | y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }
+
$L_{\rm R}(y = 1) = L(x | y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }
  
{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$?
+
{Das Ausgangssymbol sei nun&nbsp; $y = 0$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man für&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon = 0.1$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\epsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 0) = L(x | y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }
+
$L_{\rm R}(y = 0) = L(x | y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }
  
{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&rdquo;Kanal übertragen?
+
{Lässt sich das unter '''(3)''' hergeleitete Ergebnis &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$&nbsp; auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; übertragen?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
 
+ Ja.
 
+ Ja.
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{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
 
'''(1)'''&nbsp; Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit| Satz von Bayes]] mit der Schnittmenge $A &#8745; B$:
 
'''(1)'''&nbsp; Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit| Satz von Bayes]] mit der Schnittmenge $A &#8745; B$:
:$$\rm Pr(\it B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it A) = \frac{\rm Pr(\it A \cap \it B)}{\rm Pr(\it A)}\hspace{0.05cm},
+
:$${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(A)}\hspace{0.05cm},
\hspace{0.3cm} \rm Pr(\it A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it B) = \frac{\rm Pr(\it A \cap \it B)}{\rm Pr(\it B)}$$
+
\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr(\it A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it B) =  
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) =  
\rm Pr(\it B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it A) \cdot \frac{\rm Pr(\it A)}{\rm Pr(\it B)}\hspace{0.05cm}.$$
+
{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) \cdot \frac{{\rm Pr}(A)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.
 
Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Mit $A$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$x = 0$&rdquo; und $B$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$y = 0$&rdquo; ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+
'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $A$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$x = 0$&rdquo; und&nbsp; $B$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$y = 0$&rdquo; ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 
:$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} y = 0) =  
 
:$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} y = 0) =  
 
{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0)  \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$
 
{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0)  \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 105: Zeile 111:
  
 
'''(3)'''&nbsp; Wir berechnen den $L$&ndash;Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:
 
'''(3)'''&nbsp; Wir berechnen den $L$&ndash;Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:
:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) =
+
:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0)=  
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)} = $$
+
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$
:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} = $$
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)=    {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} +  
:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} +  
 
 
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
 
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) =  L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) =  L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 126: Zeile 131:
 
:$$L_{\rm R}(y)  = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L_{\rm V}(y) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$L_{\rm R}(y)  = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L_{\rm V}(y) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
  
Die Identität $L_{\rm R} &equiv; L_{\rm V}(y)$ erfordert $L_{\rm A}(x) = 0$ &nbsp;&#8658;&nbsp; gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Vorschlag 2</u>.
+
Die Identität $L_{\rm R}(y) &equiv; L_{\rm V}(y)$ erfordert $L_{\rm A}(x) = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Vorschlag 2</u>.
  
  
'''(4)'''&nbsp; Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts&ndash;LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, &ndash;2.197$ führt. Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
+
'''(4)'''&nbsp; Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts&ndash;LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, &ndash;2.197$ führt.  
:$$L_{\rm R}(y = 1)  = L_{\rm V}(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{-2.197}\hspace{0.05cm}.$$
 
  
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*Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
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:$$L_{\rm R}(y = 1)  = L_{\rm V}(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(5)'''&nbsp; Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen. Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, &ndash;1.382$ erhält man somit:
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'''(5)'''&nbsp; Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen.  
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*Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, -1.382$ erhält man somit:
 
:$$L_{\rm R}(y = 0)  = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$L_{\rm R}(y = 0)  = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang &bdquo;$L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$&rdquo; auch für den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;, unabhängig vom Umfang $M$ des Ausgangsalphabets &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
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'''(6)'''&nbsp; Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang&nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$&nbsp; auch für den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;, unabhängig vom Umfang&nbsp; $M$&nbsp; des Ausgangsalphabets &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
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'''(7)'''&nbsp; Der AWGN&ndash;Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; mit $M &#8594; &#8734;$ ebenfalls beschrieben &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
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'''(7)'''&nbsp; Der AWGN&ndash;Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; mit&nbsp; $M &#8594; &#8734;$&nbsp; ebenfalls beschrieben &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
 
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]
 
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Aktuelle Version vom 4. Juli 2019, 15:28 Uhr

Betrachtete Kanalmodelle

Zur Interpretation von  Log–Likelihood–Verhältnissen  (kurz  $L$–Werten) gehen wir wie im  Theorieteil  vom  Binary Symmetric Channel  (BSC) aus. Die englische Bezeichung ist  Log Likelihood Ratio  (LLR).

Für die binären Zufallsgrößen am Eingang und Ausgang gelte

$$x \in \{0\hspace{0.05cm}, 1\} \hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}y \in \{0\hspace{0.05cm}, 1\} \hspace{0.05cm}. $$

Dieses Modell ist in der oberen Grafik dargestellt. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten in Vorwärtsrichtung gilt:

$${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm}.$$

Die Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon$  ist der entscheidende Parameter des BSC–Modells.

Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang ist es zweckmäßig, anstelle der Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(x = 0)$  und  ${\rm Pr}(x = 1)$  das  Log Likelihood Ratio  (LLR) zu betrachten.

Für dieses gilt bei der hier verwendeten unipolaren Betrachtungsweise per Definition:

$$L_{\rm A}(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(x = 1)}\hspace{0.05cm},$$

wobei der Index  $\rm A$  auf die Apriori–Wahrscheinlichkeit hinweist.

Beispielsweise ergibt sich für  ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ {\rm Pr}(x = 1) = 0.8$  das Apriori–LLR  $L_{\rm A}(x) = \, -1.382$.

Aus dem BSC–Modell lässt sich zudem der  $L$–Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$  in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit  $L_{\rm V}(y)$  bezeichnet wird:

$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm ln} \hspace{0.15cm} [(1 - \varepsilon)/\varepsilon]\\ {\rm ln} \hspace{0.15cm} [\varepsilon/(1 - \varepsilon)] \end{array} \right.\hspace{0.15cm} \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 0, \\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$

Beispielsweise ergibt sich für  $\varepsilon = 0.1$:

$$L_{\rm V}(y = 0) = +2.197\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}L_{\rm V}(y = 1) = -2.197\hspace{0.05cm}.$$

Von besonderer Bedeutung für die Codierungstheorie sind die Rückschlusswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)$, die mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$  sowie den Eingangswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(x = 0)$  und  ${\rm Pr}(x = 1)$  über den Satz von Bayes in Zusammenhang stehen.

Der entsprechende  $L$–Wert wird in dieser Aufgabe  mit $L_{\rm R}(y)$  bezeichnet:

$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Soft–in Soft–out Decoder.
  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio.
  • In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen  $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$  und  $L_{\rm R}$  auch auf den „2–auf–$M$–Kanal” übertragen werden können.
  • Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise:  „$0$”  →   „$+1$”  sowie  „$1$”   →   „$–1$”.



Fragebogen

1

Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen  $A$  und  $B$  zusammen?

${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A)$,
${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,
${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) \cdot {\rm Pr}(A) / {\rm Pr}(B)$.

2

Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$  und  ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?

${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)$,
${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.

3

Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss–LLR für alle möglichen Ausgangswerte  $y ∈ \{0, \, 1\}$:
    $L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$  bzw.  $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?

Für jede beliebige Eingangsverteilung  ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
Nur für die Gleichverteilung:  $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.

4

Das Ausgangssymbol sei  $y = 1$. Welches Rückschluss–LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon = 0.1$  bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?

$L_{\rm R}(y = 1) = L(x | y = 1) \ = \ $

5

Das Ausgangssymbol sei nun  $y = 0$. Welches Rückschluss–LLR erhält man für  ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$  und  $\varepsilon = 0.1$?

$L_{\rm R}(y = 0) = L(x | y = 0) \ = \ $

6

Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis   ⇒   $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$  auch auf den „2–auf–$M$–Kanal” übertragen?

Ja.
Nein.

7

Kann man den Zusammenhang auch auf den AWGN–Kanal übertragen?

Ja.
Nein.


Musterlösung

(1)  Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem Satz von Bayes mit der Schnittmenge $A ∩ B$:

$${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(A)}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) \cdot \frac{{\rm Pr}(A)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 3. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.


(2)  Mit  $A$  ⇒  „$x = 0$” und  $B$  ⇒  „$y = 0$” ergibt sich sofort die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:

$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} y = 0) = {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Wir berechnen den $L$–Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:

$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0)= {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)= {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} + {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$

In gleicher Weise ergibt sich unter der Annahme $y = 1$:

$$L_{\rm R}(y= 1) = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 1) = L_{\rm V}(y= 1) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Ergebnisse lassen sich mit $y ∈ \{0, \, 1\}$ und

  • dem Eingangs–LLR,
$$L_{\rm A}(x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}\hspace{0.05cm},$$
  • sowie dem Vorwärts–LLR,
$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} \hspace{0.05cm},$$

wie folgt zusammenfassen:

$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L_{\rm V}(y) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$

Die Identität $L_{\rm R}(y) ≡ L_{\rm V}(y)$ erfordert $L_{\rm A}(x) = 0$   ⇒   gleichwahrscheinliche Symbole   ⇒   Vorschlag 2.


(4)  Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts–LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, –2.197$ führt.

  • Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
$$L_{\rm R}(y = 1) = L_{\rm V}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen.

  • Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, -1.382$ erhält man somit:
$$L_{\rm R}(y = 0) = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang  $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$  auch für den „2–auf–$M$–Kanal”, unabhängig vom Umfang  $M$  des Ausgangsalphabets   ⇒   Antwort Ja.


(7)  Der AWGN–Kanal wird durch den skizzierten „2–auf–$M$–Kanal” mit  $M → ∞$  ebenfalls beschrieben   ⇒   Antwort Ja.